精品解析：山东省泰安市肥城海亮外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

肥城海亮外国语学校2024年高二期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题 1. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 2. 设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数（，）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为，且点是函数图象的对称中心，则函数在上的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若，则等于 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题 9. 已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ） A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差 C. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望 三、填空题 12. 若，则的值为__________. 13. 购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济. 四、双空题 14. 设随机变量，若，则______，______. 五、解答题 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求的值 （2）若，求的值. 16. 设函数. （1）求函数的值域和单调递增区间； （2）当，且时，求的值. 17. 已知且，函数在上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③. （1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得______，______. （2）在（1）的情况下，关于的方程在上有两个不等实根，求的取值范围. 18. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 19. 已知函数. （1）用单调性的定义判断在上的单调性，并求在上的值域； （2）若函数的最小作为，且对恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肥城海亮外国语学校2024年高二期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题 1. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合恒成立问题可知，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断. 【详解】因为，即， 且，则，由题意可得， 选项中只有选项D满足是的真子集， 所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是. 故选：D. 2. 设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得4为的周期，根据题意结合周期性运算求解. 【详解】因为，则， 可知4为的周期， 且，可得. 故选：C. 3. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，，分别令、，结合已知条件可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出函数在上的解析式，再利用函数的对称性可求得结果. 【详解】由是奇函数，得，① 由是偶函数，得、②. 令，由①得，由②得：， 又，所以，即， 令，由①得：， 又，所以，即，则， 代入，得， 所以时，. 所以. 故选：C. 4. 函数（，）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为，且点是函数图象的对称中心，则函数在上的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，从而可求得，再将点代入求得，再根据正弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为（，）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为， 所以，所以，所以， 则， 因为点是函数图象的对称中心， 所以， 所以，故， 又因，所以， 所以， 令， 则， 因为，所以， 所以函数在上的单调增区间为. 故选：A. 5. 已知，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可. 【详解】因为， 且，则，可得， 所以； 又因为， 且，可得， 所以； 综上所述：. 故选：A. 6. 已知集合，，若，则等于 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】由已知，又，，所以，，故选B． 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 8. 函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的图象的交点个数，即可求解. 【详解】当时，令，解得或； 当时，令，则，画出函数与函数的图象， 可知在上两函数图象有一个公共点，故的零点个数为3. 故选：C 二、多项选择题 9. 已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的图象，数形结合得到关于的不等式组，解得的取值范围，进而作出判定. 【详解】画出函数的图象，关于的一元二次不等式的解集为函数图象在轴下方的部分对应的点的横坐标的集合，由函数的图象的对称轴为,所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得，解得, 故选：BC. 10. 已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数和对数的转化得到，，，对于A选项，根据即可判断；根据对数的换底公式得到，即可判断；对于C选项，利用作差法和换底公式结合基本不等式即可判断；对于D选项：根据基本不等式即可判断. 【详解】因为，，， 所以，，， 对于A选项：因为，则，即， 所以，故A选项正确； 对于B选项： ，故B选项正确； 对于C选项：， 因为，所以， 又， 所以，即，所以，故C选项错误； 对于D选项：因为，， 所以，故D选项正确； 故选：ABD. 11. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ） A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差 C. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的方差公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得 【详解】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 则，故A正确； 对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为， 则方差，故B正确; 对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3， 则，，则， 则，故C错误； 对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 则，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12. 若，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】因为，所以，， 故答案为：2. 13. 购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济. 【答案】乙 【解析】 【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为，每次购n，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x，若按第二种策略，设每次花钱m元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y，利用作差法，即可比较x，y的大小，进而可求得答案. 【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为， 按甲策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格， 按乙策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品， 两次购物的平均价格， 比较两次购物的平均价格 ， 因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济， 故答案为：乙. 四、双空题 14. 设随机变量，若，则______，______. 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】由二项分布概率公式性质有，求得，再根据二项分布的数学期望公式，求得，最后根据求值即可. 【详解】， 则，因为，所以， 故，. 故答案为：；. 五、解答题 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求的值 （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得结果； （2）先由三角恒等变换求得，再由正弦定理可得结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以； （2）由（1）知，所以，又， 所以， 由正弦定理得. 16. 设函数. （1）求函数的值域和单调递增区间； （2）当，且时，求的值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式和三角函数的图象与性质即可得到答案； （2）代入得，再求出，再利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可得到答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以函数的值域是. 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由，得. 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以 17. 已知且，函数在上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③. （1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得______，______. （2）在（1）的情况下，关于的方程在上有两个不等实根，求的取值范围. 【答案】（1）选择①②，， （2） 【解析】 【分析】（1）通过单调性分析可知一定满足①②，进而结合奇偶性和列方程求解即可； （2）参变分离可得，，，换元转化为在上有两个解，进而结合对勾函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为在上是单调递减函数， 故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数. 因为函数的定义域为，所以，则，，故一定满足②. 选择①②，，即， 而，解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 由，则， 即， 令，因为，所以， 则问题转化为在上有两个解， 显然，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，， 要使在上有两个解，则， 所以的取值范围是. 18. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【小问1详解】 因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即或， 解得或. 【小问2详解】 因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 综上可得：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 19. 已知函数. （1）用单调性的定义判断在上的单调性，并求在上的值域； （2）若函数的最小作为，且对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增， （2） 【解析】 【分析】（1）设是上的任意两个实数，且，再求解或判断即可得单调性，再根据单调性可得在上的值域； （2）由题意的最小值为，再根据为关于的增函数，可得，进而可得的取值范围. 【小问1详解】 设是上的任意两个实数，且. （方法一） ， 因为为增函数，所以， 所以，即，所以在上单调递增. （方法二）， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以在上单调递增. 故在上的值域为，即. 【小问2详解】 因为的定义域为， 所以的定义域也为. 因为的最小值为，所以的最小值也为. 因为为关于的增函数，所以为增函数， 又，所以. 由， 得， 依题意可得， 解得，则的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $