精品解析：山东省青岛市莱西市2023-2024学年高一下学期学业水平阶段性检测（四）（期末）数学试题

高一学业水平阶段性检测（四） 数学试题 本试卷共19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入代简可得，则，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】设，则，得 ， 所以，化简得， 所以， 所以 ，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 2. 若，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，根据数量积的运算律求出、，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 所以， 设与的夹角为， 所以，又，所以. 故选：A 3. （ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可运算求解. 【详解】 . 故选：D. 4. 底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. B. C. 13 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】画出直观图，由题意可得∽，从而可求出棱台的高，再根据棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图所示，正四棱锥被平行于底面的平面所截， 由题意可知， 因为∥，所以∽， 所以， 所以，所以， 所以所得棱台的体积为. 故选：A 5. 寒假期间，甲、乙、丙、丁名同学相约到4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式可知，然后根据古典概型分别求解代入计算即可. 【详解】由题意得：，， 所以, 故选：C. 6. 已知一组样本数据，，，…，满足：，则去掉后，下列数字特征中一定变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数概念判断A，根据中位数的概念判断B，根据极差的概念判断C，根据方差的概念判断D. 【详解】由，知原始中位数为，新数据的中位数为与没法比较， 即中位数不一定变化，故B不符合题意； 原平均数为，新平均数为， 平均数受极端值影响较大，所以平均数不一定变化，故选项A不符合题意； 去掉后，原始数据和新数据的极差都是，故极差一定不变化，故C不符合题意； 因为，去掉后剩余的8个数的波动变大了，故新数据的方差比原方差要大，故D符合题意. 故选：D 7. 若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案. 【详解】设z＝x+yi(x，y∈R)， 由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆， |z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和， 而|CO|＝，|CA|＝， 易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时， 且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝， 故选：D． 8. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，三棱柱外接球的球心为，点是侧棱上的一动点.下列说法正确的个数是（ ） ①直线与直线是异面直线；②若，则与一定不垂直；③若，则三棱锥体积为；④ 三棱柱外接球的表面积的最大值为. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的判定判断①；根据线面垂直的性质定理可判断②；对于③：球心在两底面中心边线的中点，求出到平面的距离即可求三棱锥的体积；对④：设外接圆半径，由，，可得没有最大值也没有最小值，由可得取值情况即可. 【详解】对于①，因为点平面，平面，点， 平面，所以直线与直线是异面直线，故①正确； 对于②，因为侧棱底面， ，故底面, 底面，故； 而，则，即， 又平面,故平面, 又平面，故， 故当（此时为近的四等分点）时，平面，则直线平面， 又平面， 所以，故②错误； 对于③：若，则为正三角形，其外心为正三角形的中心，连接与交于，则为的中点， 三棱柱外接球的球心在两底面中心连线的中点， 因为平面，所以到平面的距离相等， 因为侧棱底面，平面，所以面平面， 又面平面，，平面，所以平面， 所以到平面的距离为，即到平面的距离为， 所以，故③正确； 对④：设外接圆半径，由正弦定理得， 因为，，所以没有最大值也没有最小值， 故外接球半径没有最大值也没有最小值，故④错误. 故只有①③正确. 故选：B 【点睛】方法点睛：几何体外接球球心的求法： （1）将几何体置入长方体或直棱柱中找球心； （2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心； （3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据的最大值和最小值求出，再根据每分钟转4圈求出周期，从而可求得. 【详解】由图可知的最大值为15，最小值为， 所以，解得，所以AB正确，D错误， 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15， 所以，得，所以C正确. 故选：ABC 10. 有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ） A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助独立事件乘法公式计算即可得；对B：借助相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可得，C、D同理. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，， 则，故与不相互独立，故B错误； 对C：，， 则，故与相互独立，故C正确； 对D：， 则，故与相互独立，故D正确； 故选：ACD. 11. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（ ） A. 甲企业：均值为5，中位数为8 B. 乙企业：众数为6，中位数为6 C. 丙企业：众数和均值均5，下四分位数为4，上四分位数为8 D. 丁企业：均值为5，方差为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据每个企业所给数字特征，找出满足数字特征但不达标的一个特例即可判断ABD，对C中满足条件的数据分析，确定工作时长数据达标. 【详解】甲企业每周7天的工作时间可以为：9,8,8,8,2,0,0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A正确； 乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6,6,6,6,6,6,6,故不达标，故B正确； 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8， 设7天工作时间为：4,5,5,8,a,b,c,,与众数矛盾，，为使众数为5，成立，故丙企业达标，故C错误； 丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则在方向上的投影向量是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设与方向相同的单位向量为， 则在方向上的投影向量与共线，可用表示,由已知表示单位向量，并求出可得所求向量. 【详解】设与方向相同的单位向量为，则， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差. 【详解】依题意，，，， ∴（分）， ∴全班学生的平均成绩为分． 全班学生成绩的方差为 故答案为： 14. 一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得掷3次骰子，总的可能数为种，不能过关的基本事件为方程，其中的正整数解的总数，根据对立事件的概率公式计算即可. 【详解】由题意得掷3次骰子，总的可能数为种，不能过关的基本事件为方程，其中的正整数解（）的总数， 则共有 种， 所以不能过关的概率为， 所以通关的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”，竞赛获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖，在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人，统计制成了如下获奖人次条形图.现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛，以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率. （1）估计在本月“技术竞赛日”的竞赛中，甲获一等奖且乙未获奖的概率； （2）若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高，未获奖则没有奖金，估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）分三种情况讨论，分别按照相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，再相加即可. 【小问1详解】 依题意每人未获奖的概率为，获三等奖的概率为， 获二等奖的概率为，获一等奖的概率为， 所以甲获一等奖且乙未获奖的概率. 【小问2详解】 依题意有以下三种情形： ①丁获一等奖，丙获二等奖或三等奖或未获奖，则概率， ②丁获二等奖，丙获三等奖或未获奖，则概率， ③丁获三等奖，丙获未获奖，则概率， 综上可得丙所得奖金低于丁所得奖金的概率. 16. 如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． （1）求该圆台的表面积； （2）求四棱锥的体积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，由正弦定理可得下底面半径，可求以圆台表面积； （2）由三角形面积公式可求得的面积，在中，由余弦定理得，可得，则的面积，得到底面ABCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥的体积的最大值． 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积， ， 所以圆台表面积． 【小问2详解】 在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以的面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 17. 已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为． （1）请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 【答案】（1）15；5； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数，从而可补充表格内容； （2）利用条件概率的计算公式即可求解． 【小问1详解】 设事件C为“甲上午选择足球”，事件D为“甲下午选择足球”， 设甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数为x，事件E为“甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）”， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为：． 【小问2详解】 记事件A为“上午室外温度在20度以下”，事件B为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， ， ， 则：． 18. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． （1）如图1，求的最小值； （2）如图2，证明：为定值； （3）如图3，证明：到的距离为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，由锐角三角函数与三角形周长得到，从而表示出，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得； （2）设，，则，，从而可得，，，再通过的周长为，建立等式，再由两角和的正切公式求出，即可求出； （3）由三角形的面积公式得到，再将（2）中数据代入求出，即可得证. 【小问1详解】 设，，则，， 的周长为， ， 所以， 又，， ， 当，即时，取得最小值，且的最小值为； 【小问2详解】 设，，， 则，， ，，， 的周长为， ， ， ， ，又，， ， ， ，为定值； 【小问3详解】 ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 由（2）知， ， ，即到的距离的定值为． 19. 高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： （1）求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； （2）设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 【答案】（1）， （2）506个 【解析】 【分析】（1）利用复数的模公式求解，利用辐角公式求解； （2）利用复数相等，结合求解. 【小问1详解】 解：由， 得， ， ， ． 【小问2详解】 由， ， ， ，解得， ，∴，∴， ∴符合条件的k有506个， ∴这样的n有506个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一学业水平阶段性检测（四） 数学试题 本试卷共19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 2. 若，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. 1 B. C. -1 D. 4. 底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A B. C. 13 D. 26 5. 寒假期间，甲、乙、丙、丁名同学相约到4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（ ） A B. C. D. 6. 已知一组样本数据，，，…，满足：，则去掉后，下列数字特征中一定变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 7. 若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，三棱柱外接球球心为，点是侧棱上的一动点.下列说法正确的个数是（ ） ①直线与直线是异面直线；②若，则与一定不垂直；③若，则三棱锥的体积为；④ 三棱柱外接球的表面积的最大值为. A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（ ） A B. C. D. 10. 有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ） A B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（ ） A. 甲企业：均值为5，中位数为8 B. 乙企业：众数为6，中位数为6 C. 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8 D. 丁企业：均值为5，方差为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则在方向上的投影向量是__________. 13. 某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 14. 一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”，竞赛获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖，在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人，统计制成了如下获奖人次条形图.现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛，以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率. （1）估计在本月“技术竞赛日”的竞赛中，甲获一等奖且乙未获奖的概率； （2）若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高，未获奖则没有奖金，估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率. 16. 如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． （1）求该圆台的表面积； （2）求四棱锥的体积的最大值． 17. 已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为． （1）请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 18. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． （1）如图1，求的最小值； （2）如图2，证明：为定值； （3）如图3，证明：到的距离为定值． 19. 高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： （1）求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； （2）设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$