精品解析：湖南省衡阳市船山实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

衡阳市船山实验中学2024上学期期末考试试卷 初一数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．最后一题为附加题，考生可以选择性作答（计入总分）； 本试卷共3道大题，27道小题，满分130分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，1.01001000100001…这五个数中，无理数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 4，5，10 B. 1，2，3 C. 2，2， D. 5，5，10 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正十边形 D. 正十一边形 6. 若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ） A. -1 B. -3 C. -2 D. -3或-1 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设有x只鸡、y只兔，则可用二元一次方程组表示题中的数量关系为(　　) A. B. C. D. 8. 若关于的不等式有三个正整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至位置，连接，则四边形的周长为（ ） A. 20cm B. 22cm C. 24cm D. 26cm 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 的平方根是_______． 12. 元朝朱世杰所著《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：_________． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 14. 如图是由4个相同小正方形组成的网格图，则_____． 15. 已知关于，的二元一次方程组为，则的值为_____． 16. 如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是______．（结果用m，n表示） 17. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 18. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，______°． 三、解答题（19、20题6分，21、22题8分，23、24题9分，25、26题10分，共76分） 19. 解方程组：． 20. 计算：． 21. 如图，在中，是边上高，为角平分线，若，求的度数． 22. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． （1）平移，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的； （2）在（1）的条件下，求平移过程中，线段扫过的面积． 23. 定义新运算“”如下：当时，；当时，． （1）求的值． （2）若，求x的取值范围． 24. （原创）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程． （1）问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由； （2）若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围； （3）若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围． 25. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”． 例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”． （1）已知和互“创新角”，且，若和互补，则___________； （2）如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点． ①若，且和互为“创新角”，则___________； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________． 26. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线上（如图1，，，，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题． 深入探究： ①老师提出，如图2，当转到与的角平分线重合时，，当在内部的其他位置时，结论是否依然成立？请说明理由． ②勤学小组提出：若旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由． 拓展提升： ③智慧小组提出：若旋转到与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与直线是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 四、附加题（共10分，计入总分） 27. 如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，．小李利用这块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，若点C在直线上，且，求的度数； （2）若点A在直线上，点C在和之间（不含、上），边、与直线分别交于点D和点K． ①如图2，平分，平分，与交于点O．在绕着点A旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出的度数；如果发生变化，请说明理由； ②如图3，在绕着点A旋转的过程中，设，，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市船山实验中学2024上学期期末考试试卷 初一数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．最后一题为附加题，考生可以选择性作答（计入总分）； 本试卷共3道大题，27道小题，满分130分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 在，，，，1.01001000100001…这五个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，无理数的定义；先根据立方根的定义化简，再根据无理数的概念判断即可． 【详解】解：， ∴在，，，，1.01001000100001…这五个数中， 无理数有：，，1.01001000100001…3个， 故选：C． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 4，5，10 B. 1，2，3 C. 2，2， D. 5，5，10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了能否构成三角形，根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行判断即可． 【详解】解：．∵， ∴不能组成三角形，故该选项不符合题意； ．∵， ∴不能组成三角形，故该选项不符合题意； ．∵， ∴可以构成三角形，故该选项符合题意； ．∵， ∴不能组成三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答的关键是会将不等式组的解集表示在数轴上，注意方向和实（空）心．先求得不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可解答． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 故选：C． 5. 某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正十边形 D. 正十一边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意； B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，符合题意； C、正十边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意； D、正十一边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意； 故选B． 6. 若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ） A. -1 B. -3 C. -2 D. -3或-1 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：∵， ∴且， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设有x只鸡、y只兔，则可用二元一次方程组表示题中的数量关系为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组． 【详解】解：由题意得，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚， 结合上有三十五头，下有九十四足可得： ； 故选：D. 【点睛】此题考查了二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般． 8. 若关于的不等式有三个正整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解不一元一次不等式，由不等式的解集求参数，解不等式得出，再根据的不等式有三个正整数解可得出三个正整数解是1，2，3，则，即可解出a的取值范围． 【详解】解：， 则， ∵关于的不等式有三个正整数解， ∴三个正整数解是1，2，3 ∴， 解得：， 故选：C． 9. 如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至位置，连接，则四边形的周长为（ ） A 20cm B. 22cm C. 24cm D. 26cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段相等，对应线段相等，找出对应线段和对应点所连的线段，结合四边形的周长公式求解即可． 【详解】根据题意，得A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为， ∴BC=，=， 则四边形的周长=CA+AB+++=△ABC的周长+2=20+4=24cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，主要运用的知识点是：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，由旋转性质得，，进而，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴，，又， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据路程速度时间列出方程即可． 【详解】解：设快马x天可追上慢马， 由题意得，， 故答案为：． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 14. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则_____． 【答案】225°##225度 【解析】 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质得出的值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出的值是解题关键． 15. 已知关于，的二元一次方程组为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，把两个方程相减即可得到结论，掌握“整体法求值”是解本题的关键． 【详解】解：， 得：， 故答案为：． 16. 如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是______．（结果用m，n表示） 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．本题考查了整式与图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【详解】由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 则用2024个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 故答案为：． 17. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 【答案】3或7 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟记概念并分情况讨论是解题的关键． 由中线可得，则周长为；的周长为；由题意知，分①；②；两种情况求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴周长为；的周长为； 周长与的周长相差，分两种情况求解； ①当时，解得，； ②当时，解得，； 综上所述，3或7； 故答案为：3或7． 18. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，______°． 【答案】100 【解析】 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：，， ， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，对称的应用是解题的关键． 三、解答题（19、20题6分，21、22题8分，23、24题9分，25、26题10分，共76分） 19. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法，先将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组解为：． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 直接利用有理数的乘方运算法则、算术平方根、立方根的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解： ． 21. 如图，在中，是边上高，为角平分线，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形外角的性质，直角三角形的性质．根据三角形外角的性质，可得的度数，从而得到，再根据直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵边上高， ∴， ∵， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴． 22. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． （1）平移，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的； （2）在（1）的条件下，求平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】（1）见解析； （2）线段扫过的面积是16． 【解析】 【分析】此题主要考查平移的作图与应用，解题的关键是熟知平移的性质． （1）利用点A和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点即可； （2）线段扫过的部分为平行四边形，然后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 根据点的平移特征：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出B、C的对应点，连线即得． 【小问2详解】 根据图形平移的性质，可知，线段扫过的部分为平行四边形， 线段扫过的面积为． 23. 定义新运算“”如下：当时，；当时，． （1）求的值． （2）若，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是新定义题，考查实数运算和解一元一次不等式，读懂定义和运用分类讨论思想是解题的关键． （1）可判断出，因此可用运算即可； （2）无法直接判断4和的大小，因此利用新定义分情况讨论． 【小问1详解】 解：由题意知， ， ； 【小问2详解】 ， 当，即时 ， 解得， ； 当，即时 解得， ， 综上所述：x的取值范围是． 24. （原创）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程． （1）问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由； （2）若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围； （3）若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）； 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解法，掌握船山方程的定义和分类讨论的思想是解题的关键． （1）求出方程的解和不等式组的解集，根据船山方程的定义进行判断即可； （2）解方程，得，解不等式组得到，根据方程是不等式组的船山方程，得到，解不等式组即可得到答案； （3）求出两个方程的解后，根据k的取值范围分情况讨论即可． 小问1详解】 解： ， 解得， 方程的解为， 由，得， 由，得， 不等式组的解集为， ， 不是不等式组的解， 方程不是不等式组的船山方程． 【小问2详解】 解：， 解得， 由得，， 解得， 由得，， 解得， 不等式组的解集为， 方程是不等式组的船山方程， ， 由得，， 由得，， ． 【小问3详解】 解：， 解得， ， 解得， 由得，， 当，即，， 当，即，， 由得，， 分两种情况： ① 当时，不等式组的解集为：； ② 当时，不等式组的解集为：； 方程和都是关于的不等式组的船山方程， ，都是不等式组的解， 当时，不等式组解集为：，不符合题意， 当时，不等式组得解集为，符合题意， 要使得，都是不等式组的解， ，且， ． 即的取值范围为． 25. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”． 例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”． （1）已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________； （2）如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点． ①若，且和互为“创新角”，则___________； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________． 【答案】（1） （2）①；②或；③，或． 【解析】 【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理以及直角三角形的两锐角互余等，注意分情况讨论，是解题的关键． （1）根据创新角的定义，再结合补角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“创新角”的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和直角三角形两锐角互余，用表示和，列方程，即可解答． ③考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，求得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵和互为“创新角”，且，若和互补， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ，和互为“创新角”， ， 可得， 解得， ； ②设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ， ∵与互为“创新角”， ∴或， ∴或， 解得或； ③设， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ，， ∵的平分线交于点， ∴， ∴ ∴， ∵和互为“创新角” ∴或， ∴或， ∴，或； 综上所述，的度数为或． 26. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线上（如图1，，，，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题． 深入探究： ①老师提出，如图2，当转到与的角平分线重合时，，当在内部的其他位置时，结论是否依然成立？请说明理由． ②勤学小组提出：若旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由． 拓展提升： ③智慧小组提出：若旋转到与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与直线是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】①成立，见详解； ②不存在；或，见详解； ③存在，或 【解析】 【分析】本题是典型的实际操作问题，考查了平行线的性质，角度的和差运算，熟练掌握知识点是解题的关键． ①； ②当A、B分别在外部时，由，得；当点A在外部，点B在内部，由，得． ③根据平行线的性质确定旋转角的大小，即可求出时间． 【详解】解：①∵，，，， ∴， 当旋转至的内部时，如图，与的数量关系是：； 理由是：由旋转得：， ，， ； ②当A、B分别在外部时，如图示： ∵， ∴； 当点A在外部，点B在内部，如图示： ∵， ∴， ∴， 综上：不存在；或． ③当点A在直线上方时，如图示： ∵， ∴， ∴； 当点A在直线下方时，如图示： ∵， ∴， ∴旋转了 ∴， 综上：存在，或． 四、附加题（共10分，计入总分） 27. 如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，．小李利用这块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，若点C在直线上，且，求的度数； （2）若点A在直线上，点C在和之间（不含、上），边、与直线分别交于点D和点K． ①如图2，平分，平分，与交于点O．在绕着点A旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出的度数；如果发生变化，请说明理由； ②如图3，在绕着点A旋转的过程中，设，，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且；② 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得的度数； （2）①先根据三角形内角和可得，即，再根据平分，平分，可得 ，即有 ，可得结论； ②根据三角形的内角和以及平行线的性质得：，确认点C边界上两点时，n的取值范围，代入，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，∵，， ∴ ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且 理由：如图2，∵， ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ②∵， ∴ ∵， ， ∴ ∵ ∴ 即 如图3，点在直线上时， 如图4，∵，和之间的距离为1 ∴点C在直线上时， ∵点C在和之间（不含和上） ∴，即 ∴m的取值范围是：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和以及角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $