1.1—1.2 一元二次方程及解法 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

1.1—1.2 一元二次方程及解法 一、一元二次方程的定义 一元二次方程是指通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式的方程。它必须同时满足以下三点：方程是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c为常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 三、一元二次方程的解法 一元二次方程的解法主要包括配方法、公式法和因式分解法。其中，公式法是最常用的方法，其求根公式为x=(-b±√/2a。 1、配方法：通过配方，将一元二次方程化为完全平方的形式，然后利用平方根的定义求解。 2、公式法：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其解为x=(-b±√/2a。这个公式是由配方法推导出来的，适用于所有的一元二次方程。 3、因式分解法：如果一元二次方程可以化为两个因式的乘积等于0的形式，那么就可以通过因式分解法求解。即先对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，分别求解得到方程的解。 巩固课内例1:解一元二次方程——直接开平方法(单项) 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程，则它的解为 ． 3．解方程： (1) (2)． 巩固课内例2:解一元二次方程——直接开平方法(多项) 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．方程的根是 ． 3．解方程：． 巩固课内例3:解一元二次方程——配方法(系数为1) 1．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 2．把方程化成的形式，则 ． 3．解方程： (1) (2) 巩固课内例4:解一元二次方程——配方法(系数不为1) 1．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程配方后得到，则 ． 3．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 巩固课内例5:解一元二次方程——公式法 1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是 ． 3．解一元二次方程： (1)； (2)． 巩固课内例6:判断方程根的情况 1．定义新运算：，例如：，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有实数根 D．有两个不相等的实数根 2．定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 3．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 巩固课内例7:解一元二次方程——因式分解法 1．用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 2．方程的解为 ． 3．解方程： (1)； (2)； (3)． 类型一、一元二次方程的定义 1．下列属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 3．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 类型二、一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 2．方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 3．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 类型三、一元二次方程的解求参 1．如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 3．已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 类型一、解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．方程的解为 ． 3．解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 类型二、一元二次方程的估算 1．根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 类型三、一元二次方程变形求值 1．已知a是方程的一个根，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 3．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 类型一、降次法 1．若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 2．已知是方程的一个根，则式子的值为 ． 3．请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 类型二、换元法 1．已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 2．已知，则的值为 ． 3．【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 类型三、整体代入 1．若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．若关于的方程（其中h、k均为常数）的解是，则关于的方程的解是 ． 3．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得． 或． ． 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程：． 类型四、配方法的应用 1．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 2．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 3．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式无法直接用公式法分解，于是可以在二次三项式中先加上一项9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，请利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若． ①当、、满足条件：时，求的值； ②若三边长是、、，且为奇数，求的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1—1.2 一元二次方程及解法 一、一元二次方程的定义 一元二次方程是指通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式的方程。它必须同时满足以下三点：方程是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c为常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 三、一元二次方程的解法 一元二次方程的解法主要包括配方法、公式法和因式分解法。其中，公式法是最常用的方法，其求根公式为x=(-b±√/2a。 1、配方法：通过配方，将一元二次方程化为完全平方的形式，然后利用平方根的定义求解。 2、公式法：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其解为x=(-b±√/2a。这个公式是由配方法推导出来的，适用于所有的一元二次方程。 3、因式分解法：如果一元二次方程可以化为两个因式的乘积等于0的形式，那么就可以通过因式分解法求解。即先对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，分别求解得到方程的解。 巩固课内例1:解一元二次方程——直接开平方法(单项) 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程．将方程化为标准形式后，利用平方根的定义求解． 【详解】解：∵， 两边同时除以2，：， ∴直接开方得：， 解得：，， 故选：B． 2．已知关于x的一元二次方程，则它的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 3．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，配方法解一元二次方程，根据一元二次方程特征选择恰当解法是解题的关键． （1）方程两边除以2，再直接开平方即可； （2）配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ， ，． 巩固课内例2:解一元二次方程——直接开平方法(多项) 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．直接应用开平方法计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：C． 2．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】利用一元二次方程的解法——直接开方法解方程即可 【详解】 解： 或 ∴ 3．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法即可求解，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴，． 巩固课内例3:解一元二次方程——配方法(系数为1) 1．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程转化为完全平方形式，需根据一次项系数确定配方的常数项，并保持等式成立，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 2．把方程化成的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． 将原方程配方，求出、的值，再计算即可． 【详解】解：将配方得， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键； （1）先移项，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先移项，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 移项得：， 配方得：， 即：， 开方得：， 解得； （2）解： 移项得：， 配方得：， 即：， 开方得：， 解得． 巩固课内例4:解一元二次方程——配方法(系数不为1) 1．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法是解题的关键．利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， ． 故选：A． 2．将一元二次方程配方后得到，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先把原式变形为，进一步变形得到，则，据此可得b、c，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为，再根据配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得． 巩固课内例5:解一元二次方程——公式法 1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式法直接解一元二次方程即可 【详解】 解： ∴方程有两个相等的实数根 故答案选B 2．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 故答案为：，． 3．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握运用因式分解法、配方法、公式法等方法求解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法或配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，． （2）解：， ， ，． 巩固课内例6:判断方程根的情况 1．定义新运算：，例如：，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】本题主要考查一元二次方程根的情况和新定义运算题型，根据新运算的定义，方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【分析】解：由新运算定义，方程可化为：． 整理为标准形式：． 计算判别式：． 因，方程有两个不相等的实数根； 故选D． 2．定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不等实数根 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可． 【详解】解：∵， ， 即， ∵ ∴ ∴方程有两个不等实数根， 故答案为：有两个不等实数根． 3．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根， 方程没有实根． （1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， ， 方程总有两个实数根． （2）， ， 方程有一根为正数，     ，   ． 巩固课内例7:解一元二次方程——因式分解法 1．用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】题目主要考查因式分解法解一元二次方程，理解因式分解方法是解题关键 根据因式分解法的原理，若两数相乘为零，则至少有一个因数为零，将原方程的每个因式分别等于零，即可转化为两个一元一次方程，即可求解 【详解】解：原方程为 ， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先将因式分解为，再利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 所以方程的解为， 故答案为：． 3．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可； （3）移项整理，用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 因式分解，得， 于是得，， ∴ （2）解： ∵， ∴方程有两个不等的实数根 ∴， （3）解： 移项，得， 因式分解，得， 于是得，，或, ∴， 类型一、一元二次方程的定义 1．下列属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键． 由题意设这个一元二次方程为：，由一元二次方程的解可得，可得进而得出答案． 【详解】解：由题意设这个一元二次方程为：， 代入得，， 即， 可取， ∴这个一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 类型二、一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 2．方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 【详解】解：， 移项，得， 它的一次项系数是， 故答案为：． 3．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3)，0；过程见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 类型三、一元二次方程的解求参 1．如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x代入到方程中求出关于a、b的等式． 根据题意，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ∴ 故答案为：2025． 3．已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键： （1）把m代入方程，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值； （2）把m代入方程，得到，两边同时除以即可得出结果． 【详解】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 类型一、解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程． 用因式分解解一元一次方程即可． 【详解】解：， 因式分解，得， 于是得，，或， 解得，，， 故选：． 2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取一元二次方程的解法是关键；利用因式分解法即可求解． 【详解】解：原方程可化为， 分解因式得， 即， ∴． 3．解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，配方法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，配方法解方程． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求解； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： （2）解： ， 或， 解得： （3）解： ∴ ， 或， 解得： 类型二、一元二次方程的估算 1．根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 类型三、一元二次方程变形求值 1．已知a是方程的一个根，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，根据方程的解的定义得出，然后变形为，代入要求的式子计算即可，熟练掌握正确的化简技巧进行计算是解决此题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ，即， ， 故选：． 2．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根的定义等知识，熟练掌握一元二次方程根的定义及整体代入求值方法是解题的关键．利用一元二次方程根的定义得到，整理可得，整体代入代数式化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 3．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 类型一、降次法 1．若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由可得，，代入代数式，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．已知是方程的一个根，则式子的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 3．请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)8 (3)2028 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，即． ； （2）解：， ， ，即， ． （3）解：， ， ，即， ． 类型二、换元法 1．已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得或， ∴当，即时，此时方程无解， ∴， 故选：B． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用公式法解得，，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴应舍去， ∴， ∴． 故答案为：． 3．【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 类型三、整体代入 1．若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程有一个根2022， ∴必有一根为，解得：； 故选B． 2．若关于的方程（其中h、k均为常数）的解是，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查解一元二次方程，设看成一个整体，根据方程的解解方程即可． 【详解】解：令，则方程化为， ∵方程的解是， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 3．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得． 或． ． 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程成为解题的关键． 根据阅读材料用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 把看作一个整体，设， 则原方程可化为， 解得， 或着， ． 类型四、配方法的应用 1．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． 【详解】代数式 ∵， ∴即代数式， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解． 2．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查配方法的应用，把代入代数式，利用配方法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值等于2； 故答案为：2． 3．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式无法直接用公式法分解，于是可以在二次三项式中先加上一项9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，请利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若． ①当、、满足条件：时，求的值； ②若三边长是、、，且为奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)①5；②14或16 【分析】本题主要考查了利用“配方法”进行因式分解、三角形的三边的关系、同底数幂的乘法等知识点，灵活运用“配方法”是解答本题的关键． （1）直接利用“配方法”求解即可； （2）先利用“配方法”求出、；①由得到，即，进而完成解答；②由三角形三边的关系可得，，即，则可得z可以为5、7，即有可以为14、16问题得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，； ①∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵，， ∴，解得：，即n的值为5； ②∵三边长是、、， ∴， ∵，， ∴， ∵z奇数， ∴z以为5、7， ∴可以为14、16．即△ABC的周长为：14或16． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$