1.1.3集合的基本运算（3知识点+7题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

1.3集合的基本运算 课程标准 学习目标 1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集; 2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 1.理解集合的基本概念，并能正确运用集合的符号表示法。 2.掌握集合的交、并、差和补集的定义和运算方法。 3.能够应用集合的基本运算解决简单的实际问题 知识点01 交集 自然语言 一般地，由_所有属于集合A或属于集合B_的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作__ A∪B __(读作“A并B”)， 符号语言 A∪B＝____{x|x∈A，且x∈B}, 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B. 【即学即练1】（23-24高一下·海南海口·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24高一下·河南漯河·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 并集 自然语言 一般地，由___属于集合A且属于集合B　的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作_ A∩B _(读作“A交B”)， 符号语言 A∩B＝__{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质 ①A∪B＝B∪A； ②A∪A＝A； ③A∪∅＝∅∪A＝A； ④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B. 【即学即练3】（23-24高一下·云南普洱·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合，，则 ． 知识点03 全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 可用Venn图表示． 3.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. (2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U. 【即学即练5】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（24-25高一上·上海·课后作业）设全集是实数集，，，则等于 （　　） A． B． C． D． 难点：并交补综合含参分类讨论 示例1：（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 难点：分类讨论思想的应用 示例2：（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【题型1：交集的运算】 例1．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一下·江苏盐城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2024高一·全国·专题练习）已知，，则中的元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 变式4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，则 ． 变式5．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则 ． 变式6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，，则 ． 【题型2：并集的运算】 例2．（23-24高二下·广西玉林·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（多选）（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）全集，，，则 ． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合，，则 ． 变式7．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知集合，则的所有元素之和为 . 【题型3：补集的运算】 例3．（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2024·北京朝阳·一模）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 变式5．（多选）（23-24高一上·青海海东·阶段练习）已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 变式6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 变式7．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)求及； (2)求. 【题型4：集合交、并、补的综合运算】 例4．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合，，则（　　） A． B． C． D． 变式2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2024·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 变式5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式6．（23-24高一下·四川达州·期中）设全集，集合，，则 =（    ） A． B． C． D． 变式7．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 变式8．（23-24高一下·广东中山·开学考试）已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【方法技巧与总结】 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【题型5：并交补的实际应用】 例5．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 变式1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 变式2．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 变式3．（多选）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 变式4．（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 变式5．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 变式6．（23-24高一上·内蒙古·期中）某校春季举办了一次田径运动会，某班有20名同学参赛，该学校秋季又举办了一次趣味运动会，这个班有25名同学参赛．已知该班级这两次运动会都参赛的有12人．则这两次运动会中，这个班参赛的同学有 人． 变式7．（23-24高一上·贵州·阶段练习）某高一（5）班共有55名学生，在数学课上全班同学一起做两道数学试题，其中一道是关于指数函数的试题，另一道是关于对数函数的试题.已知关于指数函数的试题做对的有36人，关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，则这两道题都做对的有 人. 【题型6：集合含参问题】 例6．（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（2023·高一单元测试）设，其中，如果，求实数的取值范围. 变式2．（2023·高一单元测试）设，其中，如果，求实数的取值范围. 变式3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 变式4．（24-25高一上·上海·课堂例题）设全集为，集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 变式5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 变式6．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 变式7.（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市外国语学校校考阶段练习）设集合， (1)若集合A为，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； 变式8. （2021秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）设集合，， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 1.在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． 2.集合运算常用的性质：①A∪B＝B⇔A⊆B； ②A∩B＝A⇔A⊆B； ③A∩B＝A∪B⇔A＝B. 【题型7：集合的运算新定义】 例7．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 变式2．（多选）（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，定义运算，则（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 变式3．（多选）（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023高一·江苏·专题练习）已知是非空集合，定义运算且，若，，则 ， 变式5．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 变式6．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 变式7．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合． (1)求； (2)定义且，求． 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·甘肃·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 5．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·云南怒江·阶段练习）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江西·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，且，则实数组成的集合是 ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，则 ． 四、解答题 15．（22-23高一上·广东湛江·期中）设全集为R，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围． 16．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 17．（21-22高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 18．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 19．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3集合的基本运算 课程标准 学习目标 1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集; 2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 1.理解集合的基本概念，并能正确运用集合的符号表示法。 2.掌握集合的交、并、差和补集的定义和运算方法。 3.能够应用集合的基本运算解决简单的实际问题 知识点01 交集 自然语言 一般地，由_所有属于集合A或属于集合B_的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作__ A∪B __(读作“A并B”)， 符号语言 A∪B＝____{x|x∈A，且x∈B}, 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B. 【即学即练1】（23-24高一下·海南海口·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 【即学即练2】（23-24高一下·河南漯河·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 知识点02 并集 自然语言 一般地，由___属于集合A且属于集合B　的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作_ A∩B _(读作“A交B”)， 符号语言 A∩B＝__{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质 ①A∪B＝B∪A； ②A∪A＝A； ③A∪∅＝∅∪A＝A； ④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B. 【即学即练3】（23-24高一下·云南普洱·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出交集及并集再分别判断各个选项即可. 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 【即学即练4】（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合，，则 ． 【答案】 【分析】利用并集的定义，直接运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 知识点03 全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 可用Venn图表示． 3.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. (2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U. 【即学即练5】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集和补集含义即可得到答案. 【详解】由题意得，则. 故选：C. 【即学即练6】（24-25高一上·上海·课后作业）设全集是实数集，，，则等于 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据集合的交集的运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以. 故选：A. 难点：并交补综合含参分类讨论 示例1：（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 难点：分类讨论思想的应用 示例2：（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 【题型1：交集的运算】 例1．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 变式1．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得集合，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合得，又因，所以. 故选：D. 变式2．（23-24高一下·江苏盐城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助数轴，利用集合交集运算规则求交集即可. 【详解】 由图可知，， 故选：C. 变式3．（2024高一·全国·专题练习）已知，，则中的元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析集合所过定点，并绘制对应函数图象，则中的元素个数为两个图象交点 【详解】因为函数过点，过点，结合二次函数，绝对值函数和反比例函数图象画法， 故A，B对应的函数图象如下图所示:    显然，两个图象有3个交点，所以中有3个元素．     故选：C. 变式4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据是的取值范围，，然后求交集即可． 【详解】因为，， 所以， 故答案为：． 变式5．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】解出即可得出交集. 【详解】解方程组，得，故 . 故答案为：. 变式6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据交集概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 【题型2：并集的运算】 例2．（23-24高二下·广西玉林·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求出集合，再求. 【详解】依题意，， 而，所以. 故选：C. 变式1．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】因为集合，， 所以 ， 故选：A. 变式2．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 所以 . 故选：A. 变式3．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的运算可得答案． 【详解】因为，， 所以 . 故选：D 变式4．（多选）（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集运算直接求解即可. 【详解】因为， 由题意可得：，， 故AC错误，BD正确. 故选：BD. 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）全集，，，则 ． 【答案】 【分析】用列举法表示出集合中的元素，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以. 故答案为：. 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据并集的定义直接求解即可 【详解】因为，， 所以 . 故答案为： 变式7．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知集合，则的所有元素之和为 . 【答案】 【分析】求出集合B，再求，然后可得. 【详解】由题知，， 所以， 所以的所有元素之和为. 故答案为：. 【题型3：补集的运算】 例3．（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，进而根据补集的定义求得. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 变式1．（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出两个集合和之间的关系，再根据补集运算的定义求解即可． 【详解】因为集合或，， 所以， 故选：B． 变式2．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选：B. 变式3．（2024·北京朝阳·一模）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合A，再利用补集的定义求解即得. 【详解】全集，则， 所以. 故选：D 变式4．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得. 【详解】全集，集合， 所以. 故选：D 变式5．（多选）（23-24高一上·青海海东·阶段练习）已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先求出集合，再有交集，并集和补集的定义求解即可. 【详解】因为， 对于A，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：AC. 变式6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以 ，故实数a的取值范围是． 变式7．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)求及； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】利用交集，并集及补集运算直接求解. 【详解】（1）集合，, 故， （2）. 【题型4：集合交、并、补的综合运算】 例4．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算法则判断即可. 【详解】由集合，知，故错误； 或，或，故错误； ， 不是的子集，，故错误，正确. 故选：. 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，得到，结合并集的运算，即可求解. 【详解】由， 又由，可得，所以. 故选：D. 变式2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集和交集的定义直接运算即可求解. 【详解】由题得， 所以， 故选：C. 变式3．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】由题得：，，， 或，或， 所以 ，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 变式4．（2024·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算逐项判断即可. 【详解】对A,由，选项A错误； 对B,,，选项B错误； 对C,，选项C错误； 对D,因为，所以，所以选项D正确. 故选：D 变式5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据补集的概念求得，再结合交集运算可得答案. 【详解】由题意得，所以， 故选：A. 变式6．（23-24高一下·四川达州·期中）设全集，集合，，则 =（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，根据集合的交集的运算，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，， 故， 故 =， 故选：A 变式7．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集与补集的定义求解即可. 【详解】由题意，. 故选：C 变式8．（23-24高一下·广东中山·开学考试）已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据交集和并集的定义，即可求解； （2）首先计算补集，再求交集. 【详解】（1）由交集的定义可知，； 由并集的定义可知，； （2）由补集定义可知，， . 【方法技巧与总结】 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【题型5：并交补的实际应用】 例5．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【答案】B 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 变式1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【分析】利用韦恩图法即可快速求解. 【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. . 变式2．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 变式3．（多选）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 变式4．（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解. 【详解】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9，2 变式5．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 【答案】10 【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可. 【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人， 只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图， 则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为 人， 故答案为：10 变式6．（23-24高一上·内蒙古·期中）某校春季举办了一次田径运动会，某班有20名同学参赛，该学校秋季又举办了一次趣味运动会，这个班有25名同学参赛．已知该班级这两次运动会都参赛的有12人．则这两次运动会中，这个班参赛的同学有 人． 【答案】 【分析】直接根据集合的基本运算的定义得到答案. 【详解】这两次运动会中，这个班参赛的同学有人． 故答案为：. 变式7．（23-24高一上·贵州·阶段练习）某高一（5）班共有55名学生，在数学课上全班同学一起做两道数学试题，其中一道是关于指数函数的试题，另一道是关于对数函数的试题.已知关于指数函数的试题做对的有36人，关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，则这两道题都做对的有 人. 【答案】13 【分析】根据题意，利用集合的关系及运算列出方程即可求解． 【详解】设这两道题都做对的有人， 因为共有55名学生，关于指数函数的试题做对的有36人， 关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题， 所以， 解得. 故答案为：13 【题型6：集合含参问题】 例6．（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：B. 变式1．（2023·高一单元测试）设，其中，如果，求实数的取值范围. 【答案】或 【分析】由，然后利用集合的元素个数分别讨论，求出的取值范围即可. 【详解】由，而， 对于集合有： 当，即时，，符合； 当，即时，，符合； 当，即时，中有两个元素，而 ； ∴得； 综上，或. 变式2．（2023·高一单元测试）设，其中，如果，求实数的取值范围. 【答案】或 【分析】由，然后利用集合的元素个数分别讨论，求出的取值范围即可. 【详解】由，而， 对于集合有： 当，即时，，符合； 当，即时，，符合； 当，即时，中有两个元素，而 ； ∴得； 综上，或. 变式3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）解不等式得到，并根据，得到不等式，求出实数的取值范围； （2）由，得，分和，得到不等式，求出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意，得或． 又，，则． 结合数轴，可得或 解得或． 则实数的取值范围是或． （2）由，得． 当时，，即，满足． 当时，结合数轴，如图（1）（4），可得或 解得或． 则实数的取值范围是或． 变式4．（24-25高一上·上海·课堂例题）设全集为，集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用补集的运算求出，从入手求出的范围，再从反面即可求解； （2）从入手，得出，列不等式组求出的范围，再从反面即可求解条件下的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴或． 若，则， 解得：， ∴当时，的取值范围为或． （2）解：若，得， ∴或，得或， ∴当时，的取值范围为． 变式5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合. （2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 变式6．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以， 或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 变式7.（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市外国语学校校考阶段练习）设集合， (1)若集合A为，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，将问题转化为方程无实根，从而得解； （2）由得，从而利用待定系数法即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以方程无实根，即， 解得或， 所以的取值范围为. （2）因为，所以， 又因为，， 所以，解得， 当时，， 所以. 变式8. （2021秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）设集合，， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可知，代入集合分类讨论的取值即可得； （2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由集合可得， 由可得， 故，解得或， 当时，，此时不满足题意，舍去， 当时，，满足题意， 故； （2）由得， 当时，即时，满足题意； 当时，即时，满足题意； 当时，即时，，解得， 综上可得，或； 即实数的取值范围为. 【方法技巧与总结】 1.在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． 2.集合运算常用的性质：①A∪B＝B⇔A⊆B； ②A∩B＝A⇔A⊆B； ③A∩B＝A∪B⇔A＝B. 【题型7：集合的运算新定义】 例7．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【详解】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C 变式1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由题意先求，进而求出 【详解】由于，， 所以， 所以或， 故选：C． 变式2．（多选）（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，定义运算，则（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 【答案】AC 【分析】根据定义可得，即可判断AD，根据集合的交并补运算求解B，根据真子集的定义，利用列举法即可求解B. 【详解】由已知条件可得. 对于A选项，，A正确； 对于B选项，，则，故，B错误； 对于C选项，，即， 则满足条件的集合有：，共6个，C正确； 对于D选项，中所有元素之和为，D错误. 故选:AC. 变式3．（多选）（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据并集运算和新定义逐一判断即可. 【详解】， 故，故A正确； 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 变式4．（2023高一·江苏·专题练习）已知是非空集合，定义运算且，若，，则 ， 【答案】 【分析】根据给定的定义，结合数轴法及补集的定义求解即得. 【详解】画出数轴如图：    所以且，． 故答案为：； 变式5．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】由新定义的集合运算结合交集、子集等概念逐一判断每一个命题即可求解. 【详解】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，由新定义，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 变式6．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 【答案】 【分析】首先求和，再求. 【详解】∵，， ∴，， ∴． 变式7．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合． (1)求； (2)定义且，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据并集运算求解； （2）根据新定义直接计算即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）由于且， 所以或． 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又因为，所以． 故选：B． 2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的概念即可求解. 【详解】因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为. 故选：B. 3．（23-24高一下·甘肃·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 5．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为， 所以集合 ， 故选：B 6．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用补集的概念求出，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由可得或， 又，所以. 故选：A. 7．（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：A 8．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，根据定义依次判断即可. 【详解】因为，所以， 对于A选项，因为，故A选项错误； 对于B选项，因为，故B选项错误； 对于C选项，因为，故C选项正确； 对于D选项，，故D选项错误. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一下·云南怒江·阶段练习）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据集合的包含关系对的值分类讨论，利用集合元素的互异性进行排除. 【详解】因为，所以； 若，则，时，，不符合集合元素的互异性，舍去；时，，，满足，故A正确； 若，则，时，，，满足，故B正确；时，，，满足，故C正确； 若，则，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，则或0，时，，，满足； 所以或或， 故选：ABC. 10．（23-24高一上·江西·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果. 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 11．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】解法一：由判断A；由判断B；由判断CD． 解法二：依题意列举中的元素，观察可得答案. 【详解】解法一：易知，故A错误；易知，则B正确； ，故，故C正确，D错误， 故选：BC． 解法二：依题意，， ， 观察可知AD错误，BC正确， 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据并集的定义，写出的取值范围即可. 【详解】 由题意知，则用数轴画图可得. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，且，则实数组成的集合是 ． 【答案】 【分析】计算集合，根据得，再分别求和时的值即可. 【详解】由， 因为，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，实数组成的集合为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，联立方程组，结合集合交集的概念，即可求解. 【详解】由集合，， 联立方程组，解得，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（22-23高一上·广东湛江·期中）设全集为R，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）根据交集的定义求出，求出B的补集，从而求出其和A的并集即可； （2）得到，得到关于a的不等式组，解出即可． 【详解】（1）因为，， 则， 可得或， 所以或或. （2）因为，可知，且， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 16．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可得，解之即可； （2）由，可得，列出不等式组，解之即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以a的取值范围是； （2），因为，所以， 所以，解得， 所以b的取值范围是． 17．（21-22高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并运算即可求解， （2）根据集合间的关系，分类讨论为空集和非空集两种情况即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）当时，，解得. 当时，或 解得， 综上，或. 所以的取值范围是或. 18．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的并集，补集和交集运算求解； （2）根据求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以， 所以的取值范围是. 19．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或1 【分析】（1）根据集合的并集定义求解即可； （2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$