精品解析：陕西省延安市志丹县2023-2024学年高二下学期新高考适应性考试（期末）数学试题

普通高中高二年级新高考适应性考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合A,再根据交集计算即可. 【详解】依题意得,则. 故选：C. 2. 已知某校有3800名学生，其中男生有2000名，按男、女生进行分层，并按比例抽取380名学生参加安全知识竞赛，则参赛的女生人数是（ ） A. 160 B. 180 C. 200 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】分层抽样按比例分配，由抽样比关系求解可得. 【详解】由题意，设参赛的女生人数为， 则，解得， 故选：B. 3. 下列函数不是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用奇函数定义可判断. 【详解】对于A, 定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，则A不合题意； 对于B, 定义域为，关于原点对称，且，为偶函数，不是奇函数，则B符合题意； 对于C, 定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，则C不符合题意； 对于C, 定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，则D不符合题意． 故选：B. 4. 已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为， 所以点到抛物线准线的距离为， 由抛物线的定义得，. 故选：D. 5. 一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（ ） A. 480种 B. 1200种 C. 2400种 D. 5040种 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列组合的知识结合分步计数原理的知识求解即可. 【详解】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序； 再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序. 根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序. 故选：C. 6. 在四棱锥中，平面，四边形是正方形，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取CD的中点F，连接BF、EF，则 (或补角)为异面直线BE与PC的所成角. 分别求出BF、EF、BE的长度，利用余弦定理，即可求得结果. 【详解】如图，分别取棱、的中点、，连接、、、、， 因为E是PD的中点，所以， 则 (或补角)为异面直线BE与PC的所成角. 由，四边形是正方形，则，； 因为平面，平面， 所以，在中，， 则； 因为是的中点，所以，平面， 则平面，因为平面， 所以，中，，， 则. 在中，由余弦定理可得 . 故选：B. 7. 已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意当或时，取得最值，代入检验即可. 【详解】由题可知，当或时，取得最值； 对于A： ， ，符合题意，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：A 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算，结合指数函数和对数函数的单调性，转化为和特殊值比较大小，即可判断. 【详解】因为， . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小題6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数z满足，则（ ） A. z为纯虚数 B. C. z的实部不存在 D. 复数在复平面内对应的点不在第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】先解方程求得或，再结合纯虚数、复数模公式、复数实部虚部的概念、复数的几何意义，即可判断求解． 【详解】设， 由，得， 则，解得，或，（时无解）， 则或， A项，由上可知，为纯虚数，故A正确； B项，，故B正确； C项，的实部为，故C错误； D项，，或， 则复数在复平面内对应的点在第二象限或第三象限，故D正确. 故选：ABD． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式将已知等式展开，两式分别作和与差可得与，则可判断AB，再将所得两式相乘除即可判断CD. 【详解】由题意得，①， ②， ①②得，，即③； ①②得，，即④； ③④得，，即； ③÷④得，，故AD错误，BC正确. 故选：BC. 11. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是矩形，，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 该四棱台的体积为1344 B. 该四棱台的侧面积为 C. 该四棱台外接球的表面积为 D. 若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出棱台的高，由棱台体积公式即可求得棱台体积，判断A；求出棱台的侧面的高，即可求得侧面积，判断B；求出外接球半径，即可判断C；判断该四棱台内有一个球体，该球体半径最大时球体与平面及平面相切，继而结合平面几何知识求得球的半径，即可判断D. 【详解】如图1，连接，交于点O，连接，交于点，连接． 由题意可得，， 则，．在直角梯形中，， 该棱台的体积，A正确． 梯形的高为，梯形的高为， 则梯形的面积， 梯形的面积， 该四棱台的侧面积为，B正确． 设该四棱台外接球的球心为，半径为R，结合题意可得在线段上， 设，则，由勾股定理得，解得， 则，该四棱台外接球表面积为，C错误． 因为，所以当该球体的半径最大时，该球体与平面及平面相切， 设切点分别为Q，P，该球体的球心为，半径为r， 过点Q，P，O，的截面与棱，，，分别交于点E，F，M，N， 连接，交于点T，如图2． ，，由,则，, 解得，所以，同理求得． 因为，所以，即，解得， 经检验，，符合题意，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：判断本题的关键是选项D的判断，解答时要确定该球半径最大时，球体与平面及平面相切，进而将空间问题转化为平面问题解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积的性质运算化简可得. 【详解】，， 由，得， 则. 故答案为：. 13. 椭圆的短轴长为_______，以坐标原点为圆心，该椭圆的短轴长为直径的圆的方程为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由代数式的几何意义与椭圆的定义待定系数，再求出短轴长，进而求出圆的半径，由圆的标准方程可得结果. 【详解】由方程可知， 椭圆上任意一点到两定点的距离之和为， 由椭圆定义可知，为椭圆两焦点，且长轴长，焦距， 则，短轴长， 由题意，所求圆的半径，圆心为， 故圆的方程为. 故答案为：；. 14. 已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【详解】因为，，所以等价于. 若，则，，显然恒成立. 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立. 令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求在上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为2 【解析】 【分析】（1）求导，根据的图象在点处的切线与直线垂直，得到方程组，求出； （2）求导，得到函数单调性，从而得到最值. 【小问1详解】 由，得. 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 因为， 所以， 所以在上的最大值为，最小值为2. 16. 某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表： 阅读达标 阅读不达标 合计 女生 70 30 100 男生 40 60 100 合计 110 90 200 （1）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联? （2）从阅读不达标学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）阅读达标情况与性别有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算，根据根据小概率值作出结论； （2）由分层抽样得出男女生人数，再由超几何分布求出概率，列出分布列，求期望即可. 【小问1详解】 零假设为：阅读达标情况与性别无关， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为阅读达标情况与性别有关联. 【小问2详解】 由题可知抽取女生人数为，抽取的男生人数为， 则的可能取值为， ，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 故. 17. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，． （1）证明：平面． （2）求平面与平面的夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形证明线线平行，然后用线面平行的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，然后利用向量坐标法求夹角的余弦值即可得解. 【小问1详解】 取的中点，连接． 因为为棱的中点，所以，且． 又为棱的中点，所以． 因为且，所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 取为的中点，为的中点，连接． 因为为正三棱柱， 所以两两垂直． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为，夹角为. 18. 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，. （1）求的值； （2）若数列满足，，求数列的前n项和； （3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：. 【答案】（1）2 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义求出最小公倍数和最大公约数后，由对数运算法则计算； （2）由新定义转化后用错位相减法求和； （3）由新定义转化后利用裂项相消法求和后可证得不等式成立． 【小问1详解】 . 小问2详解】 因为，， 且2与3互质，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以. 【小问3详解】 证明：设的公差为d.因为，，所以， 则， 因为公差d为整数，所以，. 当时，因为与互质，所以， 所以， 所以. 19. 已知双曲线经过点． （1）求的离心率； （2）设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由两点坐标代入待定系数求出双曲线方程，进而得离心率； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，，坐标表示直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，直线方程中令，代入韦达定理化简可得横坐标为定值即得证. 小问1详解】 由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； 【小问2详解】 由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的一般解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点，利用点在曲线＝0上，即消参. （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 普通高中高二年级新高考适应性考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某校有3800名学生，其中男生有2000名，按男、女生进行分层，并按比例抽取380名学生参加安全知识竞赛，则参赛的女生人数是（ ） A. 160 B. 180 C. 200 D. 240 3. 下列函数不是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 5. 一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（ ） A. 480种 B. 1200种 C. 2400种 D. 5040种 6. 在四棱锥中，平面，四边形是正方形，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8 若，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小題6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数z满足，则（ ） A. z为纯虚数 B. C. z的实部不存在 D. 复数在复平面内对应的点不在第四象限 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是矩形，，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 该四棱台的体积为1344 B. 该四棱台的侧面积为 C. 该四棱台外接球的表面积为 D. 若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，且，则______． 13. 椭圆的短轴长为_______，以坐标原点为圆心，该椭圆的短轴长为直径的圆的方程为_______． 14. 已知，若不等式恒成立，则a取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数图象在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求在上的最值. 16. 某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表： 阅读达标 阅读不达标 合计 女生 70 30 100 男生 40 60 100 合计 110 90 200 （1）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联? （2）从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，． （1）证明：平面． （2）求平面与平面的夹角． 18. 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，. （1）求的值； （2）若数列满足，，求数列前n项和； （3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：. 19. 已知双曲线经过点． （1）求的离心率； （2）设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$