精品解析：湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

2024年上学期高一期末质量检测试题 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法法则进行计算. 【详解】 故选：D 【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知命题，则（ ） A. 是假命题； B. 是假命题； C. 是真命题； D. 是真命题； 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质可以判断命题的真假，再根据特称命题的否定为全称命题判断可得； 【详解】解：因为，所以，则，所以是假命题， 故选：B 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及真假判断，属于基础题. 3. 在中，，，，则最短边边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大角对大边的结合正弦定理即可得到答案. 【详解】， ，边b最短， 由，得． 故选：A. 4. 甲、乙两位射击运动员参加比赛，连续5轮射击比赛的成绩情况如图所示： 则下列说法正确的是（ ） A. 甲平均成绩高，乙成绩稳定 B. 甲平均成绩高，甲成绩稳定 C. 乙平均成绩高，甲成绩稳定 D. 乙平均成绩高，乙成绩稳定 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数和方差的计算公式计算即可得出答案 【详解】由题意可得， ， ， ， ， 因为且. 故选：A． 5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 【答案】C 【解析】 【分析】由容斥原理即可得解.. 【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为. 故选：C. 6. 把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，这时顶点到的距离是（ ） A. a B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，过作于，连接，可得，求得的长即可. 【详解】如图所示，在翻折后的图形中，由已知可得， 所以为二面角的平面角，即， 又，平面，所以平面． 过作于，连接， 则为中点，且，所以即为点到的距离．易知，是边长为的等边三角形，所以，． 所以顶点到的距离是. 故选：D. 7. 甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击同一目标，则目标被击中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出目标不被击中的概率，再用1减去不被击中的概率即可 【详解】由题可知，目标不被击中的概率是，所以目标被击中的概率为= 故选：A 8. 若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式可整理为，然后转化为求函数y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值． 【详解】不等式， 即不等式lglg3x﹣1， ∴，整理可得， ∵y在（﹣∞，1）上单调递减， ∴∈（﹣∞，1），y1， ∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范围是（﹣∞，1]． 故选B. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 下面结论正确的是（ ） A. 若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 B. 若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件 C. 若，，A与B相互独立，那么 D. 若，，A与B相互独立，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D. 【详解】对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥， 但是A与也是互斥事件不成立，故A错误； 对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确； 对于C，如果A与B相互独立，则 ，故C正确； 对于D，如果A与B相互独立， 则，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论. 【详解】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故B是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故C是偶函数； 令，则，所以是奇函数，故D是奇函数． 故选：ABC. 11. 如图，平面，为正方形，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定定理证明平面，由此判断A，证明平面，可判断B， 由条件直接证明判断D，证明判断C. 【详解】因为平面，平面， 所以，又， ，平面， 平面，平面， ，正确， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以，B正确； 平面，平面， ，故D正确， ，，平面，， 平面，平面， ，所以为等腰三角形，且， 与不垂直，故C不正确． 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在，，，，上的频率分布直方图如图所示，记这名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率）为，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】用区间的左端点值乘各组的频率即可得解. 【详解】平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率，所以有： ． 故答案为：67.5 13. 已知分段函数，则_____，_____． 【答案】 ①. 2 ②. 0 【解析】 【分析】根据分段函数定义进行求解即可 【详解】；，则 故答案为：2；0 【点睛】本题考查分段函数具体函数值的求法，属于基础题 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出； （2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择． 【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为； （2）甲分厂加工件产品的总利润为元， 所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件； 乙分厂加工件产品的总利润为 元， 所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件． 故厂家选择甲分厂承接加工任务． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题． 16. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】 证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； 小问2详解】 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 函数部分图象如图所示． （Ⅰ）求的最小正周期及解析式； （Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最大值为；最小值为． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由图可得，，根据周期公式可得，当时，，可得 ，因为， 所以，即可求出的解析式.（Ⅱ）对函数，化简可得，因为，所以，当，即时，即可求出的最大值；当，即时，即可求出的最小值． 【详解】（Ⅰ）由图可得，，所以 所以 当时，，可得 ， 因为， 所以 所以的解析式为 （Ⅱ） 因为，所以 当，即时，有最大值，最大值为； 当，即时，有最小值，最小值为．. 18. 一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量（克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中． （1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？ （2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）分两段解不等式，解得结果即可得解； （2）求出当时，，再根据函数的单调性求出最小值为，解不等式可得解. 【详解】（1）由题意，当可得， 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时， 综上可得， 所以病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时； （2）当时，， 由，在均为减函数， 可得在递减，即有， 由，可得，可得m的最小值为． 【点睛】本题考查了分段函数的应用，正确求出分段函数解析式是解题关键，属于中档题. 19. 为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人. （Ⅰ）分别求出第3，4，5组志愿者人数，若在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率. 【答案】（Ⅰ）利用分层抽样在第三，第四，第五组中分别抽取3人，2人，1人. （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，因为第一组有5人，求得，分别求得第三组、第四组、第五组，根据分层抽样，即可得到结果； （Ⅱ）记第三组的3名志愿者为，，，第四组的2名志愿者为，，第五组的1名志愿者为，求得从6名志愿者中抽取2名志愿者构成基本事件的总数，进而得到其中第三组的3名志愿者，，至少有一名志愿者被抽中的所含基本事件的总数，利用古典概型及概率的公式，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，因为第一组有5人，则，， ∴第三组有人， 第四组有人， 第五组有人 ∴利用分层抽样在第三，第四，第五组中分别抽取3人，2人，1人. （Ⅱ）记第三组的3名志愿者为，，，第四组的2名志愿者为，，第五组的1名志愿者为，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有 ，，，，，，，，，，，，，，，共15种. 其中第三组的3名志愿者，，至少有一名志愿者被抽中的有 ，，，，，，，，，，，，共12种. 则第三组至少有1名志愿者被抽中的概率为. 【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，属于基础题．解题时要正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期高一期末质量检测试题 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 2. 已知命题，则（ ） A. 是假命题； B. 是假命题； C. 是真命题； D. 是真命题； 3. 在中，，，，则最短边的边长等于（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两位射击运动员参加比赛，连续5轮射击比赛的成绩情况如图所示： 则下列说法正确是（ ） A. 甲平均成绩高，乙成绩稳定 B. 甲平均成绩高，甲成绩稳定 C. 乙平均成绩高，甲成绩稳定 D. 乙平均成绩高，乙成绩稳定 5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 6. 把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，这时顶点到的距离是（ ） A. a B. C. D. 7. 甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击同一目标，则目标被击中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 下面结论正确是（ ） A. 若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 B. 若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件 C. 若，，A与B相互独立，那么 D. 若，，A与B相互独立，那么 10. 已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平面，为正方形，下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在，，，，上的频率分布直方图如图所示，记这名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率）为，则的值为________． 13. 已知分段函数，则_____，_____． 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 16. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 17. 函数部分图象如图所示． （Ⅰ）求的最小正周期及解析式； （Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值． 18. 一种药在病人血液中含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量（克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中． （1）若病人一次服用9克药剂，则有效治疗时间可达多少小时？ （2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值． 19. 为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人. （Ⅰ）分别求出第3，4，5组志愿者人数，若在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$