精品解析：2024年辽宁省抚顺市望花区中考数学四模试题

2024年辽宁省抚顺市望花区中考数学四模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据具有相反意义的量即可得． 【详解】解：因为向东与向西是一对具有相反意义的量， 所以如果向东走10m记作，那么向西走记作， 故选：C． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量是解题关键． 2. 由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，中间没有，右边1个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 4. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到1200000000千瓦以上的目标．数据1200000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：1200000000=1.2×109． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则和完全平方公式分别计算，即可得出正确答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不合题意； B．，故该选项错误，不合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识点，熟练掌握各项运算法则是解题的关键． 6. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键． 7. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 8. 如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 点在上，为的中点， ， ， ， 根据圆周角定理可知， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间和差倍分关系是解决问题的关键． 9. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醑酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醑酒个各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醑酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为（ ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由清酒斗，可知醑酒有斗，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设清酒斗，则醑酒有斗， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2；与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】设蜡烛火焰的高度是， ， ， 由相似三角形的性质得到：， 解得． 即䇎烛火焰的高度是． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】x(y+1)(y－1) 【解析】 【分析】提公因式与平方差公式的逆应用相结合解题． 【详解】解：先提取公因式，再用平方差公式的逆应用，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式与平方差公式的逆应用，是重要考点，难度较易，此类题第一步一般是提取公因式． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根，还要注意二次项系数不等于0． 【详解】解：由题意得：，解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 13. 如图，直线，直线分别与，相交于点，．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】作高线BG，根据直角三角形30度角的性质得：BG=1，AG=，可得AF的长． 【详解】解：作高线BG，如图， ∵MN∥PQ， ∴∠NAB=∠ABP=60°， 由题意得：AF平分∠NAB， ∴∠1=∠2=30°， ∵∠ABP=∠1+∠3， ∴∠3=30°， ∴∠1=∠3=30°， ∴AB=BF，AG=GF， ∵AB=2， ∴BG=AB=1， ∴AG=， ∴AF=2AG=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、直角三角形30度角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义，根据，即可得到一个关于的方程，进而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、，当时，的长为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，由旋转的性质可知，分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， 中，，， ， 点D为的中点， ，， 由旋转的性质可知，， ①点在线段上， ， ， 在中，； ②点在的延长线上， 在中，，， ， 综上可知，当时，的长为5或， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算、分式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题的关键．． （1）先用乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值化简，然后再进行加减运算即可； （2）直接运用分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案． 【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根 【解析】 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可； （2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式并求得m的范围，进而可判断购买方案． 【详解】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元， 依题意，得：， 解得：， 答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元； （2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根， 根据题意，得：， 解得：m≤22， 又m﹥20，且m为整数， ∴m=21或22， ∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根． 【点睛】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答的关键． 18. 某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图： 分析数据： 平均数 中位数 众数 甲组 a 80 80 乙组 83 b c 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_______，_______，_________； （2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？ （3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）83，85，70 （2）200人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数与众数的含义分别求解即可； （2）由500乘以得分为所占的百分比即可得到答案； （3）记甲组满分的同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C，再利用列表的方法得到所有的等可能的情况有6种，符合条件的有4种，从而可得答案． 【小问1详解】 解：甲组的平均数为：（分）， 乙组10个数据分别为：70，70，70，70，80，90，90，90，100，100， 排在第5个，第6个分别为：80，90， 所以中位数（分）， 而70出现的次数最多，所以众数（分）， 故答案为：83，85，70； 【小问2详解】 由题意得：（人）， 所以八年级网络安全意识非常强的人数一共有200人． 【小问3详解】 记甲组满分的同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C， 列表如下： A B C A A，B A，C B B，A B，C C C，A C，B 所以所有的等可能的情况有6种，符合条件的有4种， 所以抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查的是频数直方图，折线图，平均数，众数，中位数的含义，利用样本估计总体，利用列表或画树状图求解简单随机事件的概率，熟练的掌握统计与概率的基础知识是解本题的关键． 19. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图实线所示，不超过按15元来结算费用；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图y2实线所示． （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【答案】（1） （2）选甲商店购买更多水果 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次方程的应用根据等量关系列出方程是，解答本题的关键． （1）用待定系数法，分段求出函数解析式即可； （2）再求出与x之间的函数解析式，把分别代入解析式，求得x的值，然后比较即可． 【小问1详解】 解：当时，由题意可得：与x之间的函数解析式为， 当时，，即的转折点的坐标为； 当时，设y1与x之间的函数解析式为， 把和代入解析式得 ，解得， ∴， 综上所述，与x之间函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，解得：， 设与x之间的函数解析式为，则有：，解得：， ∴ ∴，解得：， ∵， ∴选甲商店购买更多水果． 20. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为； 【解析】 【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：过作，垂足为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵的长为，高为， ∴． ∴在中，()． ∵，， ∴． ∴． ∴设． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 即信号塔的高为． ∴能求出信号塔的高，信号塔的高为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键． 21. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 连接，则：， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 22. 新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； （2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1），顶点为 （2）①或；②或． 【解析】 【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标； （2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解； ②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的“关联抛物线”为， 根据题意可得，的解析式 顶点为 【小问2详解】 解：①设，则， ∴ 当时， 解得， 当时，方程无解 或 ②的解析式 顶点为，对称轴为 ， 当时，即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，且即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 即 即 解得（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键． 23. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，求证：． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）选择豆豆（或乐琪）同学的证明方法，证明见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明得出是等腰直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明是等腰直角三角形，即可得证； （2）延长到点，使，连接，延长证明,进而根据等腰直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理即可得证； （3）将沿折叠得到，得出三点共线，是等腰直角三角形，则，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，，证明得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）选择豆豆同学的证明方法 证明：∵，平分，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 乐琪同学的证明方法 证明：∵，平分，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长到点，使，连接，延长， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． （3）如图所示，将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，， ∵，则，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁省抚顺市望花区中考数学四模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ） A. B. C. D. 2. 由8个相同立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 4. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到1200000000千瓦以上的目标．数据1200000000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　） A. B. C. D. 9. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醑酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醑酒个各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醑酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为（ ）． A. B. C. D. 10. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2；与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 如图，直线，直线分别与，相交于点，．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，，则线段的长为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为_____． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、，当时，的长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案． 18. 某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图： 分析数据： 平均数 中位数 众数 甲组 a 80 80 乙组 83 b c 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_______，_______，_________； （2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？ （3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 19. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图实线所示，不超过按15元来结算费用；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图y2实线所示． （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 20. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 21. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 22. 新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； （2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 23. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与数量关系； 请你选择一名同学解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，求证：． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$