专题 二次函数的五种解题技巧（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题04二次函数的五种解题技巧 题型01巧用二次函数的定义求字母的值 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 【例1-2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）若关于的函数是二次函数，其图象开口向下，求的值． 【例1-3】（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 【变式1-2】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【变式1-3】（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 题型02巧用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）把二次函数通过配方化成的形式为 ，所以其图象的开口向 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 【例2-2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）通过配方，写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【例2-3】（21-22九年级上·广东河源·期末）通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)． (2)． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线，请通过配方写出它的对称轴和顶点坐标． 【变式2-2】（22-23九年级上·全国·单元测试）通过配方把下列函数化成的形式，写出函数图象的对称轴位置和顶点坐标． (1)； (2)． 【变式2-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）通过配方分别写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)． 题型03巧用顶点式求二次函数的最值 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是 （    ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的顶点坐标为 C．该函数有最大值，最大值为3 D．当，y随x的增大而增大 【例3-2】（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）已知二次函数的对称轴为直线，且过和两点． (1)写出此二次函数解析式； (2)求出这个函数的最大值或最小值； (3)当x为何值时，y随x增大而增大． 【例3-3】（23-24九年级上·北京石景山·期中）抛物线过点和． (1)求，的值； (2)当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山东威海·期末）下列二次函数中最大值为1的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知二次函数； (1)求m的值． (2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x取何值时y随的增大而减小． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知：二次函数． (1)将化成的形式； (2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值； (3)当x为何值时，y随x增大而减小，当时，求y的取值范围． 题型04巧用待定系数法求二次函数的表达式 【典例分析】 【例4-1】．（24-25九年级上·全国·假期作业）一个二次函数（）的图象经过点关于坐标轴的对称点B，求其关系式． 【例4-2】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．    【例4-3】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，抛物线过、两点，且抛物线与轴的另一个交点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)根据图象，直接写出使的的取值范围． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式． 【变式4-2】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知抛物线过，顶点坐标为，求的值． 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 题型05巧用顶点坐标处理抛物线移动问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·北京西城·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 【例5-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)它的顶点坐标是______，当______时，随的增大而减小； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得新拋物线与轴的交点坐标． 【例5-3】（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数：， (1)用适当方法确定该抛物线的顶点坐标； (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，若平移后的二次函数图象经过点，求的值． 【变式5-2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点坐标为，图象的顶点为．矩形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴上，顶点的坐标为． (1)求的值及顶点的坐标． (2)如图2，将矩形沿轴正方向平移2个单位得到对应的矩形．已知边分别与函数的图象交于点，连结，过点作于点．求的长． 【变式5-3】（22-23九年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．    (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 5．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）若是二次函数，则 ． 6．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 8．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线，则当时，函数的最大值为 ． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为 ． 三、解答题 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的一般式化成的形式： (2)分别写出此二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 11．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点， (1)求该函数的关系式； (2)若点，点在该函数图象上，求和的值． 12．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 13．（22-23九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）抛物线． (1)用配方法求顶点坐标，对称轴； (2)x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)x取何值时，；x取何值时，；x取何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04二次函数的五种解题技巧 题型01巧用二次函数的定义求字母的值 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴，解得：， 故选C． 【例1-2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）若关于的函数是二次函数，其图象开口向下，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义以及图象性质、因式分解法解一元二次方程，根据二次函数的定义，得，以及开口向下得，进行计算即可作答． 【详解】解：函数是二次函数，其图象开口向下， ，， ， 解得，， ∵， ． 【例1-3】（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键． （1）由题意知，，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得，，，，， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴， 解得，，，， ∴． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 【变式1-2】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得 【变式1-3】（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）把代入函数解析式中得：， 当时，， ∴y的值为． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键 题型02巧用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）把二次函数通过配方化成的形式为 ，所以其图象的开口向 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 【答案】 上 【分析】根据配方法化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数可化为， ∵， ∴所以其图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质：顶点坐标为，对称轴为直线 【例2-2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）通过配方，写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】开口向下，， 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将二次函数的一般式化为顶点式． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 【例2-3】（21-22九年级上·广东河源·期末）通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)． (2)． 【答案】(1)开口向上，顶点，对称轴为直线 (2)开口向上，顶点，对称轴为直线 【分析】（1）根据题意通过配方化为顶点式，即可写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）通过配方化为顶点式，即可写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 【详解】（1）解：，， ∴开口向上，顶点，对称轴为直线； （2）解：，， ∴开口向上，顶点，对称轴为直线． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线，请通过配方写出它的对称轴和顶点坐标． 【答案】对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的性质，将配成顶点式是解决问题的关键． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 【变式2-2】（22-23九年级上·全国·单元测试）通过配方把下列函数化成的形式，写出函数图象的对称轴位置和顶点坐标． (1)； (2)． 【答案】(1)，对称轴是过点且平行于轴的直线，顶点坐标是 ． (2)，对称轴是过点且平行于轴的直线，顶点坐标是 【分析】（1）根据配方法将一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （2）根据配方法将一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）， 对称轴是过点且平行于轴的直线，顶点坐标是 ． （2）， 对称轴是过点且平行于轴的直线，顶点坐标是 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法，将解析式化为顶点式是解题的关键． 【变式2-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）通过配方分别写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再根据顶点式的坐标特点求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标即可； （2）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再根据顶点式的坐标特点求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标即可； （3）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再根据顶点式的坐标特点求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标即可． 【详解】（1）解： ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解： ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解： ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数一般式化顶点式，对于二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；对称轴是直线，顶点坐标为，运用配方法正确将二次函数一般式化为顶点式是解题关键 题型03巧用顶点式求二次函数的最值 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是 （    ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的顶点坐标为 C．该函数有最大值，最大值为3 D．当，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据所给的表达式可得出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标，据此可解决问题，能根据所给表达式得出开口方向、对称轴和顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：A、由题知，因为二次函数的表达式为， ∴函数图象开口向上，故A不符合题意； B、函数图象的顶点坐标是，故 B不符合题意； C、∵函数图象开口向上， ∴函数有最小值，故C不符合题意； D、∵抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当，y随x的增大而增大，故D符合题意． 故选：． 【例3-2】（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）已知二次函数的对称轴为直线，且过和两点． (1)写出此二次函数解析式； (2)求出这个函数的最大值或最小值； (3)当x为何值时，y随x增大而增大． 【答案】(1)； (2)二次函数有最小值，最小值为0； (3)时，y随x增大而增大． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质． （1）设抛物线解析式为，将已知两点坐标代入求出a与b的值，即可确定出解析式； （2）根据抛物线开口方向，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）利用抛物线的对称轴及开口方向，利用二次函数性质即可得到x范围． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将和代入得：， 解得：，， 则二次函数解析式为，即； （2）解：∵，，顶点坐标为， ∴二次函数有最小值，最小值为0； （3）解：由二次函数对称轴为直线，， ∴时，y随x增大而增大． 【例3-3】（23-24九年级上·北京石景山·期中）抛物线过点和． (1)求，的值； (2)当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【答案】(1)的值为5，的值为 (2)当时，有最大值，为 【分析】（1）将和代入抛物线解析式得到，解方程即可得到，的值； （2）由（1）得到抛物线的解析式为：，从而得到，抛物线开口向下，将抛物线解析式化为顶点式，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点和， ， 解得：， 的值为5，的值为； （2）解：由（1）得的值为5，的值为， 抛物线的解析式为：， ， 抛物线开口向下， ， 当时，有最大值，为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、把二次函数解析式化为顶点式、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山东威海·期末）下列二次函数中最大值为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，有最大值，为，据此即可作答． 【详解】解：A、，，开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意； B、，，开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意； C、，，开口方向向下，有最大值，且为，不符合题意； D、，，开口方向向上，有最小值，且为，不符合题意； 故选：B 【变式3-2】（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知二次函数； (1)求m的值． (2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x取何值时y随的增大而减小． 【答案】(1) (2)当时，二次函数有最小值，最小值为2；当时，y随的增大而减小 【分析】（1）由题意知，，，计算求解即可； （2）由题意知，当，即时，二次函数有最小值，则，可知当时，二次函数有最小值，最小值为2；当时，y随的增大而减小． 【详解】（1）解：由题意知，，， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，当，即时，二次函数有最小值， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为2； 当时，y随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图像与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图像与性质． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知：二次函数． (1)将化成的形式； (2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值； (3)当x为何值时，y随x增大而减小，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为，最小值为 (3)， 【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式； （2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值； （3）以对称轴为界叙述其增减性即可；分别令和2求得函数值后即可确定y的取值范围． 【详解】（1）． （2）由（1）知，该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口朝上，有最小值，最小值为． （3）当时 y随x的增大而减小． ∵当时，， 当时，， ∴当时，． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，顶点坐标的求法，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线 题型04巧用待定系数法求二次函数的表达式 【典例分析】 【例4-1】．（24-25九年级上·全国·假期作业）一个二次函数（）的图象经过点关于坐标轴的对称点B，求其关系式． 【答案】或 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的特点，以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．坐标轴包含x轴和y轴，故点关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．根据对称的性质得到点关于x轴的对称点，以及点关于y轴的对称点，再利用待定系数法求解，即可解题． 【详解】解：点B与点关于坐标轴对称， ，． 当的图象经过点时，， ， ； 当的图象经过点时，， ， ． 二次函数的关系式为或 【例4-2】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．    【答案】； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理；求出二次函数的解析式是解题的关键．由题意设抛物线的解析式为交点式，根据得点C的坐标，并代入抛物线解析式中，即可求解；由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：拋物线交轴于两点，故设抛物线解析式为， ∵， ∴， 把点C坐标代入中，得， ∴， ∴， 化为一般式为：； ∵， ∴， 由勾股定理得： 【例4-3】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，抛物线过、两点，且抛物线与轴的另一个交点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)根据图象，直接写出使的的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2) 【分析】（1）根据直线解析式，求出点，，由、坐标设抛物线解析式，，代入点坐标，就出，即可求解， （2）根据图像直线在抛物线下方部分所对应的范围，即为所求， 本题考查了求二次函数解析式，根据交点确定不等式解集，解题的关键是：熟练掌握相关知识点． 【详解】（1）解：当时，，解得：， 当时，，解得：， ，， ， 设抛物线解析式为：，将点代入，可得： ，解得：， ， 故答案为：抛物线的解析式为：， （2）解：由图像可知，直线在抛物线下方部分，，即为的的取值范围， 故答案为： 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线解析式的计算，设，把代入，确定a值即可． 【详解】∵抛物线过点，且顶点为， ∴设， ∴， 解得， 故抛物线解析式为或 【变式4-2】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知抛物线过，顶点坐标为，求的值． 【答案】，， 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过， ， 解得， 抛物线的解析式为， ，，． 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)x的取值范围是 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质： （1）将A，B两点坐标代入函数解析式求解即可； （2）将代入函数解析式求得函数与轴的交点，结合图象，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题知， 将A，B两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的表达式为． 因为， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：将代入函数解析式得，， 解得，． 如图所示， 当时，抛物线在直线的下方，即， 所以x的取值范围是 题型05巧用顶点坐标处理抛物线移动问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·北京西城·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可） 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式； （2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 将化成的形式为； （2）解：由（1）中抛物线可化为， 抛物线经过平移得到可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可） 【例5-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)它的顶点坐标是______，当______时，随的增大而减小； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得新拋物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)坐标为 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）先将二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数平移的法则进行解答即可． 【详解】（1）， 故顶点坐标为， 函数的对称轴为，且开口向下， 故当时，随的增大而减小； 故答案为； （2）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 令，解得， 新拋物线与轴的交点坐标为 【例5-3】（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【答案】(1)二次函数的对称轴为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数的性质； （1）通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而求解； （2）根据平移的性质得出新抛物线的解析式为，然后由平移后的函数的对称轴为y轴得到，最后求解即可． 【详解】（1）解：配方： ， 所以二次函数的对称轴为，顶点坐标为； （2）由题意得：平移后的二次函数表达式为， 所以对称轴为， 因为平移后的二次函数对称轴是轴， 所以， 解得 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数：， (1)用适当方法确定该抛物线的顶点坐标； (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，若平移后的二次函数图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数图象的平移问题： （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据平移方式可得平移后的解析式为，再根据平移后的图象经过点，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：由题意得，平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点， ∴， ∴， 解得或 【变式5-2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点坐标为，图象的顶点为．矩形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴上，顶点的坐标为． (1)求的值及顶点的坐标． (2)如图2，将矩形沿轴正方向平移2个单位得到对应的矩形．已知边分别与函数的图象交于点，连结，过点作于点．求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质， （1）把代入二次函数解析式即可求得，将二次函数解析式化为顶点式即可求得，顶点； （2）根据题意可得点、点、点和点的横坐标，即可求得点和点，利用勾股定理即可求得． 【详解】（1）解：把代入，得， 则二次函数解析式为， ， 那么，顶点的坐标是； （2）∵点的坐标为， ∴点A和点B的横坐标为1， ∵矩形沿轴正方向平移2个单位， ∴点和点的横坐标为2，点和点的横坐标为3， 当时，，则点， 当时，，所以点， 所以． 所以 【变式5-3】（22-23九年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．    (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围． 【答案】(1)二次函数解析式为，点M的坐标为 (2) 【分析】（1）把点A、C的坐标代入函数解析式，用待定系数法求出抛物线解析式，将解析式化成顶点式，可得点M的坐标； （2）点M是沿着对称轴向下平移的，可先求出直线的解析式，再求出平移后的二次函数图象顶点落在上和落在上时m的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：把点，点代入二次函数，得， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴点M的坐标为； （2）设直线解析式为， 把点，点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点M的坐标为，抛物线对称轴为， 当时，， ∴当平移后的二次函数图象顶点落在上时，， 又∵点，轴， ∴当平移后的二次函数图象顶点落在上时，， ∴当平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界）时，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数顶点坐标的求法，二次函数的平移，一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握待定系数法，求出一次函数与二次函数的解析式是解题的关键 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选C． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可得到抛物线解析式． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 故选：B． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 将代入解析式求解． 【详解】解：将代入得， ∴， 故选：A． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解得或． ， ， 当时，这个函数是二次函数． 故选：A． 二、填空题 5．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）若是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义得：且，由此即可求出m的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义得：且， 由解得：，由解得：， ． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出值是关键． 根据顶点坐标，设抛物线的解析式为，由图象开口向上得出，就可以求出结论． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 该抛物线的图象开口向上， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了二次函数的平移规律，由一般式转化为顶点式， 首先将化为，然后根据函数平移的规律求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为，即． ∴，． 故答案为：，． 8．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线，则当时，函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先把化为顶点式，结合开口方向以及自变量的范围，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向下，在 ∵当时， ∴ ∴则当时，函数的最大值为． 故答案为： 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据当时，的最小值为，得出，根据二次函数的最值求出当时，的最大值为． 【详解】解：∵当时，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，的最小值为， ∴当时，有最小值为： ， ∵， ∴当时，的最大值为． 故答案为：． 三、解答题 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的一般式化成的形式： (2)分别写出此二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1) (2)开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】本题考查二次函数的性质，正确化为顶点式是解答的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将将二次函数化成顶点式为； （2）解：∵，， ∴此二次函数的的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 11．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点， (1)求该函数的关系式； (2)若点，点在该函数图象上，求和的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求函数值和自变量的值； （1）已知顶点可设二次函数的解析式为，再把的坐标代入得到关于的方程，然后解出即可． （2）把点，代入（1）中的解析式即可求得结果． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，把的坐标代入得： ，解得：， 该函数的关系式为：. （2）点在函数的图象上， ； 点在函数的图象上， 解得，， ∴或． 12．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 13．（22-23九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）抛物线． (1)用配方法求顶点坐标，对称轴； (2)x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)x取何值时，；x取何值时，；x取何值时，． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)当或时，；当时，；当或时， 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标的求法及其运用． （1）根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴； （2）由对称轴，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性； （3）判断函数值的符号，可以令，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函数值的符号与x的取值范围的对应关系． 【详解】（1）∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小； （3）令，即，解得或3，抛物线开口向下， ∴当或时，； 当时，； 当或时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$