精品解析：四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高一下学期期末三校联考数学试题

仁寿县2026届高一下学期期末三校联考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一､单项选择题（本题共8道小题．下列各题均只有唯一正确选项，每题5分，共40分） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 4. 若向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（　　） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 6. 在中，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，若，，则值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 7. 已知，则 A. B. C. D. 8. 如图，为了测量花溪河对岸一座塔楼的高度，测量者小王在岸边点A处测得塔顶D的仰角为，塔底C与A的连线与河岸成角，小王沿河岸向西走了40米到达M处，测得塔底C与M的连线与河岸成角，则塔楼的高度为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 米 D. 米 二､多项选择题（本题共3道小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 复数的共轭复数是 B. 复数是纯虚数，则 C. 复数所对应的点在第二象限，则 D. 已知，复数z满足，则的最大值为6 10. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标.如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（ ） A. 这10天日均值的分位数为60 B. 从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 从日均值看，前5天的日均值的方差大于后5天日均值的方差 D. 这10天中日均值的平均值是 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则有（ ） A. 直线平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三､填空题（本题共3道小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则__________. 13. 在中，若，则__________. 14. 已知扇形的半径为3，中心角为，则这个扇形围成的圆锥的外接球的表面积是__________. 四､解答题（本题共5道小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数z满足，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限． （1）求z； （2）若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB． 16. 已知向量，函数的最小正周期为， （1）求的解析式和单调递增区间； （2）求函数在上的值域. 17. 记的内角的对边分别为，若，且. （1）求及； （2）若点在边上，且，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与底面所成角的正切值. 19. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? （3）河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿县2026届高一下学期期末三校联考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一､单项选择题（本题共8道小题．下列各题均只有唯一正确选项，每题5分，共40分） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可知，再根据平方关系即可求出． 【详解】因为，所以，即． 故选：C． 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，结合复数的意义求解即得. 【详解】由，得， 所以复数的虚部为. 故选：C 3. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解. 【详解】， 又该组数据的分位数为22， 则，解得. 故选：C 4. 若向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的坐标公式求解即可 【详解】设向量夹角为，则在上的投影向量为 故选：A 5. 已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（　　） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系可判定A、B项；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，可证得C正确；由面面平行的判定定理，可判定D不正确. 【详解】对于A中，若，，则或，所以A项不正确； 对于B中，若，，，则或与相交，所以B项不正确； 对于C中，设，在平面内任取一点（不在、上）， 作，垂足分别为，由面面垂直的性质定理， 可得，，又，，所以， 又因为，，可得，所以C项正确； 对于D中，若，，，，只有相交时，才有，所以D项不正确. 故选：C. 6. 在中，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，若，，则值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算分别求出的值即可. 【详解】，因为D为边的中点， 所以，所以，从而. 故选：A. 7. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三角函数的诱导公式，得到，再结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，根据三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式， 可得 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8. 如图，为了测量花溪河对岸一座塔楼的高度，测量者小王在岸边点A处测得塔顶D的仰角为，塔底C与A的连线与河岸成角，小王沿河岸向西走了40米到达M处，测得塔底C与M的连线与河岸成角，则塔楼的高度为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】在△中应用正弦定理求，再由即可求的高度. 【详解】由题设，在△中， 由正弦定理有：，又， 则米. 故选：D. 二､多项选择题（本题共3道小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 复数的共轭复数是 B. 复数是纯虚数，则 C. 复数所对应的点在第二象限，则 D. 已知，复数z满足，则的最大值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接由共轭复数的概念即可判断；对于B，由纯虚数的概念列式即可求解；对于C，由复数的几何意义列出不等式组即可，求解即可判断；对于D，由复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A，复数的共轭复数是，故A错误； 对于B，复数是纯虚数，则，解得，故B正确； 对于C，复数所对应的点在第二象限，则，解得，故C正确； 对于D，设，而，，所以， 不妨令，所以 ， 其中， 所以，等号成立当且仅当， 此时，故D正确. 故选：BCD. 10. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标.如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（ ） A. 这10天日均值的分位数为60 B. 从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 从日均值看，前5天的日均值的方差大于后5天日均值的方差 D. 这10天中日均值的平均值是 【答案】BD 【解析】 【分析】A由百分位数的定义求80%分位数；B、C求出前后5天的极差、方差判断；D由平均值求法求10天中日均值的平均值即可. 【详解】解：由图知：从小到大为，而， 所以分位数为，故A不正确； 前5天极差为，后5天极差为，故B正确； 前5天平均值为，后5天平均值为， 所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，故C不正确； 日均值的平均值，故D正确； 故选：BD. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则有（ ） A. 直线平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理、异面直线所成角定义，结合线面角的定义、线面平行的判定定理、正方体的截面性质逐一判断即可. 【详解】对于B，连接， 因为E，F，分别为，的中点， 所以， 因为是棱长为2的正方体， 所以， 因此是等边三角形，因此， 因此直线与所成的角为，故B正确； 对于C，延长，交的延长线于， 因为G为的中点， 所以B为的中点， 由正方体的性质可知：平面， 因此是直线与平面所成角的平面角， 因为， 所以直线与平面所成的角不是，故C不正确； 对于A，取中点，连接， 则，因为平面，平面， 所以平面， 因为分别为的中点， 所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，而平面， 所以直线平面，故A正确； 对于D，因为，， 所以，因此四点共面， 因此截面为等腰梯形， 因为正方体棱长为2， 所以， ， 因此该等腰梯形的高为：， 所以该等腰梯形面积为：，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法： （1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念； ③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）. 三､填空题（本题共3道小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由求出，然后利用二倍角公式可求出 【详解】因为向量，且， 所以，所以， 所以. 故答案为： 13. 在中，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式得到，即可得解. 【详解】由正弦定理可得：， 在中，， 所以， 即，因为，所以， 所以，即，因为，所以. 故答案为： 14. 已知扇形的半径为3，中心角为，则这个扇形围成的圆锥的外接球的表面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由于扇形的弧长等于圆锥的底面周长，先求出底面圆半径，从而可得圆锥高，根据直角三角形求外接圆半径，即可得解. 【详解】设圆锥底面半径为， 由于扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 可得，所以， 所以圆锥的高为， 如图为圆锥轴截面， 设外接球的半径为，所以，解得， 所以该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5道小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数z满足，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限． （1）求z； （2）若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用复数几何意义设出，再结合共轭复数定义写出，再运用复数乘法运算求得结果. （2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果. 【小问1详解】 由题意知，设（），则， 所以，解得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以，，如图所示， 所以，， ， ， 所以. 所以. 16. 已知向量，函数的最小正周期为， （1）求的解析式和单调递增区间； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1），的递增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算和三角函数恒等变换得，再由周期性确定函数解析式，并求单调性； （2）整体法求三角函数值域. 【小问1详解】 由已知函数 ， 由于的最小正周期为： 从而，得， 令， 所以的递增区间是； 【小问2详解】 设，由于，所以， 所以 所以函数在上的值域为. 17. 记的内角的对边分别为，若，且. （1）求及； （2）若点在边上，且，求的面积. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换即可得，继而求解,由正弦定理边角互化即可求解, （2）根据向量的线性运算，结合模长公式可得，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 由得：， ， ，，故， 由于,所以， 由正弦定理以及可得，所以， 【小问2详解】 ， ， ， ， 由于，，所以，解得或（舍去） 所以 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与底面所成角的正切值. 【答案】（1） 连接交于，连接， 底面是正方形， 为中点，又是线段的中点， ， 又平面，平面， 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，先证明，再通过线面平行的判定定理即可； （2）先证明平面，即为三棱锥的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可； （3）取中点，连接，，证明底面，即为直线与底面所成角的平面角，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面， 且底面， 所以， 又因为， 且平面，， 所以平面. 所以根据三棱锥的体积公式： . 【小问3详解】 取中点，连接，， ，分别为，中点， ，又底面， 底面， 为直线与底面所成角的平面角， ，， ， 直线与底面所成角的正切值为. 19. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? （3）河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】（1），79.5 （2）合格 （3）总样本平均值为86，总样本方差为96 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1，即可求出a的值，再求平均值即可； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75，求估计分位数为，即可判断； （3）根据题意结合总样本的平均数、方差公式，即可求出． 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． 【小问2详解】 超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 以为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． 【小问3详解】 把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $