1.1.2集合的基本关系（3知识点+6题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

1.2集合的基本关系 课程标准 学习目标 1.理解集合的之间的包含与相等关系。 2.能识别给定集合的子集和真子集。 3.在具体情境中了解空集的含义并会应用。 1.了解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集。 2.类比实数的关系，探究并理解子集、真子集的概念, 3.能使用图表达集合间的关系，体会图形在数学中对理解抽象概念的作用 知识点01 子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. 6.图形表示： 【即学即练1】（24-25高一上·上海·随堂练习）写出下列各集合的一个子集 (1)三角形； (2)； (3)． 【即学即练2】（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 知识点02 真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C ②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 【即学即练3】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 【即学即练4】（2022高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 知识点03 venn图与集合的相等关系、子集关系 1. Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 3.图形表示： 4.如果 A⊆B，且B⊆A则 A= B。 5.如果A=B则A⊆B且B⊆A。 【即学即练5】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（24-25高一上·全国·课堂例题），A、B、C之间有什么关系？ 难点：集合含参与二次方程问题 示例1：（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 难点：数形结合与分类讨论的应用 示例2：（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【题型1：集合间关系的判断】 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列写法中正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 变式5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 变式6．（多选）（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，则下列关系式表示正确的有（    ） A． B． C． D． 变式7．（2024高一上·全国·专题练习）是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 【方法技巧与总结】 判断集合间关系的方法 1.用定义判断 ①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B. ②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则A⫋B. ③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B. 2.数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． 【题型2：子集真子集个数判断】 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 变式1．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式2．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式3．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 变式4．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式5.（24-25高一上·上海·单元测试）若全集，则集合A的真子集共有 个． 变式6．（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 变式7．（23-24高二下·安徽·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为 ． 【方法技巧与总结】 ①A的子集的个数有2n个． ②A的真子集的个数有(2n－1)(n≥1)个． ③A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个． ④A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个． 【题型3：集合关系与参数问题】 例3．（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 变式1．（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 变式2．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若集合，，且，求满足的条件． 变式4．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 变式5．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 变式6．（23-24高一上·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 变式7．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【题型4：集合相等】 例4．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 变式2．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式3．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 变式4．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 变式5．（2018高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 变式6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，若，求实数和的值． 【题型5：符号辨析问题】 例5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23高一上·广西桂林·期末）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1．元素与集合、集合与集合的关系． “∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}． “⊆或⫋”是两个集合之间的包含关系． 2．0、{0}、∅、{∅}的关系 (1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合； ∅为不含任何元素的集合；{∅}为含有一个元素∅的集合，此时∅作为集合{∅}的一个元素． (2)联系：0∈{0},0∉∅，0∉{∅}，∅⊆{0}，∅⫋{0}，∅⊆{∅}，∅⫋{∅}． 【题型6：新定义题型】 例6．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 变式1．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 变式2．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 变式3．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）定义集合运算：. 若集合，，则集合的子集个数为 . 变式4．（22-23高一上·浙江宁波·期中）给定集合A和B，定义运算“”：．若，，则集合的子集的个数为 ． 变式5．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 变式6．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知集合为非空数集，定义： (1)若集合，请直接写出集合： (2)若集合，且，求证：； 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江·模拟预测）若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 3．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 5．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论中正确的是（    ）． A．所有的集合都可以用列举法表示 B．集合表示空集 C．集合，，则 D．已知，，，则 7．（24-25高一上·上海·课后作业）若、是全集的真子集，则下列四个关系式与等价的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·开学考试）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）下列结论正确的是（    ） A． B．集合A，B，若且，则 C．集合，，则 D．集合，，若，则或 10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 三、填空题 12．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合若，则 . 13．（22-23高一上·湖南长沙·期中）设，则与的关系是 ． 14．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 17．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 19．（22-23高一上·广东汕尾·阶段练习）已知集合，，. (1)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合的基本关系 课程标准 学习目标 1.理解集合的之间的包含与相等关系。 2.能识别给定集合的子集和真子集。 3.在具体情境中了解空集的含义并会应用。 1.了解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集。 2.类比实数的关系，探究并理解子集、真子集的概念, 3.能使用图表达集合间的关系，体会图形在数学中对理解抽象概念的作用 知识点01 子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. 6.图形表示： 【即学即练1】（24-25高一上·上海·随堂练习）写出下列各集合的一个子集 (1)三角形； (2)； (3)． 【答案】(1)直角三角形（答案不唯一） (2)或 (3)（答案不唯一） 【分析】（1）（2）（3）根据所给集合写出其一个子集即可. 【详解】（1）集合三角形的一个子集为直角三角形（答案不唯一）； （2）集合的子集为或； （3）集合的一个子集为（答案不唯一）. 【即学即练2】（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【分析】（1）根据子集的定义即可求解， （2）先用列举法求解集合，即可由子集定义求解. 【详解】（1）的所有子集有和， （2）由于， 所以所有的子集有和， 知识点02 真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C ②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 【即学即练3】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 【答案】，， 【分析】根据真子集的定义写出集合的所有真子集即可． 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 【即学即练4】（2022高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】答案见解析 【分析】解出集合，按元素个数进行分类写出其子集即可. 【详解】由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 知识点03 venn图与集合的相等关系、子集关系 1. Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 3.图形表示： 4.如果 A⊆B，且B⊆A则 A= B。 5.如果A=B则A⊆B且B⊆A。 【即学即练5】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先化简集合，再根据集合与集合的关系，元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为， 所以，，，故正确的只有A. 故选：A 【即学即练6】（24-25高一上·全国·课堂例题），A、B、C之间有什么关系？ 【答案】（子集符号也可以写出真子集）. 【分析】根据包含关系分析判断. 【详解】因为，可知， 所以（子集符号也可以写出真子集）. 难点：集合含参与二次方程问题 示例1：（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 难点：数形结合与分类讨论的应用 示例2：（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2） ，共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【题型1：集合间关系的判断】 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合化简变形成统一形式，然后分析判断即可. 【详解】因为 ， 所以． 故选：B． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 【详解】由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， 故选：C 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列写法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正确利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，判断选项即可． 【详解】A．，故选项不正确，不符合题意； B．是没有元素的，故，故选项不正确，不符合题意； C．空集是任何集合的子集，故选项正确，符合题意； D．，是集合与集合之间的关系，故选项不正确，不符合题意； 故选：C． 变式3．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系. 【详解】由题意可得，所以 . 故选：A 变式4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程求集合N，结合韦恩图及集合间的关系判定选项即可. 【详解】易知，显然，且互不包含. 故选：A 变式5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】B 【分析】求出，即可得出两集合之间的关系. 【详解】由题意， 在中，，， ∴，∴⫌， 故选：B. 变式6．（多选）（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，则下列关系式表示正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】确定，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可. 【详解】， 对选项A：，错误； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确； 故选：CD 变式7．（2024高一上·全国·专题练习）是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 【答案】 ⫋ ⫋ 【分析】由菱形是特殊的平行四边形，等边三角形是特殊的等腰三角形即可得. 【详解】菱形是特殊的平行四边形；等边三角形是特殊的等腰三角形， 故是菱形 ⫋是平行四边形，是等边三角形}⫋是等腰三角形． 故答案为：⫋；⫋. 【方法技巧与总结】 判断集合间关系的方法 1.用定义判断 ①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B. ②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则A⫋B. ③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B. 2.数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． 【题型2：子集真子集个数判断】 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 变式1．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 变式2．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数. 【详解】，故其子集的个数为8， 故选：D. 变式3．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 变式4．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合间的基本关系，利用集合中的元素个数即可求得满足条件的集合的个数. 【详解】由题意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个， 所以集合的个数等价于集合的非空子集的个数，即， 故选：C. 变式5.（24-25高一上·上海·单元测试）若全集，则集合A的真子集共有 个． 【答案】7 【分析】根据真子集的计算公式计算即可. 【详解】，所以真子集． 故答案为：7. 变式6．（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 【答案】30 【分析】若集合有个元素，则非空真子集的个数为. 【详解】根据元素互异性集合A中有5个元素， 所以非空真子集有． 故答案为:30. 变式7．（23-24高二下·安徽·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为 ． 【答案】63 【分析】依题意求出集合，即可求得其真子集个数． 【详解】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 【方法技巧与总结】 ①A的子集的个数有2n个． ②A的真子集的个数有(2n－1)(n≥1)个． ③A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个． ④A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个． 【题型3：集合关系与参数问题】 例3．（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 变式1．（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值． 【详解】因为， 解得，则． 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以， 若，即 若，即． 综上所述，时，的值为． 故选：ABC． 变式2．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用子集的含义求解即可. 【详解】因为，又因为，所以. 故答案为：. 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若集合，，且，求满足的条件． 【答案】答案见解析 【分析】由可知是的子集，对集合是否为空集分析讨论，即可求得满足的条件. 【详解】由可知是的子集， ①当时，，所以； ②当时，， 所以，解得； ③当时， 所以，解得； ④当时，， 所以，解得； 综上可知，满足的条件为或或或. 变式4．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 变式5．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 变式6．（23-24高一上·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)1或4 【分析】（1）根据题意分析可知2为方程的根，代入运算求解即可； （2）根据题意求集合，结合子集关系分析求解. 【详解】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 变式7．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为 . （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 【题型4：集合相等】 例4．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得或（舍）， 所以，，， 故选：A． 变式2．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 变式3．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 变式4．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 变式5．（2018高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 【答案】2 【分析】根据集合相等的性质可得，从而可得结果 【详解】因为，所以，于是可得或， 由得，而无解，所以， 所以=2. 故答案为：2 变式6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，若，求实数和的值． 【答案】，或，． 【分析】由已知结合集合相等的条件建立关于，的方程，求解后，需要进一步检查是否满足集合元素的互异性． 【详解】解：由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 【题型5：符号辨析问题】 例5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解. 【详解】, 所以，，，故ABD错误,C正确, 故选：C 变式1．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：或，故B错误； 对于C：或，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D 变式2．（22-23高一上·广西桂林·期末）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合和元素的关系,集合和集合的关系即可选出结果. 【详解】解:因为是集合,是数字,所以选项A错误; 因为是集合,所以,故选项B错误; 因为1是中的元素,所以选项C正确; 因为,所以选项D错误. 故选：C 变式3．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素与集合的关系和集合与集合的关系，判断符号是否正确 【详解】由元素与集合的关系，有，故B选项错误，C选项正确； 由集合与集合的包含关系可知，，，AD选项错误. 故选：C. 变式4．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“”与“”的区别，以及的含义直接判断即可. 【详解】“”是用于集合与集合之间，故A错误； “”用于元素与集合之间，故D错误； 是任何集合的子集，故C正确； 是以为元素的集合，而集合的元素中没有，故B错误. 故选：C 【方法技巧与总结】 1．元素与集合、集合与集合的关系． “∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}． “⊆或⫋”是两个集合之间的包含关系． 2．0、{0}、∅、{∅}的关系 (1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合； ∅为不含任何元素的集合；{∅}为含有一个元素∅的集合，此时∅作为集合{∅}的一个元素． (2)联系：0∈{0},0∉∅，0∉{∅}，∅⊆{0}，∅⫋{0}，∅⊆{∅}，∅⫋{∅}． 【题型6：新定义题型】 例6．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【答案】D 【分析】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【详解】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 变式1．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】A 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得. 【详解】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A 变式2．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【答案】120 【分析】确定最小值分别为时相应的集合A的个数，再求和即可. 【详解】设，对M的任意非空子集A共有个， 其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个， ． 故答案为：120 变式3．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）定义集合运算：. 若集合，，则集合的子集个数为 . 【答案】512 【分析】根据新定义得到中共有9个元素，然后根据元素个数求子集个数即可. 【详解】由题意得，共有9个元素， 所以的子集个数为. 故答案为：512. 变式4．（22-23高一上·浙江宁波·期中）给定集合A和B，定义运算“”：．若，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】8 【分析】根据集合新定义确定集合的元素，按照子集概念求得集合的子集，即可得子集得个数. 【详解】解：因为，， 所以，则集合的子集有：共8个. 故答案为：8. 变式5．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【答案】(1)12； (2)672. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 【点睛】关键点睛：本题的关键是在第（2）问中求集合的所有非空子集. 变式6．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知集合为非空数集，定义： (1)若集合，请直接写出集合： (2)若集合，且，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题目中的定义直接写出两个集合即可； （2）由，可得，写出的所有可能取值，再根据集合相等的定义即可得证. 【详解】（1）解：因为， ， 所以； （2）证明：由 ， 得， 则可取， 又因为， 所以， 剩下的元素满足， 所以. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程求出各集合，即可得出结论. 【详解】易知，，， 只有B表示，其它A、C、D均表示，B与众不同． 故选：B 2．（2024·黑龙江·模拟预测）若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】分类讨论，计算检验，即可得到结果. 【详解】当时，，此时满足. 当时，，此时 满足， 故选:C. 3．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【答案】D 【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得. 【详解】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 5．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得. 【详解】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论中正确的是（    ）． A．所有的集合都可以用列举法表示 B．集合表示空集 C．集合，，则 D．已知，，，则 【答案】D 【分析】举反例可判断A；根据集合的定义可判断B；根据集合的性质可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，不能用列举法表示，故A错误； 对于B，集合表示含有元素的集合，不是空集，故B错误； 对于C，集合表示上的点构成的集合， 表示的实数构成的集合，则，故C错误； 对于D，因为，所以，则，故D正确. 故选：D. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）若、是全集的真子集，则下列四个关系式与等价的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系逐一论证即可求解. 【详解】对于①，若，则“”当且仅当“”，即“”当且仅当“且”， 这意味着只要就一定有，即当且仅当，故①符合题意； 对于②，若，则“”当且仅当“”，即“”当且仅当“或”， 这意味着只要就一定有，即当且仅当，故②符合题意； 对于③④，若，则当且仅当，即当且仅当，故③④符合题意； 所以与等价的有4个. 故选：D. 8．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·开学考试）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 二、多选题 9．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）下列结论正确的是（    ） A． B．集合A，B，若且，则 C．集合，，则 D．集合，，若，则或 【答案】BC 【分析】由是无理数可判断A错；根据集合相等的概念知B对；对于C，求得x和y的取值范围均为R，从而可判断C对；对于D，根据集合的包含关系可求，从而可判断. 【详解】因为是无理数，所以，故A错误； 由集合相等的概念知B正确； 因为中的x和y的取值范围均为R，所以，故C正确； 因为，所以或.当时，； 当时，，此时.故或，解得或. 综上所述，a的取值为0，或，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用因式分解求三次方程的根化简集合，再利用集合关系即可判断. 【详解】对于A，方程，因式分解得， 解得或，所以，满足，故A正确； 对于B，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故B正确； 对于C，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，故C错误； 对于D，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故D正确； 故选：ABD. 11．（23-24高一上·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 故选：ABC 三、填空题 12．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合若，则 . 【答案】 【分析】先通过集合相等以及集合中元素的互异性求出，然后计算即可. 【详解】， ， ， 且， 得. . 故答案为：. 13．（22-23高一上·湖南长沙·期中）设，则与的关系是 ． 【答案】 【分析】根据表示元素的范围确定出，然后再判断的关系. 【详解】对于：因为，所以，所以； 对于：因为，所以， 所以， 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ． 【答案】 【分析】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解. 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， 又因为集合中的元素是的整数倍， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 17．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 18．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设，∴，将带入方程等式成立． ∴是方程的解， ∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论 且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵， ∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据集合相等的定义判断出无实根或其根为方程的根. 19．（22-23高一上·广东汕尾·阶段练习）已知集合，，. (1)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）由题设有、，讨论、分别判断是否符合题设，并确定的值； （2）由题设有，讨论集合，并利用一元二次方程根与系数关系、判别式求的取值范围. 【详解】（1）， 因为命题：“，都有”是真命题，所以， 因为， 所以当时，，则，即； 当时，，显然是的真子集. 综上，或. （2）由可得， 当时，，即； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，解得； 综上，的取值范围或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$