精品解析：浙江省宁波市鄞州区鄞州第二实验中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级期末加试数学试卷 考试时间： 90 分钟 考试总分： 120 分 一、选择题 （每小题 5 分， 共 30 分） 1. 实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由得到，然后化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． ∵ ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 2. 将中根号外的移到根号里后得到的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选：A． 3. 如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为即， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴直线与双曲线交于点，两点， 观察图象可知， 当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式解为是或， 故选：． 4. 若当时，二次函数的最小值为0，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，先求得该二次函数的对称轴，再分、三种情况，分别根据二次函数的性质列方程求解即可． 【详解】解： ， ∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵， 当时，当时，y有最小值，则， 解得或（舍去）； 当时，当时，二次函数y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值，则， 解得（舍去）， 综上，m的值为． 故选：B． 5. 如图，中，，角平分线、交于点，交于，于，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出，再求出，然后求出，判断出①正确；延长交于，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得到，判断出②正确；过点作于，连接、，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换，整理，判断出③正确；求出，根据平行线间的距离相等，利用等底等高的三角形的面积相等可得，然后求出，再求出，然后求出，判断出④正确． 【详解】解：，角平分线、交于点， ， ， ， ，故①正确； 延长交于， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故②正确； 过点作于，连接、， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质以及垂直平分线的性质，通过证明全等得到相等线段和相等的角是解题的关键． 6. 在四边形中，，连接对角线，点为边上一点，连接平分，与交于点，若点恰为中点，且 ，则 （ ） A. B. C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质等知识，过点D作于点H，过点H作于点I，过点E作于点G，则，由角平分线性质得到，证明，则，证明四边形是平行四边形，则，，证明四边形是矩形，则，再证明，则，由勾股定理得到，则，勾股定理求出，则，由勾股定理求出，即可得到. 【详解】解：过点D作于点H，过点H作于点I，过点E作于点G，则， ∵， 平分 ， ∴， ∴， ∵点恰为中点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 二、填空题 （每小题 5 分， 共 30 分） 7. 若 是整数，则满足条件的正整数共有___个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 8. 无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征先把解析式变形为，利用m有无数个解得到，然后解出x和y，即可得到定点坐标． 【详解】解： ， ∵无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点 ∴当，即时，m可以任意实数， 此时， 即无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点． 故答案为： 9. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，， 则点的坐标为， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可得出关于和的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键． 【详解】∵方程和方程都有实数解， ∴，， ∴，， ∵，是正实数， ∴， ∴，即， ∴， 故的最小值为， 又∵， 则当时，， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 11. 将矩形沿对角线对折，点落在点处，，与交于点，若， ， 则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键．连接，作于点，由折叠得，，，，因为于点，所以，可证明四边形是矩形, 则，，所以，则，所以，由且，，得关于的方程，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接，作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 12. “地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，注意为正整数所包含的意义，找出所求问题需要的条件．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设未来30天每天获得的利润为y， 化简，得 ∵，当时，随着的增大而增大， ∴ 解得，， 又∵， 即a的取值范围是：． 三、解答题 （每小题 12 分， 共 60 分） 13. 小青在本学期的数学成绩如下表所示（成绩均取整数）： 测验类别 平时 期中考试 期末考试 测验1 测验1 测验1 课题学习 成绩 88 70 96 86 85 （1）计算小青本学期的平时平均成绩； （2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期小青的期末考试成绩x至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？ 【答案】（1）85分（2）94分 【解析】 【分析】（1）平时成绩利用平均数公式计算； （2）根据加权平均数公式列出不等式，解之即可得． 【详解】（1）该学期的平时平均成绩为：（88＋70＋96＋86）÷4＝85（分）． （2）按照如图所示的权重， 依题意得：85×10%＋85×30%＋60% x≥90． 解得：x≥93.33， 又∵成绩均取整数， ∴x≥94． 答：期末考试成绩至少需要94分． 【点睛】此题主要考查了加权平均数的应用，注意学期的总评成绩是根据平时成绩，期中成绩，期末成绩的权重计算得出，注意加权平均树算法的正确运用，在考试中是易错点． 14. 已知关于的方程只有一个实数根，求实数的值． 【答案】或或 【解析】 【分析】先将分式方程化简为，再根据分式方程有一个实数根及一元二次方程的判别式解答即可． 【详解】解：， 去分母得：， 即， ①∵关于x的方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 当时，经检验，方程的解是， ②当，即时，解方程得：， ∵， ∴，，它是原方程的解， ∴只需或时，为增根，此时原方程只有一个实数根， ∴当时，即， 得：； 当时，方程 的解是0和 1， 当时，即， 得：， 当时，方程的解是和， 综上，当或或时原方程只有一个实数根． 【点睛】本题考查了分式方程的解与一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 15. 如图，在平行四边形 中，， 是对角线上的两点，且 ． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若 ， ． ① 求证：； ② 若平分，，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；． 【解析】 【分析】（）连接交于点，则，，再证明，得到，所以，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可证； （）首先证出四边形为矩形，则，设， 可表示出，，故，得到，又因为，得到； 首先可证出四边形为菱形，四边形为正方形，根据可得，根据（）得，故三角形为等边三角形，，再根据含的等腰三角形的三边关系可得的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，，则，， ∴，。 ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握定理进行推导是解题的关键． 16. 对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”.如图（1）中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． （1）如图（1），若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为（1，4）、（-3，0）．求直线的解析式； （2）如图（2），直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、，直线、分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线，在直线上存在一点F，连结，当时，求出线段的值．（用含n的代数式表示） 【答案】（1）的解析式为 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用“等腰三角线”的性质，可知△PQR为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出R的坐标，设直线PR的解析式为y=kx+b，将点P、R的坐标代入计算即可； （2）①先求出直线BC、AC的解析式，在求出垂直平分，得，求出，即可得答案；②设交于点，求出△DFE∽△MNE，得，再求出，即可得答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点作轴的垂线， ∵直线PQ与直线PR为“等腰三角线”， ∴ ， ∵PE⊥QR， ∴ ， ∴， ∴R（5，0）， 设直线PR的解析式为y=kx+b， ∴，解得：， ∴PR的解析式为y=−x+5； 【小问2详解】 ①如图2，∵ 直线与双曲线交于点A、B， ∴ 求得A（2，）、B（-2，）， ∵C的横坐标n，且在双曲线的图象上， ∴C的坐标为C(n，)， ∴设直线的解析式为， ∴ ，解得：， ∴的解析式为， ∴ 当时，，即D（n-2，0）， ∴设直线的解析式为， ∴ ，解得：， ∴的解析式为， ∴ 当时，，即E（n +2，0）， 过点作轴的垂线， ∴ ，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴ ， ∴直线与直线为“等腰三角线” ， ②设交于点， ∵直线与直线为“等腰三角线”， ∴平分，垂直平分， ∵ 轴， ∴ DFCM轴， ∴， ∴△DFE∽△MNE， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴， 即． 【点睛】本题考查了“等腰三角线”的性质和判定，一次函数解析式的求法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用“等腰三角线”的性质做题． 17. 如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． （1）证明： 直线过定点． （2）如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【答案】（1）过点，证明见详解 （2）①见详解；②8 【解析】 【分析】（1）设，，，，则，，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，则，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，故，可求直线解析式为，当，故直线过定点； （2）①取中点为，连接，记交于点，交于点，由，得，则，同理可得，，则，同理可得，， 即可证明；②由得，同理可得：，故，当且仅当或时，等号成立，面积的最小值为8． 【小问1详解】 解：设，，，，且分别为的中点， 则，， ∵ 设直线的解析式为，根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线解析式为， 当， 故直线过定点． 【小问2详解】 ①解：取中点为，连接，记交于点，交于点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵分别为中点， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， 即：，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当或时，等号成立， ∴面积的最小值为8． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数解析式，韦达定理，三角形中位线定理，两点之间距离公式等，化简计算量较大，正确添加辅助线，细心化简是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级期末加试数学试卷 考试时间： 90 分钟 考试总分： 120 分 一、选择题 （每小题 5 分， 共 30 分） 1. 实数，，满足，则（ ） A B. C. D. 2. 将中根号外的移到根号里后得到的式子为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 若当时，二次函数的最小值为0，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，中，，角平分线、交于点，交于，于，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 在四边形中，，连接对角线，点为边上一点，连接平分，与交于点，若点恰为中点，且 ，则 （ ） A. B. C. 11 D. 12 二、填空题 （每小题 5 分， 共 30 分） 7. 若 是整数，则满足条件的正整数共有___个． 8. 无论 为何实数，二次函数 图象总是过定点___． 9. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为___． 10. 如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是_____． 11. 将矩形沿对角线对折，点落在点处，，与交于点，若， ， 则 _____． 12. “地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为___． 三、解答题 （每小题 12 分， 共 60 分） 13. 小青在本学期的数学成绩如下表所示（成绩均取整数）： 测验类别 平时 期中考试 期末考试 测验1 测验1 测验1 课题学习 成绩 88 70 96 86 85 （1）计算小青本学期的平时平均成绩； （2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期小青的期末考试成绩x至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？ 14 已知关于的方程只有一个实数根，求实数的值． 15. 如图，在平行四边形 中，， 是对角线上的两点，且 ． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若 ， ． ① 求证：； ② 若平分，，求． 16. 对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”.如图（1）中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． （1）如图（1），若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为（1，4）、（-3，0）．求直线的解析式； （2）如图（2），直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、，直线、分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线，在直线上存在一点F，连结，当时，求出线段的值．（用含n的代数式表示） 17. 如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． （1）证明： 直线过定点． （2）如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$