精品解析：四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

仁寿县2026届高一下学期期末联考 数学试题 一、单选题 1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算得到，然后根据虚部的定义即可. 【详解】，所以. 故选：B. 2. 已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ） A. 32，90 B. 32，92 C. 30，90 D. 30，92 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质计算可得. 【详解】因为的平均数是10，方差是10， 所以的平均数是，方差是. 故选：A. 3. 圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：上、下底面的半径，结合圆台的侧面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3， 所以侧面积为. 故选：D． 4. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可. 【详解】由两向量共线可知，即，解得或. 故选：D. 5. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移规律解答即可. 【详解】因为，所以将函数的图象向右平移个单位所得的图象对应的函数为. 故选：. 6. 求值（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可. 【详解】因为； ； ， 所以 . 故选：D. 7. 如图，在边长为3的正三角形中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得到，再由数量积的运算代入数值求解即可. 【详解】由题意知，， 则 ， 所以 . 故选：C. 8. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【详解】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B 二、多选题 9. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则P是三角形的垂心 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦函数性质，结合三角形判断A；利用向量数量积的运算律计算判断B；利用正弦定理、余弦定理判断C；利用零向量与共线向量的定义可判断D. 【详解】对于A，在中，由，得或， 则或，则是等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于B，由，得， 则，同理，，即是三角形的垂心，B正确； 对于C，由，得， 由正弦定理得，则，为钝角，为钝角三角形，C正确； 对于于D，当，时，显然有，但此时不存在，D错误. 故选：BC 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而得到；B选项，求出，代入求出，得到函数解析式，计算出，B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域. 【详解】A选项，设的最小正周期为，则， 故， 因为，所以，A正确； B选项，由图象可知，，， 将代入解析式得， 故，故， 因为，所以， 故， ，故的图象不关于点中心对称，B错误； C选项，，C正确； D选项，，， 故，D错误. 故选：AC 11. 如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. 过三点的平面截正方体所得截面的面积为 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A.利用中位线平行得出与点共面； 选项B. 因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长，利用锥体体积公式求解即可； 选项C.由选项A知截面为正六边形,进而得解； 选项D.由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆. 【详解】选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点， 根据中位线易得,进而可得与点共面，所以平面，错误； 选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长， 正方形中 ， 则三棱锥的体积为, 选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形,边长，所以面积为， 选项D，由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图， 由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用平行线确定平面可以得出选项AC，选项B直接利用锥体体积公式计算即可，选项D关键是理解到.由 知点轨迹为为球心，为半径的球，球与正方体平面交线为圆弧，又正方体棱长为2与球半径相等，所以每个面上的圆弧为四分之一圆. 三、填空题 12. 已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为， 又，所以，解得， 因为，所以在上的投影向量为. 故答案为： 13. 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为__________. 【答案】12.4 【解析】 【分析】由分层抽样的方差公式求解． 【详解】甲同学抽取的样本占总样本的比例为， 乙同学抽取的样本占总样本的比例为， 总平均数为， 总方差为：， 故答案为： 14. 如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，将三棱锥补形成长方体，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，外接球直径为体对角线长，得解. 【详解】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直， 将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球， 外接球的直径等于以,，为长、宽、高的长方体的对角线长， ，， ， 所以外接球的表面积. 故答案为：. 四、解答题 15. 庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求a； （2）若从成绩不高于60分的同学中，采取样本量比例分配的分层随机抽样，抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （3）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果保留1位小数）. 【答案】（1） （2）2人 （3）平均数为分，中位数分. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1得到方程，解出即可； （2）根据分层抽样的特点计算即可； （3）根据频率分布直方图中平均数计算公式即可得到，先确定中位数位于内，再利用中位数计算公式即可. 【小问1详解】 由，得； 【小问2详解】 因为（人），（人）， 所以不高于50分的抽取（人）. 小问3详解】 平均数分， 因为在内共有人， 在内共有人， 所以中位数位于内，则中位数为分. 16. 函数.若两相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调增区间； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，再利用正弦型函数的图象与性质求解； （2）由三角恒等变换求解． 【小问1详解】 ， 由两相邻对称轴之间的距离为，得周期，即， 所以， 由，可得， 所以单调增区间为； 【小问2详解】 由，可得，所以， 因为，所以， 若，则，又，所以， 所以，所以， 所以. 17. 如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． （1）求的面积（用字母表示）； （2）若，，，，，求M，N之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理表示出边，利用面积公式可求答案； （2）先利用正弦定理求出,再利用余弦定理可求答案. 小问1详解】 由题意可知，由正弦定理，得， 面积 【小问2详解】 由（1）知， 在中，，， 在中，， 由余弦定理可得 ， 所以. 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点． （1）请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置； （2）求证：平面； （3）当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由． 【答案】（1）答案见解析，点为的中点； （2）证明见解析； （3）是定值，到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，依题意可得，即可得到，即可得解； （2）先证明，结合，利用线面垂直的判定定理即可得证； （3）先证明平面，又，则到平面的距离等于到平面的距离，再用等体积法求出点到面的距离. 【小问1详解】 如图，点为的中点，连接， 由为中点，则，又， 所以，所以四点共面， 故平面与棱柱的截面为． 【小问2详解】 证明：因为在与中，， 所以，又， 所以， 所以， ，且平面， 所以平面， 即平面； 【小问3详解】 由（2）知平面，又平面， 所以，又， 所以， 又，且平面， 所以平面， 又，所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以 ， 所以三棱锥的体积为定值． 中，， 所以， 由， 可得， 所以点到平面的距离为． 19. 在中，对应的边分别为. （1）求A； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3. （ⅰ）求：的最小值； （ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）108；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解； （2）（i）化简为，由三维柯西不等式求解； （ii）由三维柯西不等式有求解． 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以，故，又，所以； 小问2详解】 （i）根据柯西不等式：   ， （当且仅当为正三角形时取等号）    即：的最小值为108. （ii）. 又， 由三维柯西不等式有 当且仅当即时等号成立. 所以， 由余弦定理得， 所以，即， 则， 令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令，令，则， 由二次函数单调性可知，当即时，有最大值， 此时有最小值（此时与可以同时取到） 【点睛】关键点点睛：第二问的第2小问中，要将变形，再利用三维柯西不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 仁寿县2026届高一下学期期末联考 数学试题 一、单选题 1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ） A. 32，90 B. 32，92 C. 30，90 D. 30，92 3. 圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（ ） A B. C. D. 4. 已知向量，，若与共线，则（ ） A B. 4 C. D. 或4 5. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 求值（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，在边长为3的正三角形中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，则等腰三角形 B. 若，则P是三角形的垂心 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则存在唯一实数使得 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象关于点中心对称 C. D. 在上的值域为 11. 如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. 过三点的平面截正方体所得截面的面积为 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题 12. 已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为__________. 13. 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为__________. 14. 如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为______. 四、解答题 15. 庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求a； （2）若从成绩不高于60分的同学中，采取样本量比例分配的分层随机抽样，抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （3）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果保留1位小数）. 16. 函数.若两相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调增区间； （2）若，，求 17. 如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． （1）求的面积（用字母表示）； （2）若，，，，，求M，N之间的距离． 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点． （1）请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置； （2）求证：平面； （3）当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由． 19. 在中，对应的边分别为. （1）求A； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3. （ⅰ）求：的最小值； （ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$