精品解析：山东省德州市天衢新区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

2023—2024学年度第二学期期末测试 七年级数学・试题 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用如图所示的方式可以测量纸杯的角度，其依据的数学原理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 等角的余角相等 C. 同位角相等 D. 对顶角相等 4. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是（ ） A. 了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查 B. 了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查 C. 了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查 D. 了解某校学生每天体育锻炼时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查 6. 已知点在第三象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中真命题的是（ ） A. 经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离 D. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 8. 小明一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为千米小时，则满足的条件是（ ） 最高限速 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速 60 A. B. C. D. 9. ，是平面直角坐标系中的两点，当线段的长度最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 10. 某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》和《牵风记》两种书．已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同．如果设《北上》的单价是元，《牵风记》的单价是元．根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．若关于、的方程组为共轭方程组，则、的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 36的算术平方根是___． 14. 在平面直角坐标系第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为6，则点的坐标为______． 15. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则______． 16. 如果是方程组解，那么代数式的值为________． 17. 若关于的一元一次不等式的所有解都是的解，那么的取值范围是______． 18. 下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为_________． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）； 20. （1）解方程组； （2）解不等式组：，请借助数轴确定不等式组的解集，并写出不等式组的整数 21. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．某初级中学为了解学生近两周平均每天在家阅读时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了____________名学生； （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C类所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校有学生1200人，试估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不足1个小时的人数． 22. 如图，，，交延长线于点． （1）求证：； （2）若，求度数． 23. 华鑫公司购进一批原材料，计划用甲、乙两种型号的货车运输．在每辆货车都装满的情况下，已知10辆甲货车和20辆乙货车可装载550件原材料；24辆甲货车和60辆乙货车可装载1500件原材料． （1）求每辆甲货车和乙货车分别可装载多少件原材料？ （2）经过预算，华鑫公司要运输的这批原材料不超过1245件，计划调派甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙货车的数量不超过甲货车数量的3倍，华鑫公司运输完这批原材料共有哪几种调派方案？ 24. 将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称被包含；若中至少有一个数不在内，则称不能被包含．如，方程组的解为，记，，方程组的解为，记，，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以被包含；因为4不在内，所以不能被包含． （1）将方程组解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否被包含？说明理由； （2）将关于，的方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式组的解集记为，若不能被包含，求实数的取值范围． 25. 如图1，点是的边上一点，过点作直线平分，以点为端点作线段，连接． （1）如图1，平分，证明：： （2）如图2，平分，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由： （3）如图3，平分，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末测试 七年级数学・试题 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数，开方开不尽的数是无理数；根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是开方开不尽的数，故是无理数，符合题意； ，，它们均是有理数，故不符合题意； 故选：B． 2. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式错误，不符合题意； C、由可得，原式正确，符合题意； D、由可得，原式错误，不符合题意； 故选：C． 3. 用如图所示的方式可以测量纸杯的角度，其依据的数学原理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 等角的余角相等 C. 同位角相等 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查对顶角相等，理解题意解题关键，根据对顶角相等判断即可， 【详解】解：如图所示的方式可以测量纸杯的角度，其依据的数学原理是对顶角相等， 故选：D 4. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把x看作已知数表示出y即可． 【详解】解：方程， 移项得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 5. 以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是（ ） A. 了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查 B. 了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查 C. 了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查 D. 了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，依次进行判断即可得． 【详解】解：A、了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意； B、了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意； C、了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意； D、了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查，选取的样本具有代表性，选项说法错正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了样本，解题的关键是是掌握样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的． 6. 已知点在第三象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．根据第三象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 实数的取值范围在数轴上表示正确的为 故选：D． 7. 下列命题中真命题的是（ ） A. 经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离 D. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行公理、垂直的概念、点到直线的距离的概念判断即可． 【详解】解：A、经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是假命题； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法假命题； C、过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线m的距离，本小题说法是假命题； D、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，本小题说法是真命题； 故选：D． 8. 小明一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为千米小时，则满足的条件是（ ） 最高限速 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速 60 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意已知小客车的最高限速和所有车辆的最低限速，易得出小客车的速度范围． 【详解】解：由题意小客车的最高限速为千米小时，而所有车辆的最低限速为千米小时， ， 因此小客车的速度范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组解集的原则是解题的关键． 9. ，是平面直角坐标系中的两点，当线段的长度最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】点在轴上的动点，根据垂线段最短，长度的最小值即为点到轴的最短距离，此时点为从向轴作垂线的垂足，最短距离即为点的纵坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 此的长度最小， ∵，， 即当时，线段长度的值最小， 此时线段长度的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形，垂线段最短，确定点的位置是解题的关键． 10. 某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》和《牵风记》两种书．已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同．如果设《北上》的单价是元，《牵风记》的单价是元．根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可． 【详解】解：设《北上》的单价是元，《牵风记》的单价是元，列方程组为， 故选A． 11. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．若关于、的方程组为共轭方程组，则、的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义构建关于参数的方程，求解． 【详解】解：由定义知，，解得； 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的运用，理解定义构建方程是解题的关键． 12. 如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键． 分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 故选：B． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 36的算术平方根是___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据算术平方根可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴36的算术平方根是6； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为6，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标特征，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 根据点A在第四象限可得点A的横坐标为正，纵坐标为负，再根据题干中到x轴和y轴的距离即可求解． 【详解】解：∵点A在第四象限， ∴点A的横坐标为正，纵坐标为负， ∵点A到轴的距离为3，到轴的距离为6， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 15. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则______． 【答案】##125度 【解析】 【分析】利用平行线的性质和邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如图， 则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 16. 如果是方程组的解，那么代数式的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】将解代入方程组，可得，两式相减可得结果． 【详解】解：将代入中， 得：， 得：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组解，加减消元法，解题的关键是利用加减消元的方法得到的值． 17. 若关于的一元一次不等式的所有解都是的解，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，掌握不等式的解法是解题的关键． 先求出不等式解集，再根据的解都是的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是的解， ∴， 故答案为：． 18. 下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推断出相应的数字规律，是解题的关键． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． （1）由二次根式的性质进行化简，再计算加减运算即可； （2）先由乘方、二次根式的性质、立方根进行化简，然后计算乘法，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解方程组； （2）解不等式组：，请借助数轴确定不等式组的解集，并写出不等式组的整数 【答案】（1）；（2）不等式组的解集为，数轴见解析，它的整数解为4，5 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，掌握解不等式组和方程组的步骤是解题的关键． （1）用加减消元法求解二元一次方程组； （2）求解不等式组中两个不等式，在数轴上表示出来，取公共部分，求得整数解即可． 【详解】（1）解： 得：，． 把代入①，得，． 所以这个方程组的解； （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为． 它的整数解为4，5． 21. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．某初级中学为了解学生近两周平均每天在家阅读时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了____________名学生； （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C类所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校有学生1200人，试估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不足1个小时的人数． 【答案】（1）120 （2）补图见解析， （3）420名 【解析】 【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比求出总人数即可； （2）根据四个类别人数之和等于总人数求出C类别人数，从而补全图形， 用360°乘以C类别人数所占比例； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解∶被调查的人数为（名）； 【小问2详解】 解：C类别的人数为（名）， 补图如下：， 扇形统计图中C类所对应扇形的圆心角的度数； 【小问3详解】 解：（名） 答：估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不足1个小时的人数为420名． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 如图，，，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换可得，再利用平行线的判定证明即可； （2）根据垂线的定义得到，继而求出，利用平行线的性质可得，即可求出． 【小问1详解】 解：证明：， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，垂线的定义，解题的关键是熟练运用平行线的性质定理得到角的关系． 23. 华鑫公司购进一批原材料，计划用甲、乙两种型号的货车运输．在每辆货车都装满的情况下，已知10辆甲货车和20辆乙货车可装载550件原材料；24辆甲货车和60辆乙货车可装载1500件原材料． （1）求每辆甲货车和乙货车分别可装载多少件原材料？ （2）经过预算，华鑫公司要运输的这批原材料不超过1245件，计划调派甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙货车的数量不超过甲货车数量的3倍，华鑫公司运输完这批原材料共有哪几种调派方案？ 【答案】（1）每辆甲货车和乙货车分别可装载25，15件原材料 （2）共有两种方案，方案一：调派18辆甲型货车，52辆乙型货车；方案二：调派19辆甲型货车，51辆乙型货车 【解析】 【分析】（1）设每辆甲货车和乙货车分别可装载件原材料，根据“10辆甲货车和20辆乙货车可装载550件原材料；24辆甲货车和60辆乙货车可装载1500件原材料”，即可得出关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设调派辆甲型货车，辆乙型货车，根据“华鑫公司要运输的这批原材料不超过1245件，乙货车的数量不超过甲货车数量的3倍”，列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每辆甲货车和乙货车分别可装载件原材料， 根据题意： ， 解得：， 答：每辆甲货车和乙货车分别可装载25，15件原材料； 【小问2详解】 解：设调派辆甲型货车，辆乙型货车， ， 解得：， ∵为货车的辆数， ∴为正整数， ∴， ∴共有两种方案： 方案一：调派18辆甲型货车，52辆乙型货车， 方案二：调派19辆甲型货车，51辆乙型货车． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，是解题的关键． 24. 将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称被包含；若中至少有一个数不在内，则称不能被包含．如，方程组的解为，记，，方程组的解为，记，，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以被包含；因为4不在内，所以不能被包含． （1）将方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否被包含？说明理由； （2）将关于，的方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式组的解集记为，若不能被包含，求实数的取值范围． 【答案】（1）能被包含．理由见解析 （2）实数的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）解方程组求得方程组的解为，不等式x+1≥0的解集为x≥﹣1，2和﹣1都在D内，即可证得C能被D包含； （2）解关于x，y的方程组得到它的解为，得到E：{a+1，a﹣l}，解不等式组得它的解集为1≤x＜4，根据题意得出a﹣1＜1或a+1≥4，解得a＜2或a≥3． 【小问1详解】 能被包含．理由如下： 解方程组得到它的解为， ，， 不等式的解集为， ， 和都在内， 能被包含； 【小问2详解】 解关于，的方程组得到它的解为， ，， 解不等式组得它的解集为， ， 不能被包含，且， 或， 或， 所以实数的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组和一元一次不等式（组），理解被包含的定义是解题关键，属于中档题． 25. 如图1，点是的边上一点，过点作直线平分，以点为端点作线段，连接． （1）如图1，平分，证明：： （2）如图2，平分，则与又有怎样数量关系，请做出判断，并说明理由： （3）如图3，平分，请求出的度数． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （2）根据内错角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （3）先证明，结合是的平分线，求出，然后利用三角形外角的性质可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由： ∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 延长交于点G， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$