1.1.2集合的基本关系（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

1.2　集合的基本关系 知识点一 Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图． 注意： 用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 知识点二 子集 ★1、子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 或 集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等 A＝B 真子集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集 AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) ★2.子集的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 注意： (1)在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，且A≠B. (2)若出现A⊆B时，应讨论A＝∅和A≠∅两种情形． (3)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C. ★3.有限集合的子集个数 (1)求集合的子集时，为了做到不重不漏，对于含有n个元素的集合A，可以按元素个数由0到n，依次列出集合A的子集． (2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． 注意： (1)利用数轴处理不等式表示集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示． (2)涉及“A⊆B”或“A⊆B且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况． 特别提醒　判断集合间关系的常用方法 知识点三 空集 ★1.空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集． ★2.性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 注意： 空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点． 将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助； 袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的． 例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集． 知识点四 区间及其表示 ★1.区间的概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] ★2.特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注意： (1)因为区间[a，b]((a，b))中a<b，所以区间不能表示空集． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号． (3)在数轴上表示区间时，要区分实心点与空心点． 题型一 集合的相等 解题技巧提炼 集合相等：（1）满足AB且BA;A=B（2）两集合中的元素完全相同. 1．（2023秋•汉寿县校级期末）设，，集合，，，则　　 A．1 B． C．2 D． 【考点】19：集合的相等 【分析】根据集合的相等求出，的值，从而求出即可． 【解答】解：集合，，， ，， 故，，， 故选：． 【点评】本题考查了集合的相等的定义，是一道基础题． 2．（2023秋•迎江区校级期末）已知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】 【考点】集合的相等 【分析】根据即可得出，解出，并检验是否满足集合元素的互异性即可． 【解答】解： ， 解得，或3， 不满足集合元素的互异性，应舍去， ． 故选：． 【点评】考查列举法的定义，集合相等的定义，以及集合元素的互异性，属于基础题． 3．（2023秋•珠海期末）已知集合，若，则　　． 【答案】． 【考点】集合的相等 【分析】首先根据集合相等的条件求解与的值，进而求解的值 【解答】解：集合， 解得，， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题． 4．【多选】（2024春•广州期末）已知函数，集合，集合，若，则实数的取值可以是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【考点】集合的相等 【分析】由题意可得，集合可化为，运用判别式法，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：设集合， 由，即，① ，可得， 且①为， 可得且， 即为， 解得， 故选：． 【点评】本题考查集合的相等与不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于难题． 5．（2022秋•安顺期末）下列集合中表示同一集合的是　　 A．， B．，，， C．， D．，， 【答案】 【考点】判断两个集合是否相同 【分析】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可． 【解答】解：对，两集合的元素类型不一致，则，错； 对，由集合元素的无序性可知，，对； 对，两集合的唯一元素不相等，则，错； 故选：． 【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题． 6．【多选】（2024•青原区校级模拟）下列选项中的两个集合相等的有　　 A．，，， B．，，， C．，， D．， 【答案】 【考点】集合的相等 【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可． 【解答】解：选项：因为集合，表示的都是所有偶数组成的集合，所以； 选项：集合中的元素是由1，3，5，，所有正奇数组成的集合， 集合是由3，5，，所有大于1的正奇数组成的集合，即，所以； 选项：集合，，集合中：当为奇数时，，当为偶数时，，所以，，则； 选项：集合表示的是数集，集合表示的是点集，所以； 综上，选项表示的集合相等， 故选：． 【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题． 题型二 集合的包含关系判断及应用 解题技巧提炼 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 1．（2024春•浙江期中）设集合，，若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【考点】18：集合的包含关系判断及应用 【分析】考察集合的包含关系，利用数轴求解即可． 【解答】解：由题意作图则即可， 故选：． 【点评】实数集间的运算利用数轴可直观显现，体现数形结合的数学思想． 2．（2024春•唐县校级期末）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】集合的包含关系判断及应用 【分析】利用集合与集合间的关系直接求解． 【解答】解：集合，， ． 故选：． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查集合与集合间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（2024•宜宾三模）设，4，，，，若，则　　 A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】 【考点】18：集合的包含关系判断及应用 【分析】利用条件，得到或，求解之后，利用元素的互异性进行验证求解． 【解答】解：，4，，，， 若， 则或， 解得或或． 当时，集合，4，不成立． 当时，，4，，，，满足条件． 当时，，4，，，，满足条件． 故或． 故选：． 【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，注意求解之后要利用集合元素的互异性进行验证． 4．（2024•东海县校级模拟）已知集合，3，，，，若，则　　 A．1 B．或2 C．2 D． 【答案】 【考点】集合的包含关系判断及应用 【分析】依题意可得或，求出，再代入检验即可． 【解答】解：因为合，3，，，且， 所以或， 解得或或， 当时，集合不满足元素的互异性，故， 当时，3，，，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题． 5．（2023秋•薛城区期末）现有如下三个集合，钝角，第二象限角，小于的角，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】象限角、轴线角；集合的包含关系判断及应用；任意角的概念 【分析】利用钝角和第二象限角的定义即可判断． 【解答】解：钝角是大于，且小于的角，一定是第二象限角，故， 第二象限角的范围是，， 即第二象限角不一定小于， 故错误，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了象限角的定义，考查了集合间的包含关系，属于基础题． 6．（2023秋•安徽期末）已知集合，3，，，，则　　 A． B． C． D．以上都不正确 【答案】 【考点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：集合，3，，，，，选项错误； ，则错误，正确． 故选：． 【点评】本题考查集合间的关系，属于基础题． 题型三 Venn图表集合的包含关系 解题技巧提炼 (1) 表示集合的 Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲线 (2)用 Venn 图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 1．（2023秋•密山市校级期末）已知全集，能表示集合与关系的图是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】图表集合的包含关系 【分析】确定集合，再观察与集合的关系即可． 【解答】解：，则有，， ，又， 则两个集合有公共元素，． 故选：． 【点评】本题考查集合的关系，属于基础题． 2．（2024•锦州模拟）下列图能正确表示集合，1，和关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】图表集合的包含关系 【分析】由已知先求出集合，然后结合集合的包含关系进行判断即可． 【解答】解：因为，，，1，， 故． 故选：． 【点评】本题考查集合的表示法及包含关系的判断，考查数形结合思想，属于基础题． 3．（2023秋•西宁期末）下列能正确表示集合，0，和关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】图表达集合的关系及运算 【分析】求出集合，，再由，能求出结果． 【解答】解：集合，0，，，， ， 正确表示集合，0，和关系的是． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（2023秋•重庆期末）已知全集，能表示集合，，关系的图是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】图表集合的包含关系 【分析】推导出，由此能求出能表示集合，关系的图． 【解答】解：全集， 集合，1，，，， ， 能表示集合，，关系的图是． 故选：． 【点评】本题考查交集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型四 集合的包含关系的应用 解题技巧提炼 根据集合间的包含关系求参数范围的方法 （1）已知两个集合之间的包含关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解（2）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性;若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到. 1．（2024春•仓山区校级期末）若集合A＝{a}，B＝{1，3a﹣1}，若A⊆B，则a＝（　　） A．1 B． C．或1 D． 【考点】集合的包含关系的应用．版权所有 【答案】C 【分析】分类讨论，计算检验，即可得到结果． 【解答】解：当a＝1时，3a﹣1＝2，此时A＝{1}，B＝{1，2}满足A⊆B． 当a＝3a﹣1时，，此时＝满足A⊆B． 故选：C． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 2．（2023秋•开封期末）已知集合，，，2，，若，则的值为　　 A．1 B．2 C．1或 D．1或2 【答案】 【考点】集合的包含关系的应用 【分析】根据，可得或，从而可求解． 【解答】解：由得或，即或， 当时，，； 当时，，，都符合题意，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 3．（2023秋•商丘期末）已知集合，，，2，，若，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】 【考点】集合的包含关系的应用 【分析】根据元素与集合的关系列方程，解出． 【解答】解：，或，解得或，经检验均符合题意． 故选：． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 4．（2023秋•锡山区校级期末）已知集合，，，且，则实数的取值范围是　　 A．， B．，， C． D．，， 【答案】 【考点】集合的包含关系的应用 【分析】根据集合是集合的子集，结合集合中元素的互异性求解． 【解答】解：集合，，， ，则实数的取值范围是，，． 故选：． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 5．（2024春•鄞州区校级期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【考点】集合的包含关系的应用 【分析】分和，结合得出所满足的条件，进而可得出所求的答案． 【解答】解：当时，无解，此时，满足题意． 当时，有解，即， 若时，则， 所以要使，需满足，解得； 若时，则， 所以要使，需满足，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查集合间的基本关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题． 题型五 集合中元素个数的最值 解题技巧提炼 求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．. 1．（2024•金溪县校级模拟）已知集合，2，，则集合，中元素的个数是　　 A．1 B．3 C．5 D．9 【考点】：集合中元素个数的最值 【分析】可以确定当，时，的值最小，当，时，的值最大，所以，3，4，5，，进而得出选项． 【解答】解：因为，2，，且，， 当，时，，为的最小值， 当，时，，为的最大值， 若以，可以取的值为：2，3，4，5，6， 即，3，4，5，， 因此，集合共有5个元素， 故选：． 【点评】本题主要考查了集合描述法的意义，涉及集合元素的确定和个数的判断，其中确定最大，最小元素是关键，属于基础题． 2．（2023秋•普陀区校级期末）集合，且，则的个数是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 【考点】：集合中元素个数的最值 【分析】根据条件，且，确定集合的元素． 【解答】解：因为，且， 所以由得． 因为，所以，1，2，3，4，5，6，7，8，共9个数值． 故选：． 【点评】本题主要考查集合元素的确定，比较基础． 3.（2023秋•天山区月考）已知函数 ，且集合 ，则集合（a）的元素个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】根据绝对值函数的几何意义，得到函数是偶函数，建立方程组即可得到结论． 【解答】解：的几何意义是： 数轴上到点，，，，，的距离之和， 的几何意义是 数轴上点，，，，，到点的距离之和， 则根据绝对值的几何意义可知， 即函数是偶函数， 当，时，； 当，时，， 若，则①，或②，，③ 由①得， 即，解得或； 由②得，解得或； 由③得：，综上或或； 又（1）， 当时，（a）， 当时，（a），有无数个 （a）的值有无数个． 故选：． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据绝对值的几何意义判断出是偶函数，是解决本题的关键．难度较大． 题型六 子集与真子集 解题技巧提炼 （1）真子集是对于子集来说的．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，这就说明集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集， （2） 空集易错点：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 . 1．（2024春•合江县期末）已知集合满足，，2，3，4，，这样的集合有　　个． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】 【考点】子集与真子集 【分析】由题意知集合中的元素必有1，2，另外可从3，4，5中取，必须注意符号“”的含义． 【解答】解：由题意知集合中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中取， 取0个，取1个，取2个，取三个，故有（个． 故选：． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，同时考查了分类讨论的思想，是个基础题． 2．（2024•越秀区模拟）已知集合，，则的真子集共有个　　 A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】 【考点】子集与真子集 【分析】求出集合，即可得出集合的真子集个数． 【解答】解：因为，，，1，， 所以集合的真子集个数为． 故选：． 【点评】本题主要考查了结合的列举法与描述法的应用，还考查了集合真子集个数的求解，属于基础题． 3．（2024春•和平区校级期末）若集合，2，，，，，则集合的真子集个数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 【考点】子集与真子集 【分析】由已知先求出集合，然后结合集合子集与集合元素的关系即可求解． 【解答】解：因为集合，2，，，，，，，． 故的真子集个数为个． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合真子集个数的求解，属于基础题． 4．（2023秋•沙坪坝区校级期末）设集合，4，，，5，，若集合，则集合的子集个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【考点】交集及其运算；子集与真子集 【分析】先求出集合，再利用集合的子集个数公式求解． 【解答】解：集合，4，，，5，， 集合， 集合的子集个数为2． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合的交集运算，考查了集合的子集个数公式，属于基础题． 题型七 子集的判断与求解 解题技巧提炼 真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的． 1．（2023秋•富阳区校级期中）已知集合，，，，写出集合的含元素的所有真子集． 【答案】，，，，，，，，，，，，，，，． 【考点】子集的判断与求解 【分析】根据真子集的定义写出含的所有真子集即可． 【解答】解：，，，的含元素的所有真子集为：，，，，，，，，，，，，，，，． 【点评】本题考查了真子集的定义，是基础题． 2．（2022秋•吴中区校级月考）设全集，2，3，，集合，，集合． （1）试用列举法写出集合，； （2）写出集合的子集． 【答案】（1），，，； （2），，，，． 【考点】子集的判断与求解 【分析】（1）先求出集合中方程的根，确定出集合的元素，再由补集定义可解； （2）根据子集的定义解答，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）根据题意，可得，，， 因为全集，2，3，，所以，； （2）因为，，所以的子集为，，，，． 【点评】本题主要考查集合的概念与表示、子集与补集的求法等知识，考查了计算能力，属于基础题． 3．（2023秋•重庆期中）已知，，，则求： （1）集合的子集的个数，并判断与集合的关系； （2）请写出集合的所有非空真子集． 【考点】子集的判断与求解 【分析】（1）由含有个元素的集合的子集个数公式求得集合的子集的个数，再由空集与真子集的概念判断与集合的关系； （2）直接写出集合的所有非空真子集． 【解答】解：（1），，，集合的子集的个数为个，； （2）集合的所有非空真子集有：，，，，，． 【点评】本题考查集合间的关系，考查子集与真子集的概念，是基础题． 4．（2022秋•开福区月考）已知P＝{1，2，3，4}，写出P的所有子集，并指出哪些是P的真子集． 【考点】子集的判断与求解．版权所有 【答案】P的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}， 真子集的有∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}． 【分析】由已知结合集合子集及真子集的定义即可求解 【解答】解：因为P＝{1，2，3，4}， 所以P的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}， 其中真子集的有∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}． 【点评】本题主要考查了集合子集及真子集的求解，属于基础题． 5．（2022秋•连州市校级月考）已知，，． （1）当时，写出集合的所有子集，共有多少个？ （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）集合的所有子集有：，，，，，，，，，，，4，，共有8个子集． （2），． 【考点】子集与真子集；集合的包含关系判断及应用 【分析】（1）根据子集的定义求解． （2）由列出不等式组，求出的取值范围即可． 【解答】解：（1）当时，，3，， 集合的所有子集有：，，，，，，，，，，，4，， 共有8个子集． （2）， ， 解得， 实数的取值范围为，． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 题型八 空集及空集的性质 解题技巧提炼 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 1．（2023秋•蒙自市校级月考）下列四个集合中，是空集的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】空集及空集的性质 【分析】根据空集的概念进行判断． 【解答】解：选项，集合中显然有元素0，不是空集，错误； 选项，在上无解，故，正确； 选项，，错误； 选项，，错误． 故选：． 【点评】本题考查了空集的概念，是基础题． 2．（2022秋•昆都仑区校级月考）若集合为空集，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【答案】 【考点】空集及空集的性质 【分析】由题意说明不等式无实解，分类讨论和两种情况． 【解答】解：由题意不等式无实解， 时，不等式为，无实解． 时，，解得， 综上，，． 故选：． 【点评】本题考查不等式恒不成立问题，即不等式无实解．注意要对最高次系数分类讨论． 3．（2022秋•北京月考）下列集合表示空集的是　　 A． B． C． D．0 【答案】 【考点】空集的定义、性质及运算；集合的表示法 【分析】根据空集的定义判断即可． 【解答】解：对于，方程无实根，集合，故正确， 对于，集合中有一个元素，不是空集，故错误， 对于，集合中有一个元素0，不是空集，故错误， 对于，0不是集合，故错误， 故选：． 【点评】本题主要考查了空集的定义，属于基础题． 4．（2023秋•贾汪区校级月考）已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值为　0或1或　． 【考点】空集的定义、性质及运算 【分析】根据集合有且仅有两个子集，得到集合中只有一个元素，通过讨论的范围，从而求出的值． 【解答】解：若集合有且仅有两个子集， 则方程只有一个解， 时，，，的子集是和空集， 时，方程是一元二次方程， △，解得：， ，或，的子集是和空集， 故答案为：0或1或． 【点评】本题考查了集合的运算，考查了空集的定义及性质，是一道基础题． 题型九 子集的个数 解题技巧提炼 (1)求集合的子集时，为了做到不重不漏，对于含有n个元素的集合A，可以按元素个数由0到n，依次列出集合A的子集． (2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． 1．（2024春•江西期末）集合的子集的个数是　　 A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】 【考点】子集的个数 【分析】根据子集的定义即可得． 【解答】解：，，集合中有2个元素，则集合的子集个数是． 故选：． 【点评】本题考查子集的定义，属于基础题． 2．（2024•广东模拟）集合的真子集的个数为　　 A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】 【考点】子集的个数 【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数． 【解答】解：，，共有两个元素，故其真子集的个数为． 故选：． 【点评】本题考查真子集的计算，属于基础题． 3．（2023秋•唐山期末）已知集合，，则的子集的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【考点】子集的个数 【分析】根据子集个数的计算公式即可得出答案． 【解答】解：有2个元素， 的子集的个数为． 故选：． 【点评】本题考查了子集个数的计算公式，是基础题． 4．（2023秋•伊美区校级期末）已知集合，则集合的非空真子集的个数为　　 A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】 【考点】子集的个数 【分析】首先求解集合，再代入其非空真子集的个数的公式． 【解答】解：由不等式，解得，所以集合，0，1，， 所以集合的非空真子集的个数为． 故选：． 【点评】本题主要考查非空真子集个数的求解，属于基础题． 5．（2023秋•故城县校级期末）集合，，的真子集的个数是 　31　． 【答案】31． 【考点】子集的个数 【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子集的个数． 【解答】解：，，，，，，共5个元素， 则真子集的个数是． 故答案为：31． 【点评】本题主要考查真子集个数的求解，属于基础题． 题型十 区间 解题技巧提炼 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． 1．（2023秋•皮山县校级期中）已知区间，，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】区间 【分析】由区间的定义列式即可求得结果． 【解答】解：由题意可知，，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查区间的概念，属于基础题． 2．（2022秋•嘉善县校级月考）区间，等于　　 A．， B．， C． D． 【答案】 【考点】区间 【分析】根据区间与集合的概念判断． 【解答】解：区间，表示由的实数组成的集合． 故选：． 【点评】本题主要考查区间与集合的概念，属于基础题． 3．（2022秋•滨海新区校级期中）下列区间与集合或相对应的是　　 A． B．，， C．， D．， 【答案】 【考点】区间 【分析】由题意，利用区间的定义，得出结论． 【解答】解：集合或相对应的区间为，， 故选：． 【点评】本题主要考查区间的定义，属于基础题． 4．（2023秋•新会区校级期中）用区间表示数集　，　． 【考点】区间 【分析】根据区间的定义，可得答案． 【解答】解：数集，， 故答案为：， 【点评】本题考查的知识点是区间的概念，难度不大，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2　集合的基本关系 知识点一 Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图． 注意： 用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 知识点二 子集 ★1、子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 或 集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等 A＝B 真子集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集 AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) ★2.子集的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 注意： (1)在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，且A≠B. (2)若出现A⊆B时，应讨论A＝∅和A≠∅两种情形． (3)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C. ★3.有限集合的子集个数 (1)求集合的子集时，为了做到不重不漏，对于含有n个元素的集合A，可以按元素个数由0到n，依次列出集合A的子集． (2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． 注意： (1)利用数轴处理不等式表示集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示． (2)涉及“A⊆B”或“A⊆B且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况． 特别提醒　判断集合间关系的常用方法 知识点三 空集 ★1.空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集． ★2.性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 注意： 空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点． 将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助； 袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的． 例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集． 知识点四 区间及其表示 ★1.区间的概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] ★2.特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注意： (1)因为区间[a，b]((a，b))中a<b，所以区间不能表示空集． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号． (3)在数轴上表示区间时，要区分实心点与空心点． 题型一 集合的相等 解题技巧提炼 集合相等：（1）满足AB且BA;A=B（2）两集合中的元素完全相同. 1．（2023秋•汉寿县校级期末）设，，集合，，，则　　 A．1 B． C．2 D． 2．（2023秋•迎江区校级期末）已知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 3．（2023秋•珠海期末）已知集合，若，则　 　． 4．【多选】（2024春•广州期末）已知函数，集合，集合，若，则实数的取值可以是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2022秋•安顺期末）下列集合中表示同一集合的是　　 A．， B．，，， C．， D．，， 6．【多选】（2024•青原区校级模拟）下列选项中的两个集合相等的有　　 A．，，， B．，，， C．，， D．， 题型二 集合的包含关系判断及应用 解题技巧提炼 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 1．（2024春•浙江期中）设集合，，若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•唐县校级期末）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 3．（2024•宜宾三模）设，4，，，，若，则　　 A．0 B． C．0或 D．0或 4．（2024•东海县校级模拟）已知集合，3，，，，若，则　　 A．1 B．或2 C．2 D． 5．（2023秋•薛城区期末）现有如下三个集合，钝角，第二象限角，小于的角，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•安徽期末）已知集合，3，，，，则　　 A． B． C． D．以上都不正确 题型三 Venn图表集合的包含关系 解题技巧提炼 (1) 表示集合的 Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲线 (2)用 Venn 图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 1．（2023秋•密山市校级期末）已知全集，能表示集合与关系的图是　　 A． B． C． D． 2．（2024•锦州模拟）下列图能正确表示集合，1，和关系的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•西宁期末）下列能正确表示集合，0，和关系的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•重庆期末）已知全集，能表示集合，，关系的图是　　 A． B． C． D． 题型四 集合的包含关系的应用 解题技巧提炼 根据集合间的包含关系求参数范围的方法 （1）已知两个集合之间的包含关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解（2）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性;若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到. 1．（2024春•仓山区校级期末）若集合A＝{a}，B＝{1，3a﹣1}，若A⊆B，则a＝（　　） A．1 B． C．或1 D． 2．（2023秋•开封期末）已知集合，，，2，，若，则的值为　　 A．1 B．2 C．1或 D．1或2 3．（2023秋•商丘期末）已知集合，，，2，，若，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D．1或2 4．（2023秋•锡山区校级期末）已知集合，，，且，则实数的取值范围是　　 A．， B．，， C． D．，， 5．（2024春•鄞州区校级期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围为　　 A． B． C．或 D．或 题型五 集合中元素个数的最值 解题技巧提炼 求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．. 1．（2024•金溪县校级模拟）已知集合，2，，则集合，中元素的个数是　　 A．1 B．3 C．5 D．9 2．（2023秋•普陀区校级期末）集合，且，则的个数是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 3.（2023秋•天山区月考）已知函数 ，且集合 ，则集合（a）的元素个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 题型六 子集与真子集 解题技巧提炼 （1）真子集是对于子集来说的．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，这就说明集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集， （2） 空集易错点：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 . 1．（2024春•合江县期末）已知集合满足，，2，3，4，，这样的集合有　　个． A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024•越秀区模拟）已知集合，，则的真子集共有个　　 A．3 B．4 C．7 D．8 3．（2024春•和平区校级期末）若集合，2，，，，，则集合的真子集个数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2023秋•沙坪坝区校级期末）设集合，4，，，5，，若集合，则集合的子集个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 子集的判断与求解 解题技巧提炼 真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的． 1．（2023秋•富阳区校级期中）已知集合，，，，写出集合的含元素的所有真子集． 2．（2022秋•吴中区校级月考）设全集，2，3，，集合，，集合． （1）试用列举法写出集合，； （2）写出集合的子集． 3．（2023秋•重庆期中）已知，，，则求： （1）集合的子集的个数，并判断与集合的关系； （2）请写出集合的所有非空真子集． 4．（2022秋•开福区月考）已知P＝{1，2，3，4}，写出P的所有子集，并指出哪些是P的真子集． 5．（2022秋•连州市校级月考）已知，，． （1）当时，写出集合的所有子集，共有多少个？ （2）若，求实数的取值范围． 题型八 空集及空集的性质 解题技巧提炼 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 1．（2023秋•蒙自市校级月考）下列四个集合中，是空集的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•昆都仑区校级月考）若集合为空集，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 3．（2022秋•北京月考）下列集合表示空集的是　　 A． B． C． D．0 4．（2023秋•贾汪区校级月考）已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值为　 　． 题型九 子集的个数 解题技巧提炼 (1)求集合的子集时，为了做到不重不漏，对于含有n个元素的集合A，可以按元素个数由0到n，依次列出集合A的子集． (2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． 1．（2024春•江西期末）集合的子集的个数是　　 A．16 B．8 C．7 D．4 2．（2024•广东模拟）集合的真子集的个数为　　 A．3 B．4 C．7 D．8 3．（2023秋•唐山期末）已知集合，，则的子集的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023秋•伊美区校级期末）已知集合，则集合的非空真子集的个数为　　 A．6 B．7 C．14 D．15 5．（2023秋•故城县校级期末）集合，，的真子集的个数是 　 　． 题型十 区间 解题技巧提炼 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． 1．（2023秋•皮山县校级期中）已知区间，，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•嘉善县校级月考）区间，等于　　 A．， B．， C． D． 3．（2022秋•滨海新区校级期中）下列区间与集合或相对应的是　　 A． B．，， C．， D．， 4．（2023秋•新会区校级期中）用区间表示数集　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$