数学（天津专用）-2024年新高二开学摸底考试卷

新高二开学摸底考试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 范围：复数、平面向量、解三角形、立体几何初步、统计概率 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设向量，，若，则（    ） A． B．0 C．6 D． 2．数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 3．已知直线和平面，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 5．在中， 是中点，，，， 则 （    ） A． B． C． D． 6．我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的有（    ）    ①； ②三棱锥的体积为定值； ③的面积与的面积相等； ④二面角的正切值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知是虚数单位，化简的结果为 . 11．如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为 ． 12．某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为 ． 13．如图，甲乙两人做游戏，甲在处发现乙在北偏东方向，相距6百米的处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要 分钟． 14．如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为 ；（ⅱ）直线与所成的角为 ． 15．在平面四边形中，，，，若为边BC上一动点，当取最小值时，的值为 . 三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若. ①求与的夹角的余弦值； ②求. 17． （15分） 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的值和的面积． 18． （15分） 为了了解学生的数学学习情况，方便计划下一阶段的教学重心，某校对高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求a的值，并估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前12%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数应不低于多少?（精确到0.001） 19． （16分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 20． （16分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二开学摸底考试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 范围：复数、平面向量、解三角形、立体几何初步、统计概率 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设向量，，若，则（    ） A． B．0 C．6 D． 【答案】D 【分析】直接利用平面向量共线的坐标运算列式求解值． 【详解】向量，，若， 则，解得． 故选：D． 2．数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】B 【分析】把给定数据由小到大排列，利用第60百分位数计算即得. 【详解】这组数据从小到大排列为4，4，5，6，7，7，8，9，9，9，又， 所以这组数据的第60百分位数为. 故选：B 3．已知直线和平面，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由直线与平面的位置关系即可逐一判断各个选项，进而得解. 【详解】对于A，若，则或或或斜交，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知：若，则，故C正确； 对于D，若，则或相交或异面，故D错误. 故选：C. 4．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求展开图中扇形的弧长，再由圆心角与弧长和扇形半径的关系求圆心角. 【详解】圆锥的侧面展开图为扇形， 扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：B. 5．在中， 是中点，，，， 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先转化向量，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】由余弦定理可知，， ， . 故选：B 6．我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，找到样本空间和抽到祖冲之事件的样本点，根据古典概率求解. 【详解】记祖冲之为，其余4位数学家为， 则从五位数学家中任意抽取2位,样本空间为， 其中抽到祖冲之为， 所以抽到祖冲之的概率为. 故选：A 7．已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用投影向量的计算公式进行计算即可. 【详解】由题意知，在上的投影向量为： . 故选：C. 8．的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理边角互化以及两角和正弦可求得的度数，再根据面积公式以及余弦定理可求得，即可求得角B 【详解】根据题意知，有正弦定理边角互化可知， ， 化简可得，在中，所以，则， 所以得， 由， 可得，，所以， 所以. 故选：C 9．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的有（    ）    ①； ②三棱锥的体积为定值； ③的面积与的面积相等； ④二面角的正切值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】要判断，转化为判断平面，即可判断①，根据题意公式，判断底面积和高是否为定值，判断②，直接判断点和到直线的距离，即可判断③，首先构造二面角的平面角，再利用几何关系，即可求解正切值. 【详解】①如图，连结，交于点，因为，平面， 平面，所以，，且平面， 所以平面，平面，所以，故①正确；    ②由以上证明可知，点到平面的距离为，的面积为，所以三棱锥的体积为，故②正确； ③如图，，连结，，则，则点到的距离是，   ，与的面积不相等，故③错误； ④二面角，即为二面角， 由，，则是二面角的平面角， ，故④正确. 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知是虚数单位，化简的结果为 . 【答案】 【分析】利用复数乘除运算法则计算即可求得结论. 【详解】. 故答案为：. 11．如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为 ． 【答案】2 【分析】在平面图形中求出边上的高，在直观图中过点作交于点，则，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】如图在平面图形中过点，作交于点， 又，所以，所以， 在直观图中过点作交于点，则， 又，所以， 所以其直观图中边上的高的长度为. 故答案为： 12．某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为 ． 【答案】 【分析】根据独立事件的概率公式计算． 【详解】由题意，所求概率为. 故答案为：. 13．如图，甲乙两人做游戏，甲在处发现乙在北偏东方向，相距6百米的处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要 分钟． 【答案】2 【分析】设他们在点处相遇，引入参数，表示出，，结合余弦定理即可运算求解. 【详解】如图所示： 设他们在点处相遇，甲追赶上乙最少需要分钟， 由题意（距离单位是百米），且， 由余弦定理有：，即， 也就是，解得或（舍去）， 所以甲追赶上乙最少需要2分钟. 故答案为：2. 14．如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为 ；（ⅱ）直线与所成的角为 ． 【答案】 . 【分析】（i）由等体积法可得，由题意可得该三棱锥的体积； （ii）连接，易证得，可得与所成的角等于直线与所成的角，在中，求出的值，进而求出的值． 【详解】（i）因为底面是边长为2正方形，底面，，为的中点， 所以； （ii）因为为正方形，连接，则交于， 可得为的中点，因为为的中点，所以， 所以与所成的角等于直线与所成的角， 与所成的角为或其补角， 因为底面，平面， 所以平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，而平面， 所以，所以， 所以，即直线与所成的角为． 故答案为：；． 15．在平面四边形中，，，，若为边BC上一动点，当取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出最小时长，再利用余弦定理求解即得. 【详解】在平面四边形中，连接，由，，得是正三角形， 则， ，当且仅当时取等号， 而，则，在中，由余弦定理， 得，所以.    故答案为： 三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知向量. (1)若，求的值； (2)若. ①求与的夹角的余弦值； ②求. 【详解】（1）因为，所以或. （2）因为. 此时，. ①，，. 所以. ②因为，所以. 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的值和的面积． 【详解】（1）因为向量，，且 所以，由正弦定理得， 又，则，显然， 则，又，所以. （2）由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积. 18．为了了解学生的数学学习情况，方便计划下一阶段的教学重心，某校对高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求a的值，并估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前12%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数应不低于多少?（精确到0.001） 【详解】（1）由,解得. , 故本次数学测试成绩的平均分为71.5分. （2）因为[80,100]的频率为0.15+0.01=0.25, 故样本成绩的第75百分位数为80. （3）设受嘉奖的学生分数不低于分. 因为对应的频率分别为, 所以,从而,解得, 故受嘉奖的学生分数不低于88.667分. 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【详解】（1）证明：取的中点， 中点为， 所以，且， 又，故，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面，    （2）由于底面，平面，所以平面底面，又两平面的交线为， 过作于，连接， 所以平面，故即为直线与平面所成角， 又，，所以，， ， 由，所以， 故 20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 平面， 平面， 又平面， （2） 平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点）， ，可知N为中点， 而，，， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 结合，解得， . （3） 由题意知平面，过点N作平行线交于点H， 面，再作（K为垂足）， 为二面角的平面角，， 由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形， 从而， 在三角形中，， 所以， 而，所以， 不妨设，， 则且，， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二开学摸底考试卷 数学·答案及评分标准 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D B C B B A C C C 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10、 11、 2 12、 13、 2 14、 15、 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分） 【详解】（1）因为，所以或.（3分） （2）因为. 此时，.（6分） ①，，. 所以.（10分） ②因为，所以.（13分） 17．（15分） 【详解】（1）因为向量，，且 所以，由正弦定理得，（4分） 又，则，显然， 则，又，所以.（8分） （2）由余弦定理得， 整理得，解得或（舍），（12分） 所以的面积.（15分） 18．（15分） 【详解】（1）由,解得.（3分） , 故本次数学测试成绩的平均分为71.5分.（6分） （2）因为[80,100]的频率为0.15+0.01=0.25, 故样本成绩的第75百分位数为80.（10分） （3）设受嘉奖的学生分数不低于分. 因为对应的频率分别为, 所以,从而,解得, 故受嘉奖的学生分数不低于88.667分.（15分） 19．（16分） 【详解】（1）证明：取的中点， 中点为， 所以，且， 又，故，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面，（6分）    （2）由于底面，平面，所以平面底面，又两平面的交线为， 过作于，连接， 所以平面，故即为直线与平面所成角，（9分） 又，，所以，， ，（12分） 由，所以， 故（16分） 20．（16分） 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 平面， 平面， 又平面， （5分） （2） 平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点）， ，可知N为中点， 而，，， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以，（7分） 所以， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 结合，解得， .（10分） （3） 由题意知平面，过点N作平行线交于点H， 面，再作（K为垂足）， 为二面角的平面角，，（13分） 由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形， 从而， 在三角形中，， 所以， 而，所以， 不妨设，， 则且，， .（16分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高二开学摸底考试卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$