专题05 一元二次方程计算题（60题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

专题05 一元二次方程计算题（60题） 一、解答题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： (1)． (2) (3) 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 5．（23-24八年级下·四川成都·期中）（1）解方程； （2）． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）（1） （2）． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 8．（23-24八年级下·北京房山·期末）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 9．（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解． 10．（2024·江苏扬州·二模）先化简，再求值：，其中x满足． 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 12．（2024·山东青岛·二模）（1）化简：． （2）关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 13．（2024·广西梧州·二模）解分式方程：． 14．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）解方程： (1)； (2)． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）按要求解一元二次方程： (1)    （配方法） (2)    （因式分解法） 16．（23-24九年级上·天津宁河·期中）解下列方程 (1) (2) 17．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 19．（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）（用配方法） （2） 21．（2024八年级下·上海·专题练习）解分式方程：． 22．（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中的值： (1)； (2)． 23．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程 (1)； (2)． 24．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 25．（23-24八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1) (2) 26．（2024·山西太原·一模）（1）计算：； （2）解方程：． 27．（23-24八年级下·浙江·期中）解方程： (1)； (2)． 28．（22-23八年级下·山东济南·期末）解方程：． 29．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）解方程： (1)；（配方法） (2)． 30．（2024·湖南衡阳·一模）（1）用配方法解方程：； （2）用适当的方法解方程：． 31．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程： (1) (2) 32．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 33．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 34．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）解方程： （2）解不等式组： 35．（23-24九年级上·河南许昌·期末）解方程：       用配方法解方程： (1)； (2)； 用公式法解方程： (3)； (4)． 36．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）解方程或方程组： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 37．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 38．（23-24九年级下·江苏徐州·阶段练习）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 39．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程 (1)； (2) 40．（2024·浙江宁波·模拟预测）我们规定：对于任意实数，，，有，▲，，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：，▲，． (1)已知，▲，，求的值． (2)已知关于的方程，▲，有两个不相等的实数根，求的取值范围． 41．（2024·浙江·一模）设一元二次方程，在下面的三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，；②，；③，． 42．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知． (1)化简P； (2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求P的值． 43．（2024·河南安阳·模拟预测）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 44．（23-24九年级上·广东中山·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 45．（2024·河南洛阳·一模）解方程： (1)； (2)． 46．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 47．（22-23九年级上·广西防城港·期末）解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） 48．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）解方程 ． （2）关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 49．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）解方程： (1)； (2)． 50．（23-24九年级上·天津和平·期末）（1）解方程：； （2）关于x的一元二次方程有一个根是5，求k的值及方程的另一个根． 51．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 52．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程的两根分别为． (1)求的值； (2)求的值． 53．（23-24九年级上·四川成都·期末）解方程 (1)； (2)． 54．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求实数a的取值范围； (2)若，求a的值． 55．（2024九年级·全国·竞赛）解方程． 56．（2024九年级·全国·竞赛）按要求解下列方程． (1)用配方法解方程； (2)用公式法解方程； (3)用因式分解法解方程． 57．（2024九年级·全国·竞赛）解关于的方程． 58．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程的根都是整数，求的值． 59．（2024九年级·全国·竞赛）用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 60．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)（用配方法解方程）． (3)（用公式法解方程）． (4)（）（用因式分解法）． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程计算题（60题） 一、解答题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，设，则，通过解一元二次方程可得m的值，即可求出可能的值，然后再分别得出分式方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上，该方程的解为：，． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： (1)． (2) (3) 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （2）解：， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （3）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴或． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 【答案】当时，原方程无解，当时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出，再分情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，原方程无解， 当时，或． 5．（23-24八年级下·四川成都·期中）（1）解方程； （2）． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查解分式方程和一元二次方程： （1）将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）去分母得： 整理得：， 移项合并得：， 经检验是分式方程的解； （2）方程化为一般式为， ， ， ． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）（1） （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键 （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由十字相乘法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得，； （2）， ，或， 解得，． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 8．（23-24八年级下·北京房山·期末）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，掌握运用直接开平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先移项，然后运用直接开平方法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可； （3）直接运用公式法法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，． （2）解：， ， 或， 所以，该方程的解为：，． （3）解：， ∵，，， ∴， ∴， 所以，该方程的解为：，． 9．（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，先根据分式的加减法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出方程的解，根据分式有意义的条件求解即可，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 【详解】解：原式＝      ， 方程， 解得，， 当时，，舍去， 当时，原式． 10．（2024·江苏扬州·二模）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，原式= 【分析】本题考查分式化简求值，解一元二次方程．先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分，化简后解出的值，把有意义的的值代入计算即可． 【详解】解： ； ， ， 或， 当时，原式无意义， 把代入得： 原式 ． 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)方程无解 【分析】本题考查一元二次方程的解法，灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二方程即可； （2）先把方程整理为一般式得到得，然后利用公式法解方程． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： ， ， 方程没有实数根， ∴方程无解． 12．（2024·山东青岛·二模）（1）化简：． （2）关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）且． 【分析】此题考查了分式的化简和一元二次方程根的判别式，熟练掌握分式的运算法则和一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键． （1）先计算括号内的减法，再计算除法即可； （2）根据根的情况列出关于m的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）解：由题意得： ， ， 且． 13．（2024·广西梧州·二模）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解： 方程左右同乘以、去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 检验：，则，故是原分式方程的根， ，则，故是原分式方程的增根， ∴原分式方程的解为． 14．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是掌握解一元二次方程方法将一元二次方程转化成一元一次方程求解． （1）利用配方法解一元二次方程，即可解题； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 有或， 解得，． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）按要求解一元二次方程： (1)    （配方法） (2)    （因式分解法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了配方法及因式分解法解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：方程两边同除以2，移项得： 即． 配方得， 开方得，． ，． （2）解：原方程可化为， 分解因式得， 解得，． 16．（23-24九年级上·天津宁河·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程移项后运用直接开平方法求解即可； （2）方程运用公式法求解即可 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴ 17．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握利用配方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：，即， 可得：或， 解得：，． 18．（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）移项后直接开平方即可求解； （2）直接因式分解法即可求解； （3）直接因式分解法即可求解； （4）移项后，利用平方差公式进行分解因式即可求解； 【详解】（1）解： ， 移项得， 由此可得，． （2）解： 分解因式得 ， 由此可得 ，． （3）解： 分解因式得 ， 由此可得 ，． （4）解： 移项得 ， 分解因式得 ， 整理得 ， 由此可得 ，． 19．（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义， 方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解； 【详解】解： 或， 解得或． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）（用配方法） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程； （1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 21．（2024八年级下·上海·专题练习）解分式方程：． 【答案】，， 【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验． 原方程化为，设，则原方程变形为，求出的值，当时，方程为，求出方程的解，当时，方程为，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：原方程化为：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：或， 当时，， 整理得：， ， ， 解得：，； 当时，， 整理得：， ， 解得：， 经检验，，都是原方程的解， 所以原方程的解是，，． 22．（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中的值： (1)； (2)． 【答案】(1), (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再开平方即可得到答案； （2）直接开平方即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 则,； （2）解：， 或， 解得，． 23．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把方程左边利用提公因式法分解因式，然后解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 24．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程公式法，因式分解法．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ，． 25．（23-24八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解决问题的关键． （1）根据提公因式法因式分解解一元二次方程即可得到答案； （2）先由多项式乘以多项式展开，再由完全平方差公式因式分解解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即， 或， 解得，； （2）解：， ，即， ，即， 解得． 26．（2024·山西太原·一模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（）；（），． 【分析】（）利用平方差公式，化简立方根，计算负整数次幂，再算乘法，然后再合并即可； （）根据解一元二次方程的解法即可求解； 此题考查了二次根式的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（）解：原式， ， ； （）方法1：解：将原方程化为一般形式，得， 这里，， ∴， ∴， 即，； 方法2：解：原方程可变形为， ， ， 或， ∴，． 27．（23-24八年级下·浙江·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键； （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∴或， ∴ （2） ∴ ∴， ∴方程有两不等实数根， ∴， ∴． 28．（22-23八年级下·山东济南·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方后再开方，得到两个一元一次方程，求解即可． 【详解】解： 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 29．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）解方程： (1)；（配方法） (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用配方法求解即可； （）先把方程化成一般式，然后利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ，； （2）， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 30．（2024·湖南衡阳·一模）（1）用配方法解方程：； （2）用适当的方法解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用完全平方公式配方，进而解方程即可得到答案； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：（1） 解得； （2） 或 解得． 31．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法是解本题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 32．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得，； （2）解：， ， ∴或， 解得，． 33．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可得到答案； （2）先移项，然后把方程左边利用平方差公式分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得． 34．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组： （1）利用公式法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 35．（23-24九年级上·河南许昌·期末）解方程：       用配方法解方程： (1)； (2)； 用公式法解方程： (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （3）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （4）根据公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即，解得， ，； （2）解：， ， ，即，解得， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 36．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）解方程或方程组： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)，； (2)； 【分析】本题考查解一元二次方程，解不等式组： （1）用因式分解法求解即可得到答案； （2）分别解不等式，再根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解即可得到答案； 【详解】（1）解：因式分解得， ， ∴或， ∴，； （2）解：解不等式①得， ， 解不等式②得， ， ∴不等式组的解集为：． 37．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：直接开平方得：， ∴或， 解得：，； （2）解：移项得：， 因式分解得：，即， ∴或， 解得：，． 38．（23-24九年级下·江苏徐州·阶段练习）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得； （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是． 39．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了解方程，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验． 【详解】（1）， 移项，得， ， 或， 解得：； （2）原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：将代入得， 故原分式方程的解为． 40．（2024·浙江宁波·模拟预测）我们规定：对于任意实数，，，有，▲，，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：，▲，． (1)已知，▲，，求的值． (2)已知关于的方程，▲，有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)的值为3 (2)且 【分析】 本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式. （1）先根据新定义得到，解方程即可； （2）先根据新定义得到，再把方程化为一般式，接着根据题意得到且，解不等式即可． 【详解】（1）根据题意得得， 解得， 即的值为3； （2）根据题意得， 整理得， 关于的方程，▲，有两个不相等的实数根， 且， 解得且． 41．（2024·浙江·一模）设一元二次方程，在下面的三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，；②，；③，． 【答案】选②，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是掌握当方程有两个不相等的实数根时，判别式．先根据判别式得出可选择的组，然后解方程即可． 【详解】解：使这个方程有两个不相等的实数根， ，即 ②可以， 当选②解方程时： ， ， 或， ，． 42．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知． (1)化简P； (2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了分式化简，一元二次方程根的判别式； （1）先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，即可求解； （2）由根的判别式得，求出，代入，即可求解； 掌握分式化简的步骤，一元二次方程根的判别式：“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；”是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） 解：方程有两个相等的实数根， ， ， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴． 43．（2024·河南安阳·模拟预测）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 本题考查了用公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先计算的值，再用公式计算，即得答案； （2）通过移项，提取公因式，即得答案． 【详解】（1），，， ， ， ，； （2）移项，得 ， 提取公因式，得 ， 即 ， ，． 44．（23-24九年级上·广东中山·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法． （1）利用因式分解法解该方程即可； （2）利用因式分解法解该方程即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴； （2）解：， ， ∴， ∴． 45．（2024·河南洛阳·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）将看作一个整体，利用因式分解法即可解题． （2）将方程两边同时加上7，用配方法即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， ， ，． 46．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是解一元二次方程， （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）， ， ， 即， ∴． ∴， ． （2）， ， ， ∴，或． ∴，． 47．（22-23九年级上·广西防城港·期末）解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得； （3）利用公式法求解可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴，． 48．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）解方程 ． （2）关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）（2）m的值为7或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式等知识． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个相等的实数根可以得到，解关于m的方程即可求解． 【详解】解：（1）， 移项得 ， 配方得 ， 即 ， ∴， ∴； （2）∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴m的值为7或． 49．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解答本题的关键是掌握公式法、因式分解法解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大． （1）利用公式法解方程即可；一元二次方程的求根公式是：； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 这里，，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 或， ，． 50．（23-24九年级上·天津和平·期末）（1）解方程：； （2）关于x的一元二次方程有一个根是5，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）（2），方程的另一个根为 【分析】（1）本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可； （2）本题考查根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系列出方程，进行求解即可，掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）设方程的另一个根为，由题意，得：， ∴， 即：方程的另一个根为，． 51．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 52．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程的两根分别为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系，时，需要弄清楚、、的意义． （1）利用根与系数的关系求得求的值的值； （2）由一元二次方程的解可得再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）， ； （2）是一元二次方程的根， ， 又， ． 53．（23-24九年级上·四川成都·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， 或， ，． 54．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求实数a的取值范围； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果，是一元二次方程的两根，那么有，． （1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，， ， ， 解得， 其中不满足舍去， ． 55．（2024九年级·全国·竞赛）解方程． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程方法，即可解题． 【详解】解：原方程可化为， 或， 解得：，． 56．（2024九年级·全国·竞赛）按要求解下列方程． (1)用配方法解方程； (2)用公式法解方程； (3)用因式分解法解方程． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用公式法求解即可； （3）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：原方程可变形为， ∴， 即， ∴， ∴ 即，． （2）解：原方程可变形为 ∵，，， ∴， ∴，． （3）解：原方程可变形为， 或， ，． 57．（2024九年级·全国·竞赛）解关于的方程． 【答案】或或或 【分析】将方程整理，根据二次项的系数，讨论方程为一元一次方程时，为一元二次方程时，两种情况，分别求解即可，本题考查了解有字母系数的一元一次方程和一元二次方程，解题的关键是：根据未知数系数的情况讨论． 【详解】原方程可整理为：， ①当，即：或时，方程为一元一次方程， 当时，解得：， 当时，解得：， ②当，即且时，方程为一元二次方程，因式分解得：，即：或， 解得：或 58．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程的根都是整数，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数与有理根．先解出原方程可得，再由原方程的根都是整数，可设（为正整数），从而得到或，即可求解． 【详解】解： 解得：， 原方程的根都是整数， 是完全平方数， 设（为正整数）， ∴， ∵， 或， 解得：或． 经检验，或都满足条件． 即a的值为或． 59．（2024九年级·全国·竞赛）用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）整理后用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法i求解即可； （3）用公式法求解即可． 【详解】（1）原方程可化为：， ， ∴， ∴； （2）原方程可化为：， 或， ∴，； （3）， ， ∴． 60．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)（用配方法解方程）． (3)（用公式法解方程）． (4)（）（用因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）本题考查了解一元二次方程直接开平方法，先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）本题考查了解一元二次方程配方法，先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）本题考查了解一元二次方程公式法，先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）本题考查了解一元二次方程因式分解法，先移项得到，再化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ，； （3）解： 有，，， ， ， ，； （4）解：（）， 或， ，． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$