精品解析：甘肃省兰州市红古区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度第二学期期末教学质量监测试卷 八年级数学 考生注意：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相对应的位置． 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为零，则x的值是（　　） A. B. 2 C. D. 0 4. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（ ） A. 1，2， B. 6，8，9 C. 1，2， D. 5，12，14 5. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 用反证法证明，“在中，、对边是、．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 8. 以下因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 11. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数之和为（ ） A. B. C. 2 D. 4 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，，于点D，若，则∠B的度数为______． 14. 如图所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为________． 15. 如图，连接正八边形的对角线、，则的度数为______． 16. 已知不等式组的解都是关于x的不等式的解，则a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： 18. 解方程：． 19. 解不等式组： 20. 如图，，，求证：． 21. 先化简，再求值：．其中． 22. 如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形． 23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向下平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形． 24. 如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．求证：四边形为平行四边形． 25. 如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且． （1）求的度数； （2）若，求和之间的距离． 26. 某水果店需要购进甘肃瓜州白兰瓜和庆阳苹果两种水果，已知瓜州白兰瓜的进价比庆阳苹果高12元，用400元购进瓜州白兰瓜与用160元购进庆阳苹果的质量相等． （1）每千克瓜州白兰瓜和庆阳苹果的进价各为多少元？ （2）若该水果店需要购进瓜州白兰瓜和庆阳苹果这两种水果共200，总费用不超过2880元，最多购进瓜州白兰瓜多少千克？（进货量取整数） 27. 阅读并解决问题． 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． （1）利用“配方法”分解因式：； （2）19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：，请你把因式分解； （3）若，求m和n的值． 28. 在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． （1）如图1，若是等边三角形，，求的面积； （2）如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年度第二学期期末教学质量监测试卷 八年级数学 考生注意：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相对应的位置． 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，解答即可． 【详解】解： A、旋转后与原图形不重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、旋转后与原图形不重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、旋转后与原图形不重合，故不是中心对称图形，不符合题意； D、旋转后与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2. 一个不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式解集在数轴上的表示方法，熟练掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题的关键．表示数轴上2右边的部分，且2处是实心点，据此来判断． 【详解】解：表示数轴上2右边的部分，且2处是实心点， 故选：C． 3. 若分式的值为零，则x的值是（　　） A. B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键． 直接利用分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，分析得出答案． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴． 故选：C． 4. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（ ） A. 1，2， B. 6，8，9 C. 1，2， D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，能作为直角三角形三条边，符合题意； B、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意； C、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意； D、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意； 故选A． 5. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线定理等知识，在中，，，结合两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等性质解题即可．掌握相关知识是解题关键． 【详解】在中，， 。 ， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 7. 用反证法证明，“在中，、对边是、．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，直接选择即可． 【详解】解：根据反证法的步骤，得 第一步应假设不成立，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是关键． 8. 以下因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键，根据因式分解的方法逐一判断即可． 【详解】解A、，选项错误，不符合题意； B、，选项不是因式分解，不符合题意； C、，故符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，只需要找出函数图象在点的对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过两点，函数图象y随x的增大而增大， ∴的解集是， 故选：A． 10. 如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用的周长为9和等线段代换得到，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即, ∵的周长为9， ∴， ∴，即， ∴的周长． 故选：C． 11. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质，可以得到，，再根据等腰三角形性质得出，然后由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到， ，， ， ． 故选：B． 12. 若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数之和为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据有整数解求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可． 【详解】解不等式组，得：， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴，解得， 分式方程两边乘以，得：， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴，， ∴，且， ∵分式方程有整数解， ∴， ∴，0，1，3， 则所有整数a的和为， 故选：C． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，关键在于用含有a的式子表示y． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，，于点D，若，则∠B的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，先求出，再由垂线的定义得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为________． 【答案】20° 【解析】 【详解】∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM=∠BOM==20°． 又∵MA⊥OA于A，MB⊥OB于B， ∴MA=MB． ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴∠AMO=∠BMO=70°， ∴△AMN≌△BMN， ∴∠ANM=∠BNM=90°， ∴∠MAB=90°-70°=20°． 故答案为20°. 15. 如图，连接正八边形的对角线、，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则可得到，再由圆周角定理即可得到． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知不等式组的解都是关于x的不等式的解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，先解不等式得到，再解不等式得到，根据不等式组的解都是不等式的解得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 解不等式得：， ∵不等式组的解都是关于x的不等式的解， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】三项式想到完全平方公式，观察各项发现，首末两项为完全平方式，而中间项恰好是两数积的二倍，变成两数差的完全平方，括号内两项符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用积的乘方的逆运用即可． 【详解】， =， =， =． 【点睛】本题考查因式分解的内容，掌握因式分解的方法，能灵活运用因式分解的方法进行因式分解，掌握因式分解的顺序，会根据多项式的特点选择恰当的方法因式分解． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查解分式方程，根据解分式方程的方程步骤求解，然后检验即可，熟练掌握求解方法是解题关键． 【详解】解： 两边同时乘以得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ∴是方程的解． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 20. 如图，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据直角三角形定理，即可求解， 本题考查了，直角三角形定理，解题的关键是：熟练掌握应用定理证明三角形全等． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． 21. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理、等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义，三角形内角和定理推出． 【详解】略 23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向下平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称： （1）根据“上加下减”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据关于原点成中心对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，描出并顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，再证明为的中位线，得出，，再由为的中点，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴为的中位线， ∴，， 又∵为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 25. 如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且． （1）求的度数； （2）若，求和之间的距离． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理： （1）由平行四边形对边平行得到，再由三角形内角和定理得到，据此推出，解之即可； （2）由（1）可得到，据此求出的长，进而求出平行四边形的面积，再根据等面积法求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设和之间的距离为h， ∴， ∴， ∴和之间的距离为6． 26. 某水果店需要购进甘肃瓜州白兰瓜和庆阳苹果两种水果，已知瓜州白兰瓜的进价比庆阳苹果高12元，用400元购进瓜州白兰瓜与用160元购进庆阳苹果的质量相等． （1）每千克瓜州白兰瓜和庆阳苹果的进价各为多少元？ （2）若该水果店需要购进瓜州白兰瓜和庆阳苹果这两种水果共200，总费用不超过2880元，最多购进瓜州白兰瓜多少千克？（进货量取整数） 【答案】（1）庆阳苹果的进价是8元，则瓜州白兰瓜的进价是20元； （2）最多购进瓜州白兰瓜106千克． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，根据题意列出方程和不等式． （1）设庆阳苹果的进价是x元，则瓜州白兰瓜的进价是元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购进瓜州白兰瓜a千克，则购进庆阳苹果千克，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设庆阳苹果的进价是x元，则瓜州白兰瓜的进价是元， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：庆阳苹果的进价是8元，则瓜州白兰瓜的进价是20元； 【小问2详解】 设购进瓜州白兰瓜a千克，则购进庆阳苹果千克， ∵总费用不超过2880元， ∴， 解得：， ∵进货量取整数， ∴a最大为106千克， 答：最多购进瓜州白兰瓜106千克． 27. 阅读并解决问题． 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． （1）利用“配方法”分解因式：； （2）19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：，请你把因式分解； （3）若，求m和n的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将多项式加4再减去4，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将多项式加再减去，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （3）已知等式变形后，利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，偶次方，分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 28. 在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． （1）如图1，若是等边三角形，，求的面积； （2）如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图2中，延长到，使得，连接． ∵是等腰直角三角形，、是角平分线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴，  ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）由等边三角形的性质和角平分线的定义可得出，，从而可得出．再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和的长，即可求解； （）延长到，使得，连接．通过等腰三角形的判定和平行四边形的判定，即可证明，，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是平分线，是平分线， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义以及平行四边形的判定和性质等知识，综合性强，较难．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $