精品解析：天津市西青区2023-2024学年高二下学期7月期末学习质量检测数学试题

2023~2024学年度第二学期_______学校学习质量检测 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（ ） A. B. C. D. 2. 随机变量，则（ ） A 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 一个火车站有6股岔道，如果每股岔道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，不同的停放方法为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机曲取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为（ ） A B. C. D. 6. 的展开式的第7项的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 8. 鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·早麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量，通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：），绘制对应散点图（图2）如下： 计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应经验回归方程为．根据以上信息，如下判断正确的为（ ） A. 花萼长度与花瓣长度不存在相关关系； B. 花萼长度与花瓣长度负相关； C. 花萼长度为的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为； D. 若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642． 9. 某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 给定函数，则：①当时，有极大值；②当时，的解的个数为2个；③若方程有一个零点，则；④函数是R上的单调递减函数，则实数b的取值范围为．其中正确的结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸相应的横线上． 11. 已知函数在处有极值，则_______． 12. 二项式展开式的各二项式系数之和为______；该展开式中项的系数为_______． 13. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有______种排法. 14. 现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李华从10道题中随机选择1题，他做对该题的概率为_______． 15. 已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为_________． 16. 已知函数的定义域为R，，则的解集为_______． 三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 17. 我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据： 喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计 男 20 26 女 14 合计 50 附：，其中． 0100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （1）请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联； （2）现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望． 18. 函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 19. 历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． （1）设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； （2）若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； （3）若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望． 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明不等式：； （3）当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期_______学校学习质量检测 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分类计数原理求解． 【详解】由分类计数原理得，不同的选法种数为：， 故选：A 2. 随机变量，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的图象性质求解． 【详解】由正态分布知，， 故选：B 3. 一个火车站有6股岔道，如果每股岔道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，不同的停放方法为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法原理以及排列数的意义即可得解. 【详解】第一列火车有6种选择，第二列火车有5种选择，第三列火车有4种选择，第四列火车有3种选择， 所以满足题意的不同的停放方法为种. 故选：A 4. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导公式以及复合函数求导规则即可判断出C正确. 【详解】易知，可得A错误； 而，可得B错误； 显然，可得C正确； 易知，可得D错误. 故选：C 5. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机曲取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算可求得结果. 【详解】记“第一次抽到K牌”为事件，“第二次抽到K牌”为事件； 根据题意可得； 因此所求概率为. 故选：D 6. 的展开式的第7项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式的通项公式求解． 【详解】的展开式的第7项为：， 则第7项的系数为：， 故选：B 7. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论． 【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确； 在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误； 当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误； 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误， 故选：A. 8. 鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·早麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量，通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：），绘制对应散点图（图2）如下： 计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为．根据以上信息，如下判断正确的为（ ） A. 花萼长度与花瓣长度不存在相关关系； B. 花萼长度与花瓣长度负相关； C. 花萼长度为的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为； D. 若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642． 【答案】C 【解析】 【分析】利用散点图可知花萼长度与花瓣长度存在正相关关系，可判断AB错误；将代入回归方程可得C正确；选取其他品种鸢尾花进行抽样相关系数不一定为0.8642. 【详解】由散点图可知，花萼长度与花瓣长度存在正相关关系，可得A错误；B错误； 由经验回归方程可得，当花萼长度为时， 花瓣长度为，可得C正确； 若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数不一定为0.8642，可得D错误. 故选：C 9. 某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布计算公式可求得结果为. 【详解】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标次数为， 由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为； 则. 故选：D 10. 给定函数，则：①当时，有极大值；②当时，的解的个数为2个；③若方程有一个零点，则；④函数是R上的单调递减函数，则实数b的取值范围为．其中正确的结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，运用求导，得到单调性，进而得到极值可判断；对于②③，借助前面的讨论，得到图像，后直接画图，数形结合，直接判断；对于④，求导后采取参变分离，转化为函数的最值问题即可. 【详解】，则,则. 单调递减；单调递增； 则时，取极小值.大概画出图像如下. 当时，的解的个数为2个； 若方程有一个零点，即方程有一个解，则，或者. 函数是R上的单调递减函数，即是R上的单调递减函数， 即在R上恒成立，即在R上恒成立. 令，则，则. 单调递减；单调递增； 则时，取极小值，在R上恒成立，则. 综上所得，正确的有②④,错误的有①③. 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸相应的横线上． 11. 已知函数在处有极值，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意对函数求导可得，即可解得. 【详解】由可得， 又因为函数在处有极值，所以， 解得； 经检验可得时，处取得极小值符合题意. 故答案为：4 12. 二项式展开式的各二项式系数之和为______；该展开式中项的系数为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为二项式展开式的各二项式系数之和为，即，解得， 所以展开式的通项为（且）， 令，解得，所以展开式中项系数为. 故答案为：； 13. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有______种排法. 【答案】72 【解析】 【分析】可先从4名同学中选2人排在两端，其余3人（包含老师）在中间3合格位置任意排列即可. 【详解】第一步：先从4名同学中选2人排在两端，有种排法， 第二步：剩余3人（包括老师）在中间的3个位置任意排列，有种排法. 根据分步乘法计数原理，所有的排法有：种. 故答案为：72 14. 现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李华从10道题中随机选择1题，他做对该题的概率为_______． 【答案】0.77## 【解析】 【分析】直接由全概率公式即可求解. 【详解】由全概率公式可知，他做对该题的概率为. 故答案为：0.77. 15. 已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出样本中心点的坐标，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可求得实数的值. 【详解】由表格中的数据可得，， 将点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：. 16. 已知函数的定义域为R，，则的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数并求导得出函数单调性，即可解得不等式的解集. 【详解】由可构造函数， 则可得，所以为单调递增函数， 又，所以等价于， 即，可得, 即的解集为. 故答案为： 三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 17. 我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据： 喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计 男 20 26 女 14 合计 50 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （1）请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联； （2）现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）填表见解析；有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关 （2）分布列见解析；期望为1 【解析】 【分析】（1）给出列联表，计算的值，再结合的独立性检验进行判断； （2）由超几何分布求出分布列，再计算数学期望即可． 【小问1详解】 由题意，可得如下的的列联表： 喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计 男 20 6 26 女 10 14 24 合计 30 20 50 零假设为：该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关 根据表中数据，计算得到 根据的独立性检验，零假设为成立， 所以有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关 【小问2详解】 在喜欢航天知识大讲堂的学生中按性别分层抽样， 男生为（人），女生为2人 X的所有可能取值为， 则： 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的期望 18. 函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，求出其解，判断函数在上的单调性，求出端点处的函数值以及极值，比较大小，即得答案. 【小问1详解】 由已知得：，则， 当时，， 故在处的切线方程为：， 即为：； 【小问2详解】 ． 令：，得或， 则关系如下：， x 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 在单调递增，在单调递减， ， 所以，， 所以函数在区间上的最大值是，最小值是． 19. 历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． （1）设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； （2）若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； （3）若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）运用独立事件概率乘法公式求解即可； （2）运用二项分布概率公式求解即可； （3）运用二项分布概率公式求解概率分布列，进而求出数学期望即可. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品为事件B ； 【小问3详解】 随机变量X的取值为 由题意可知： 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 或者． 20 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明不等式：； （3）当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接求导，然后进行分类讨论即可； （2）式子变为，设，借助导数研究函数单调性，进而得到最值即可证明； （3）参变分离即证在上恒成立，转化为导数研究最值问题即可. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，在上单调递减， 当时，令，解得：， 令，则在上单调递增． 令，则在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，，要证明：； 即证：，即证：， 设， 令，解得：， x 1 0 单调递减 0 单调递增 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，， ．即：， ； 【小问3详解】 由题意得：在上恒成立， 整理得：， 参变分离即证在上恒成立， 令，则只要证明的最大值即可． ． 令解得：， （列表如下） x + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 在上单调递增，在上单调递减， ， 则实数b取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题主要借助导数研究函数的单调性和极值最值.第一问需要对导数分类讨论；第二问需要构造新函数，转化为最值问题；第三问采取参变分离后构造新函数，求导讨论单调性，进而得到最值.考查分类讨论，转化思想，综合性较强，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$