精品解析：云南省昆明市呈贡区云南师范大学附属中学呈贡学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

云南师大附中呈贡学校2023~2024学年（下） 2025届八年级期末考试 数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C. 投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 3. 我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，8个班在此次比赛中的得分分别是：，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A B. C. D. 4. 将抛物线 先向左平移1个单位， 再向上平移2个单位， 两次平移后得到的抛物线 表达式为 （ ） A. B. C. D. 5. 如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ） A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟 B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米 C. 报亭到小亮家的距离是米 D. 小亮打羽毛球的时间是分钟 6. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 7. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数图象如图所示，则方程的解是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则（　　） A. 45° B. 40° C. 35° D. 30° 12. 若是方程的一个解，且，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ） A. 12个 B. 16个 C. 20个 D. 30个 14. 若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2－（k＋5）x＋3k＋6＝0 的两个根，则k的值是（ ） A. －1或4 B. －1 C. 1或4 D. 4 15. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 2 3 4 y 5 0 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为；③当时，；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若，是抛物线上的两点，则，其中正确的个数是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 17. 抛物线的顶点坐标是______． 18. 今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示： 甲 乙 丙 45 45 42 s2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是__． 19. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针旋转90°得到，则的长是_______ 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解关于的方程：． 21. 一次函数的图象与直线平行，且经过点，求该一次函数的解析式． 22. 如图，将绕点旋转得到，且，，三点同一条直线上． 求证：平分． 23. 甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜． （1）用列表法（或画树状图）求甲获胜概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由． 24. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 25. 如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 26. 某商场购进，两种型号的空气净化器，销售台型和台型空气净化器的销售总价为元；销售台型和台型空气净化器的销售总价为元． （1）求型空气净化器和型空气净化器的销售单价； （2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共台，其中型空气净化器的进货量不超过型空气净化器的倍，设购进型空气净化器台，若型空气净化器每台的进价为元，型空气净化器每台的进价（元）满足，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？ 27. 已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）点在该抛物线上，且为整数，若值为整数，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南师大附中呈贡学校2023~2024学年（下） 2025届八年级期末考试 数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A.是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意， B.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意， C.是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意， D. 是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C. 投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，利用频率估计概率等知识点，正确理解随机事件的概念是解题的关键． 根据随机事件的概念，利用频率估计概率的原理分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意； B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意； C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意； D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意； 故选：． 3. 我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，8个班在此次比赛中的得分分别是：，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的的定义进行解答即可． 【详解】解：在这组数据中，出现了4次，出现次数最多， ∴众数为； 将这组数据排序为：， ∴中位数为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求众数和中位数，解题的关键掌握众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据为众数；一组数据按大小排序，最中间的一个数据为中位数． 4. 将抛物线 先向左平移1个单位， 再向上平移2个单位， 两次平移后得到的抛物线 表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位得到解析式：，再向上平移1单位得到抛物线的解析式为：． 故选：A． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 5. 如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间关系如图2所示．下列结论错误的是（ ） A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟 B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米 C. 报亭到小亮家的距离是米 D. 小亮打羽毛球的时间是分钟 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了分钟，故该选项正确，不符合题意； B. （米/分钟）， 即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意； C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是米，故该选项正确，不符合题意； D. 小亮打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键． 6. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数， ∴k≠0， 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0， 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0. 7. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 8. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 将交点代入二次函数解析式，可得，将该式略作变形即可得出答案． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故选：． 9. 二次函数图象如图所示，则方程的解是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点即可求解． 【详解】∵二次函数与x轴的交点为（-1，0），（3，0）， ∴方程的解是或， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知抛物线与x轴的交点与对应一元二次方程的解的关系． 10. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得 ， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 11. 如图，将绕点逆时针旋转70°到位置，若，则（　　） A. 45° B. 40° C. 35° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转70°到的位置， ∴， 而， ∴ 故选D． 【点睛】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 12. 若是方程的一个解，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，等式的性质等知识点，能根据等式的性质推出是解题的关键． 把代入方程得到，两边都除以即可求出答案． 【详解】解：把代入方程得：， ， 两边都除以得：， ， 故选：． 13. 在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ） A. 12个 B. 16个 C. 20个 D. 30个 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球， ∴有30次摸到白球． ∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3． ∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3． ∴4×3=12（个）． 故选A． 14. 若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2－（k＋5）x＋3k＋6＝0 的两个根，则k的值是（ ） A. －1或4 B. －1 C. 1或4 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论，当6为底时，则方程有两个相等实数根，即-4（3k+6）=0，解得：k=1，则方程的两根为3,因为3、3、6无法构成三角形，则这种情况不成立；当6为腰时，则方程有一个根为6，将x=6代入可得：36-6（k+5）+3k+6=0，解得：k=4，则方程的两根为3和6,因为3、6、6能够构成三角形，则k=4. 考点：（1）、根的判别式；（2）、解一元二次方程. 15. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 2 3 4 y 5 0 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为；③当时，；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若，是抛物线上的两点，则，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）可对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为y=ax（x-4）， 把（-1，5）代入得5=a×（-1）×（-1-4），解得a=1， ∴抛物线解析式为y=x2-4x，所以①正确； 抛物线的对称轴为直线x=2，所以②正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， ∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误； 抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确； 若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x2-2|＞|x1-2|，所以⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可． 【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0， 整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3， 因为k≠0， 所以k的值为﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 17. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．必须牢记二次函数的三种形式：一般式：；顶点式：；③两根式：． 利用配方法将抛物线的解析式转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 18. 今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示： 甲 乙 丙 45 45 42 s2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是__． 【答案】甲 【解析】 【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定． 【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高， 又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定， 即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数． 19. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针旋转90°得到，则的长是_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握旋转前后图形的对应关系是解决问题的关键. 【详解】由旋转的性质得到旋转角，对应边， 在 中, ， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解关于的方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先将方程化简，再根据方程的特点利用因式分解法求解即可． 【详解】解：将方程左边展开，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 分解因式，得：， ，． 21. 一次函数的图象与直线平行，且经过点，求该一次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，以及用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据两直线平行求出，利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ， 一次函数的图象经过点，， ， 解得， 一次函数的解析式为． 22. 如图，将绕点旋转得到，且，，三点在同一条直线上． 求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA=BD，从而得到∠A=∠ADB，根据∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE，从而证得结论． 【详解】解：证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE， ∴△ABC≌△DBE ∴BA=BD，∠A=∠BDE， ∴∠A=∠ADB． ∴∠ADB=∠BDE． ∴DB平分∠ADE． 【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． 23. 甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜． （1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由． 【答案】(1) ；（2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可． 【详解】解：（1）方法一画树状图： 由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种． ∴P（和为奇数）= ． 方法二列表如下： 由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有6种． ∴P（和为奇数）= ； （2）∵P（和为奇数）= ， ∴P（和为偶数）= ， ∴这个游戏规则对双方是公平的． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 小问1详解】 解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． 【小问2详解】 一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 25. 如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 【答案】（1）见解析；（2）BD＝2﹣2． 【解析】 【分析】（1）先由旋转的性质得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，则∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，利用AB＝AC可得AE＝AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE＝CF； （2）由菱形的性质得到DE＝AE＝AC＝AB＝2，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB＝∠ABE，根据平行线的性质得∠ABE＝∠BAC＝45°，所以∠AEB＝∠ABE＝45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AC＝2，于是利用BD＝BE﹣DE求解． 【详解】证明：（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC， ∵AB＝AC， ∴AE＝AF， ∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE＝CF； （2）∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝2， ∴DE＝AE＝AC＝AB＝2，， ∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE＝AC＝2， ∴BD＝BE﹣DE＝2﹣2． 【点睛】此题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟记旋转的性质及菱形的性质是解题的关键． 26. 某商场购进，两种型号的空气净化器，销售台型和台型空气净化器的销售总价为元；销售台型和台型空气净化器的销售总价为元． （1）求型空气净化器和型空气净化器的销售单价； （2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共台，其中型空气净化器的进货量不超过型空气净化器的倍，设购进型空气净化器台，若型空气净化器每台的进价为元，型空气净化器每台的进价（元）满足，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？ 【答案】（1）型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设销售完这批空气净化器能获取的利润是元，根据销售利润等于型的利润加上型的利润，列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元， 根据题意，得： ， 解得， 每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元； 【小问2详解】 解：设销售完这批空气净化器能获取的利润是元， 由题意得： ， ， ， 当时，随的增大而减小，且，取正整数， 当时，有最大值为元， 销售完这批空气净化器能获取的最大利润是元． 27. 已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）抛物线与轴的交点坐标为，； 抛物线与轴的交点坐标为 （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，深刻理解并运用数形结合思想是解题的关键． （1）首先设二次函数解析式为，然后把代入其中确定的值即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求得抛物线与轴的交点坐标；令，求出，即可求得抛物线与轴的交点坐标； （3）首先把代入（1）中解析式，得到关于、的关系式，然后代入所求代数式，利用整数的知识求出、的值即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 该抛物线经过点， 把代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即， 分解因式，得：， ，， 抛物线与轴的交点坐标为，； 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； 【小问3详解】 解：点在该抛物线上， 把代入中， ， ， ，为整数， 而的因数有或， 或， 或或或， 或， 点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$