精品解析：河南省周口市西华县青华中英文学校2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

八年级数学下学期阶段性质量检测（四）（RJ） 考试范围：全册 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 当时，化简的结果是（ ） A B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 在某学校“国学经典诵读”比赛中，有11名同学参加某项比赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛，小明已经知道了自己成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这11名同学成绩的（　　） A 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 4. 如图，O为对角线的交点，，交边于点E，连接．若的周长比的周长大8，则的长有可能为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过一、三象限，那么k的取值范围是（ ） A. k＞0 B. k＞2 C. k＜0 D. k＜2 6. 如图，中∠ACB是直角，分别以的三边向外作正方形，G为边EF的中点，若要求出图中阴影的面积，只需要知道线段（ ） A. AB的长度 B. AC的长度 C. BC的长度 D. BG的长度 7. 如图，的面积为24，D为边上的一点，延长交的平行线于点E，连接，以为邻边作平行四边形交边于点H，连接，当时，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是( ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 9. 已知某四边形的两条对角线相交于点O．动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C．设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点都在直线上，则m___________n．（填大小关系） 12. 弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如图所示，那么弹簧不挂物体时的长度是__________cm． 13. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则的度数为______°． 14. 为迎接五月份全县中考九年级体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上个数，如下表． 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 11 12 13 12 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是________. 15. 如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上一个动点（不与A重合，可与重合），连接，若以为边向右侧作等腰直角，，连接，则的最小值为________．     三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长． 18. 已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，）满足一次函数关系，部分数据如下表： x（元/件） 13 14 15 16 y（件） 1100 1000 900 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？ 19. 如图，已知一次函数的图象过点，是该直线上的一个动点，过点分别作垂直轴于点，垂直轴于点，在四边形的边上分别截取：，，，． （1）求的值； （2）求证：四边形是平行四边形． 20. 为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 成绩x 学校 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 （说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格） b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70　70　70　71　72　73　73　73　74　75　76　77　78 c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下： 学校 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 73.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n的值； （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是　　　　校的学生（填“甲”或“乙”），理由是　　　　； （3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数． 21. 已知直线l1：y1＝x+m与直线l2：y2＝nx+3相交于点C（1，2）． （1）求m、n的值． （2）在给出的直角坐标系中画出直线l1和直线l2的图象． （3）求nx+3＞x+m的解集． 22. 如图，在平面直角坐标系中，，b满足，一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，点在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，O同时出发，当点P运动到点B时停止运动 （1）求B，C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时P，Q两点的坐标； （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？请求出此时P，Q两点的坐标． 23. 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形． 【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由． 【结论应用】（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学下学期阶段性质量检测（四）（RJ） 考试范围：全册 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 当时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果． 【详解】解：，与异号， ，， ， 则． 故选：C． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：A 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键． 3. 在某学校“国学经典诵读”比赛中，有11名同学参加某项比赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这11名同学成绩的（　　） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【详解】1个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了． 故选A． 【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 4. 如图，O为对角线的交点，，交边于点E，连接．若的周长比的周长大8，则的长有可能为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到的长，再根据，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，O是的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大8， ∴， 即， ∴，则， 又∵中，， ∴， 观察四个选项，的长可能为5， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长等知识，解答本题的关键是判断出是线段的垂直平分线． 5. 正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过一、三象限，那么k的取值范围是（ ） A. k＞0 B. k＞2 C. k＜0 D. k＜2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数图象在坐标平面内的位置与系数的关系作答． 【详解】解：由正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第一、三象限， 可得：k﹣2＞0，则k＞2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，掌握正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则k＞0；正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，则k＜0． 6. 如图，中∠ACB是直角，分别以的三边向外作正方形，G为边EF的中点，若要求出图中阴影的面积，只需要知道线段（ ） A. AB的长度 B. AC的长度 C. BC的长度 D. BG的长度 【答案】C 【解析】 【分析】解法①代数法：如图，连接GC并延长，交AB于点H，根据题意得到FC=AC，EC=BC，且夹角为直角，利用SAS得到三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到∠GFC=∠CAH，根据G为EF中点且直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再利用等角的余角相等得到CH垂直AB，利用面积法表示出CH，根据勾股定理表示出BH，进而表示出阴影部分面积，即可作出判断．解法②几何法：根据平行线的性质，得，再证明，再由，得，即可得出答案． 【详解】解：解法①代数法 如图连接GC并延长交AB于点H， 设，，．易证， ∴， ∵G为EF的中点所以即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴， 在中由勾股定理可得， ∴． 故选：C. 解法②几何法： 如图连接AM，CD 由①得所以 易证 ∵， ∴． 故选：C. 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键 7. 如图，的面积为24，D为边上的一点，延长交的平行线于点E，连接，以为邻边作平行四边形交边于点H，连接，当时，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用面积的和差关系求出是解题的关键． 由面积的和差关系可求，即可求解． 【详解】解：如图，∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是( ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可得OA＝OD，进而得出四边形DEAO为菱形，①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，③错误；连接OE，求出OE＝OB＝OD，证明△DEO是等边三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，然后证明△ABD≌△EDB即可得出④正确． 【详解】解：①∵DEAC，AEBD， ∴四边形DEAO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴四边形DEAO为菱形，故①正确； ②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误； ③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误； ④如图，连接OE， ∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点， ∴OE＝OB＝OD， ∵四边形DEAO为菱形， ∴DE＝OD， ∴△DEO是等边三角形， ∴∠EDO＝60°， ∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°， ∴∠ADB＝∠EBD， 又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB， ∴△ABD≌△EDB（AAS）， ∴AD＝BE，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，灵活运用各性质是解题的关键． 9. 已知某四边形的两条对角线相交于点O．动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C．设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过点经过四边形各个顶点，观察图象的对称趋势问题可解． 【详解】A、C选项路线都关于对角线对称，因而函数图象应具有对称性，故、错误， 对于选项B点从到过程中的长也存在对称性，则图象前半段也应该具有对称特征，故B错误． 综上所得，D正确， 故选：D． 【点睛】本题动点问题函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断.解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化． 10. 如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 分析】根据正方形的性质得出和的关系，再根据和的关系即可判断①，先证明，再证明，从而得出，然后根据四边形的内角和可判断②，根据全等三角形的判定定理，即可判断③；若，则，过点作于点，设，则，，，求出，即可判断④． 【详解】解：是正方形的对角线， ，， ∵， ∴，四边形是矩形， ，， ， 故①正确， ，， ， 又是的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 故②正确， ∵， ， 在和中， ， ∴， 故③正确； ∵，， 为等腰直角三角形， ， ，， 过点作于点，如图所示： 设，则，，，，， 则，， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点都在直线上，则m___________n．（填大小关系） 【答案】＞ 【解析】 【分析】由k=-1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合-2＜3，即可得出m＞n． 【详解】解：∵， ∴一次函数，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：>． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 12. 弹簧长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如图所示，那么弹簧不挂物体时的长度是__________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关式，然后令x=0求出相应的y的值，即可解答本题． 【详解】解：设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y=kx+b， 则，解得：， ∴y=x+10， 当x=0时，y=10， ∴弹簧不挂物体时的长度是10cm， 故答案为：10． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，用待定系数法求一次函数解析式． 13. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则的度数为______°． 【答案】114 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质可得∠EAC=∠BAC，进一步可得∠DCA=∠EAC，根据已知条件可得∠BAC的度数，进一步求出∠B的度数． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，， ∴∠DCA=∠BAC， 根据折叠，可得∠EAC=∠BAC， ∴∠DCA=∠EAC， ∵∠1=∠DCA+∠EAC， 又∵∠1=∠2=44°， ∴∠EAC=22°， ∴∠BAC=22°， ∴∠B=180°-44°-22°=114°， 故答案为：114． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 14. 为迎接五月份全县中考九年级体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表． 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 11 12 13 12 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据方差公式即可得到结论． 【详解】平均数是12， 这组数据的和为， 被墨汁覆盖的数的和为. 这组数据的唯一众数是13， 被墨汁覆盖的三个数为10，13，13， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查方差的计算以及平均数、众数的概念，熟记方差公式是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点（不与A重合，可与重合），连接，若以为边向右侧作等腰直角，，连接，则的最小值为________．     【答案】 【解析】 【分析】过G作，，可得，可得，可得点G在上运动，则当F与D重合时，最小，即可得到答案． 【详解】解：过G作，，     ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G在上运动， ∴当F与D重合时最小，此时， ∴最小值为， ， 故答案为． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，解题的关键是确定点G在上运动． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）9；（2）6 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和二次根式乘法进行计算，把各二次根式化简为最简二次根式，根据二次根式加减混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）原式． 17. 如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】延长交于点，证明为的中位线即可求解． 【详解】如图，延长交于点． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴是的中点． ∵，， ∴． ∵为的中点， ∴为的中位线． ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形中线的判定与性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 18. 已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，）满足一次函数关系，部分数据如下表： x（元/件） 13 14 15 16 y（件） 1100 1000 900 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？ 【答案】（1）函数表达式为： （2）当时， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题的关键． （1）设，用待定系数法求解即可； （2）根据（1）中解析式得出y随x的增大而减小，即可得当时，． 【小问1详解】 解：设函数表达式为， 将和代入解析式， 得， 解得． ∴函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵在函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，． 19. 如图，已知一次函数的图象过点，是该直线上的一个动点，过点分别作垂直轴于点，垂直轴于点，在四边形的边上分别截取：，，，． （1）求的值； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，将点坐标代入一次函数解析式，即可得的值； （2）根据题意可知四边形是矩形，可得，，结合，，，，可得，，，，根据全等三角形的判定与性质，可得，，得证． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过点 解得： 【小问2详解】 证明：轴于，轴于 四边形是矩形 ，， ， ， 又， ，，， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了一次函数，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20. 为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 成绩x 学校 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 （说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格） b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70　70　70　71　72　73　73　73　74　75　76　77　78 c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下： 学校 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 73.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n的值； （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是　　　　校的学生（填“甲”或“乙”），理由是　　　　； （3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）72.5；（2）甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分；（3）320． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解可得； （2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数， 所以中位数n==72.5； （2）甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分， 所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生． 故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分． （3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14+2=16． 假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为． 【点睛】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 21. 已知直线l1：y1＝x+m与直线l2：y2＝nx+3相交于点C（1，2）． （1）求m、n的值． （2）在给出的直角坐标系中画出直线l1和直线l2的图象． （3）求nx+3＞x+m的解集． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）把点的坐标分别代入y1＝x+m和y2＝nx+3中可计算出的值； （2）利用描点法画出两函数图像； （3）利用函数图像，写出直线y1＝x+m在y2＝nx+3下方所对应的自变量范围即可． 【详解】（1）把点的坐标代入y1＝x+m，得 解得， 把点的坐标代入y2＝nx+3，得 解得， （2），当时，，经过， ，当时，，经过， 由（1）可知，，都经过点， 在平面直角坐标系中分别找到，可以作出，找到，可以作出， 如图： （3）根据图像得，因为交点坐标为， 当时，， nx+3＞x+m的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数的作图，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，，b满足，一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，点在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，O同时出发，当点P运动到点B时停止运动 （1）求B，C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时P，Q两点的坐标； （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？请求出此时P，Q两点的坐标． 【答案】（1） （2）时，四边形是平行四边形，此时 （3）当时，；时， P 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性即可求解； （2）当时，四边形平行四边形，据此即可求解； （3）分类讨论和即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵ ∴ 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∵当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形平行四边形， 此时； 【小问3详解】 解 ：①当时，过点Q作于点N， 由题意得：， ∴， 解得， ∴，， ∴ ②当时，过点P作轴于点M， 由题意得：， 则， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键． 23. 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形． 【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由． 【结论应用】（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可． （2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题． （3）由题意证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：如图①中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADA′=90°， 由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°， ∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°， ∴四边形AEA′D是矩形， ∵DA=DA′， ∴四边形AEA′D是正方形． （2）结论：△PQF是等腰三角形． 理由：如图②中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠QFP=∠APF， 由翻折可知，∠APF=∠FPQ， ∴∠QFP=∠FPQ， ∴QF=QP， ∴△PFQ是等腰三角形． （3）如图③中， ∵四边形PGQF是菱形， ∴PG=GQ=FQ=PF， ∵QF=QP， ∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF=m， ∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°， ∴∠DQD′=30°， ∵∠D′=90°， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$