专题1.3 一次函数与反比例函数、反比例函数的应用（5考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（湘教版）

专题1.3 一次函数与反比例函数、反比例函数的应用 目录 【典型例题】 1 【考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断问题】 1 【考点二 一次函数与反比例函数的交点问题】 4 【考点三 一次函数与反比例函数的实际应用】 12 【考点四 实际问题与反比例函数的图象问题】 18 【考点五 其他学科的实际问题与反比例函数问题】 20 【过关检测】 25 【典型例题】 【考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断问题】 例题：（23-24八年级下·山东青岛·期末）一次函数和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B． C． D． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【考点二 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例系数k及m； (2)连接、，求的面积； (3)观察图象直接写出时x的取值范围是　　； 【变式训练】 1．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为 (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当四边形为菱形时，求点的坐标． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在轴上存在一点使得有最大值，求出点的坐标． 【考点三 一次函数与反比例函数的实际应用】 例题：（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【变式训练】 1．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 2．（2024·广东河源·模拟预测）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 4．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【考点四 实际问题与反比例函数的图象问题】 例题：（2024·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．下列说法不正确的是（　　） A．饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大 B．当时，血液中酒精浓度y的值为320 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间7小时 【考点五 其他学科的实际问题与反比例函数问题】 例题：（2023九年级下·全国·专题练习）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【变式训练】 1．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． 2．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024九年级下·全国·专题练习）正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B．C． D． 4．（2024·辽宁大连·一模）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）成反比例（如图），则下列说法正确的是（　　） A．气球内气体的压强随气体体积增大而增大 B．气球内气体的压强p关于体积V的函数表达式为 C．当气体体积为1m3时，它的压强为90kPa D．气体的压强大于150kPa时，气球会爆炸，则气体的体积应不小于0.8m3 5．（2023·河南许昌·二模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2）．射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（    ） 小贴士 电路总功率， 其中是电路电源电压 A．该图象不是反比例函数图象 B．随增大而减小 C．当烟雾浓度增大时，示数变小 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大 二、填空题 6．（2024九年级·全国·竞赛）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是400度时，镜片的焦距为米，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的函数关系式为 ． 7．（2024·湖南·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，那么k值是 ． 8．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的（）与的图象交于点，则代数式的值为 ． 9．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．    10．（2024·浙江杭州·一模）如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点．点为轴上的一点，连接、，若，则点的坐标为 ． 三、解答题 11．（2024九年级下·全国·专题练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求密度与体积的函数表达式； (2)若，求二氧化碳密度的变化范围． 12．（2024·辽宁·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 13．（2023·贵州贵阳·二模）学校要制作一块面积为24平方米的矩形宣传牌，小明发现宣传牌的长发生改变时，宽也会随之改变，于是进行了如下探究，设矩形的长为x米，宽为y米． 下表给出了x与y的一些值． 1 2 3 … 24 8 6 … (1)_______，_______； (2)发现是的函数，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)根据以上信息，请你说说随着值的变化值如何变化． 14．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 15．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 16．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．    (1)求双曲线的函数关系式； (2)直按写出当时，不等式了的解集； (3)若点在轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点的坐标． 17．（2023·河南信阳·二模）周末，小华与同学一行人去户外露营，前进路上遇到一片十几米宽的湿地，为了节省时间，并安全通过，他们计划根据所学物理知识，当压力不变时，压强与所受力面积成反比例函数关系，在湿地上用一些大小不同的木板铺设了一条临时通道已知木板所受压力不变时，木板对湿地面的压强与木板面积的对应值如表： 木板面积 木板对地面地压强 (1)求反比例函数的解析式和自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)当木板面积为时，压强是______ ； (4)结合图象，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 18．（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： (1)图象初探 ①列表如下 x 1 2 3 4 y m 3 n 请直接写出m，n的值：_______，_______； ②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (2)性质再探 请结合函数的图象，写出当_______，y有最小值为_______； (3)学以致用 某农户要建进一个如图所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米． 设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元． 根据以上信息，请回答以下问题： ①写出y与x的函数关系式：_________，水池总造价的最低费用为_____千元； ②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 一次函数与反比例函数、反比例函数的应用 目录 【典型例题】 1 【考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断问题】 1 【考点二 一次函数与反比例函数的交点问题】 4 【考点三 一次函数与反比例函数的实际应用】 12 【考点四 实际问题与反比例函数的图象问题】 18 【考点五 其他学科的实际问题与反比例函数问题】 20 【过关检测】 25 【典型例题】 【考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断问题】 例题：（23-24八年级下·山东青岛·期末）一次函数和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数与反比例函数的图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，一次函数的图象过一，三，四象限，反比例函数过一，三象限； 当时，一次函数的图象过二，三，四象限，反比例函数过二，四象限； 故满足题意，只有选项D； 故选D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象和性质，先根据一次函数图象确定的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可求解，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解题的关键． 【详解】解：、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象相符，故该选项符合题意； 、∵一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过一、三象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图像综合判断，分和先判断反比例函数和一次函数的图像所在的象限，再结合一次函数图像与坐标轴的交点即可求解． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且经过点；反比例函数的图像在第一、三象限，没有选项中的图像符合题意； 当时，一次函数的图像经过第二、三、西象限，且经过点，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C中图像符合题意，选项A、B、D中图像不符合题意， 综上，选项C符合题意， 故选：C． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】解：根据题意可得，一次函数表达式为， A、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意； B、反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故B不符合题意； C、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，故C符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故D不符合题意； 故选：C． 【考点二 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例系数k及m； (2)连接、，求的面积； (3)观察图象直接写出时x的取值范围是　　； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式、一次函数与坐标轴是交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题，（1）把点代入求得，再把点B代入求解即可； （2）利用待定系数法求得一次函数解析式为，令，求得，再利用求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点A， 把点代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， 把点代入得，， 解得； （2）解：∵一次函数的图象经过点，， 把点，代入得，， 解得， ∴一次函数解析式为， 把代入得，， ∴，即， ∴； （3）解：由图可得，当时，x的取值范围是或． 【变式训练】 1．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为 (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入求出，再把代入求出k的值即可； （2）当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到． 【详解】（1）解：将代入， 得，， ∴, ∴， 将代入，得，， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①当时，轴， ∴； ②当时， 如图，过点A作轴于点D， 则， ∵， ∴，， ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键． 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当四边形为菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点M的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设， 利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得，， ． 如图，当四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在轴上存在一点使得有最大值，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）关键还是图象与交点横坐标直接写出不等式解集即可； （3）过点作关于轴的对称点，则连接交轴于点，此时满足有最大值，先求出解析式，再求出点坐标即可． 【详解】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ， ，， 反比例函数解析式为， ，， ，解得， 一次函数解析式为； （2）由图象可知，时，的取值范围为：或； （3）如图，过点作关于轴的对称点，则 连接交轴于点，此时满足有最大值， 设直线解析式为， ，解得 直线解析式为， 当时，． 点． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 【考点三 一次函数与反比例函数的实际应用】 例题：（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1） 解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2） 解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3） 解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 【变式训练】 1．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 2．（2024·广东河源·模拟预测）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 4．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，减小 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而减小， 故答案为：减小； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 【考点四 实际问题与反比例函数的图象问题】 例题：（2024·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限；根据实际意义以及函数的解析式，可判断图象是双曲线，根据以及自变量的取值范围即可进行判断； 【详解】，F为常数， 的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限， ， 双曲线的图象在一象限, 故选：． 【变式训练】 1．（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数关于的函数解析式，再结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴弹簧秤的示数关于的函数解析式为， 且该函数图像在第一象限，随的增大而减小， 当时，可有， 越大，弹簧秤的示数越小，而的最大值， ∴若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是． 故选：D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．下列说法不正确的是（　　） A．饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大 B．当时，血液中酒精浓度y的值为320 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间7小时 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，先利用待定系数法求解两个函数解析式，再利用函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：当时， 设直线解析式为（正比例函数）：， 将代入得：， 解得：，故直线解析式为：， 因此饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大， 故A正确，不符合题意； 当时，设反比例函数解析式为：， 将代入得：， 解得：，故反比例函数解析式为：； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵， ∴该驾驶员为非酒驾状态，故C正确，不符合题意； 当，则， 解得：， 当，则， 解得：， ∵（小时）， ∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时， 故D错误，符合题意． 故选：D． 【考点五 其他学科的实际问题与反比例函数问题】 例题：（2023九年级下·全国·专题练习）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) (3)气体的体积应不少于． 【分析】本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． （1）设出反比例函数解析式，把坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（1）得到的函数解析式，可得； （3）把代入得到即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知， 所以， 故； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】(1)关于的函数解析式是； (2)130； (3)电子体重秤可称的最大质量是115千克． 【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图①可知：函数的图象经过点，，然后即可求得关于的函数解析式； （2）根据伏和题目中的数据，可以计算出此时的值； （3）根据反比例函数的性质和电压表量程为0-6伏，可以得到该电子体重秤可称的最大质量． 【详解】（1）由图①可知：函数的图象经过点，， ∴， 解得， 即关于的函数解析式是； （2）∵，伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧， ∴， 解得， 即当伏时，欧， 故答案为：130； （3）∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵电压表量程为0-6伏， ∴当时，取得最小值10， ∴当取得最小值10时，取得最大值115即该电子体重秤可称的最大质量是115千克． 2．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】 本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024九年级下·全国·专题练习）正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为， ∴另一个交点与点关于原点对称， ∴另一个交点是． 故选：A． 2．（2024·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误，选项D错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误； 故选B． 4．（2024·辽宁大连·一模）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）成反比例（如图），则下列说法正确的是（　　） A．气球内气体的压强随气体体积增大而增大 B．气球内气体的压强p关于体积V的函数表达式为 C．当气体体积为1m3时，它的压强为90kPa D．气体的压强大于150kPa时，气球会爆炸，则气体的体积应不小于0.8m3 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．根据图中的点可先求得反比例函数的解析式，再对每个选项逐项分析即可． 【详解】根据图形下降趋势，气球内气体的压强随气体体积增大而减小，此选项错误； 设，点代入得，即，此选项错误； C，当时，，此选项正确； D，由知，气体的压强大于150kPa时，则气体的体积应不小于0.6m3，此选项错误． 故选：C． 5．（2023·河南许昌·二模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2）．射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（    ） 小贴士 电路总功率， 其中是电路电源电压 A．该图象不是反比例函数图象 B．随增大而减小 C．当烟雾浓度增大时，示数变小 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大 【答案】C 【分析】本题考查了物理与数学跨学科综合，根据反比例函数永远不会与坐标轴相交，可以判断A正确；根据函数图象，可看出随增大而减小，根据，为定值电阻，得到分母变小，分式真的值变大，判定当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大，当烟雾浓度增大时，光照强度E减弱，使得变大；示数变大，据此判断即可． 【详解】根据反比例函数永远不会与坐标轴相交，可以判断A正确，不符合题意； 根据函数图象，可看出随增大而减小，判断B正确，不符合题意； ∵，为定值电阻， ∴分母变小，分式的值变大，判定当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大， 故当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大，故D正确，不符合题意； 当烟雾浓度增大时，光照强度E减弱，使得变大；示数变大， 故C错误，符合题意； 故选C． 二、填空题 6．（2024九年级·全国·竞赛）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是400度时，镜片的焦距为米，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意特意求出的值是解题的关键．设，根据已知度的近视眼镜镜片的焦距是米，求出的值即可． 【详解】解：设， ∵400度的近视眼镜镜片的焦距是米， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式是：， 故答案为：． 7．（2024·湖南·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，那么k值是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流是电阻的反比例函数，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式即可． 【详解】解：把代入反比例函数式， ． 故答案为：36 8．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的（）与的图象交于点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，对等式和代数式进行合理的变形，整体代入求值是解题的关键；由交点可得，再把通分，整体代入求值即可； 【详解】函数的（）与的图象交于点， ， ， 故答案为：． 9．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．    【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键．分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可． 【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为， 故答案为：． 10．（2024·浙江杭州·一模）如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点．点为轴上的一点，连接、，若，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．由一次函数的解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后解析式联立，解方程组求得点的坐标，利用一次函数解析式求得直线与轴的交点，根据，求得的长度，即可求得点的坐标． 【详解】解：一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点， ， ， 反比例函数的解析式为， 由，解得或， ， 设一次函数图象与轴的交点为， 令，则， ， ， ， ， 点的坐标是或． 三、解答题 11．（2024九年级下·全国·专题练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求密度与体积的函数表达式； (2)若，求二氧化碳密度的变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）用待定系数法即可完成； （2）把和代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围． 【详解】（1）解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； （2）解：观察函数图象可知，随V的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时， 即二氧化碳密度的变化范围是． 12．（2024·辽宁·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，数形结合思想的应用． （1）将点的坐标代入反比例函数 ，求出，将点的坐标代入反比例函数求出，利用待定系数法确定一次函数解析式； （2）根据，进行计算即可． （3）找到反比例函数图象在一次函数图象之上的的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得：， 则反比例函数解析式为：； 将点代入，得：， 将点的坐标代入一次函数解析式，得： ，解得：， 故一次函数解析式为：． （2）解：一次函数解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， ， ． （3）解：反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：或． 13．（2023·贵州贵阳·二模）学校要制作一块面积为24平方米的矩形宣传牌，小明发现宣传牌的长发生改变时，宽也会随之改变，于是进行了如下探究，设矩形的长为x米，宽为y米． 下表给出了x与y的一些值． 1 2 3 … 24 8 6 … (1)_______，_______； (2)发现是的函数，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)根据以上信息，请你说说随着值的变化值如何变化． 【答案】(1)12，4 (2)函数表达式为，自变量的取值范围 (3)随的增大而减小 【分析】 本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意得到y与x之间的函数关系式即可； （3）根据反比例函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 故答案为：12，4； （2）解：设函数表达式为， ， ， 函数表达式为，自变量的取值范围； （3） 解：随的增大而减小． 14．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例的解析式为 (2)4 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 15．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】（1）；（2）第二天早上不能驾车出行，见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析． （1）先用待定系数法求出正比例函数解析式，然后求出，从而得出，再求出反比例函数解析式即可； （2）求出当时，，然后进行判断即可． 【详解】解：（1）依题意，设的解析式为，将点代入得：， 解得：， ， 当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ； （2）由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为13小时， ， 第二天早上不能驾车出行． 16．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．    (1)求双曲线的函数关系式； (2)直按写出当时，不等式了的解集； (3)若点在轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、数形结合确定解析式构成不等式的解集、三角形面积之比等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． （1）将点代入直线，确定点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）结合图像，即可获得答案； （3）首先确定点的坐标，设，则，，易得，然后分和两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， ∵可得，解得， ∴双曲线的函数关系式为； （2）∵直线与双曲线交于点， 结合图像可知， 当时，不等式的解集为； （3）对于直线， 令，可有，解得， ∴， 将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得，解得， ∴， 设，则，， ∴， ∵把的面积分成两部分， ∴当时，可有，解得， ∴； 当时，可有，解得， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 17．（2023·河南信阳·二模）周末，小华与同学一行人去户外露营，前进路上遇到一片十几米宽的湿地，为了节省时间，并安全通过，他们计划根据所学物理知识，当压力不变时，压强与所受力面积成反比例函数关系，在湿地上用一些大小不同的木板铺设了一条临时通道已知木板所受压力不变时，木板对湿地面的压强与木板面积的对应值如表： 木板面积 木板对地面地压强 (1)求反比例函数的解析式和自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)当木板面积为时，压强是______ ； (4)结合图象，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)3000 (4)当压强不超过时，木板面积至少 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设P与S之间的反比例函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （3）把代入（1）所求关系式中进行求解即可； （4）把代入代入（1）所求关系式中进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：设P与S之间的反比例函数关系式为， 将代入得：，解得， ∴P与S之间的反比例函数关系式为； （2）解：画出函数图象如图所示： （3）解：当时，， 故答案为：3000； （4）解：当时，， 由函数图象可知，P随S增大而减小， ∴当压强不超过时，木板面积至少． 18．（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： (1)图象初探 ①列表如下 x 1 2 3 4 y m 3 n 请直接写出m，n的值：_______，_______； ②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (2)性质再探 请结合函数的图象，写出当_______，y有最小值为_______； (3)学以致用 某农户要建进一个如图所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米． 设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元． 根据以上信息，请回答以下问题： ①写出y与x的函数关系式：_________，水池总造价的最低费用为_____千元； ②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ 【答案】(1)①，；②见解析 (2)1，3 (3)①，5；② 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，数形结合是解此题的关键． （1）①把和分别代入解析式即可得出结论； ②把表格中，的对应值在平面直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线连接起来； （2）根据图形得出结论； （3）①根据长方体的侧面面积，可得函数关系式，再结合（2）可得结论； ②令，解不等式即可． 【详解】（1） ①， 当时，， 当时，， ，； 故答案为：，； ②如图： （2） 由图象可得：当时，的最小值为3， 故答案为：1，3； （3） ①由题意可知， 由（2）可知，当时，的最小值为5， 水池总造价的最低费用为5千元， 故答案为：，5； ②由题意， ， ，即：， 解得：． 即：的值应控制的范围为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$