精品解析：2024届山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学高三第三次模拟考试数学试题

北大新世纪邹城实验学校2024年高考模拟考试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（ ） A. B. C. D. 3. 金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 4. 已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. B. 图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 若，则在区间上的最大值为 10. 设为复数，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则为纯虚数 D. 若，且，则 11. 已知函数定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. D. 函数与函数图象有8个不同的公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数______． 13. 已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为，我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记．若，则______． 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 有个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测. （1）求检测过程中两件次品不相邻的概率； （2）设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为，求的分布列和数学期望. 16. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 18. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 19. 无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． （1）写出这个数列的前7项； （2）如果且，求m，n的值； （3）记，，求一个正整数n，满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北大新世纪邹城实验学校2024年高考模拟考试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】或， ， 所以. 故选：D. 2. 某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出总的平均工资，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】所有人的平均工资为千元， 故该公司所有员工工资的方差为. 故选：D 3. 金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 【答案】A 【解析】 【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成组，然后分给剩余2个不同学校有种不同分法，再由分步乘法计数原理得解. 【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有种不同的方法， 剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有种， 这2组分配到2个不同学校有种不同分法， 所以由分步乘法计数原理知，共有种不同的分法. 故选：A 4. 已知点在抛物线上，抛物线准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象利用是的中位线得，是的中位线得，再由抛物线得定义得，共同推得，得到，求得即得. 【详解】 如图，不妨设点在第一象限，依题知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为， 同理是的中位线，，由抛物线定义知，故得， 又，则点横坐标是，代入可得其纵坐标为，故. 故选：C． 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小. 【详解】对，因，则，即函数在单调递减， 且时，，则，即，所以， 因为且，所以， 又，所以. 故选：B 6. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的性质以及充分条件、必要条件的定义即可解出. 【详解】因为，所以； 当时，，此时显然单调递增， 所以可以推出为递增数列； 当为递增数列时，不妨取，此时为递增数列，但不满足， 所以为递增数列不能推出， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，两边平方相加得到，再利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 两式相加得：，即， 化简得， 所以， 故选：A 8. 已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令且恒成立，根据的极值点得到矛盾，有两个不同的零点，利用三次函数性质判断单调性，进而求参数范围. 【详解】由题意，令， 若恒成立，易知：当时，当时， 所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点． 设的两个零点分别为，则， 结合三次函数的图象与性质知： ， 在、上，单调递减，在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意， 此时需，得，所以实数的取值范围为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 若，则在区间上的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用三角函数的性质求出和的关系，进一步利用三角函数的性质求出结果. 【详解】由于函数是偶函数，所以， 由于将的图象向左平移个单位长度， 再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，则， 对于A，因为曲线的两个相邻对称中心之间的距离为， 故，解得，故A不正确； 所以函数，则或， ，则或， 对于B，令，解得， 所以当时，的图象关于直线对称，故B正确； 对于C,令，解得， 所以当时，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，或， 所以或， 当时，当时，， 所以在上单调递增，故函数的最大值为； 当时，当时，， 所以在上单调递减，故函数的最大值为，故D错误； 故选：BC. 10. 设为复数，下列命题正确的是（ ） A B. C. 若，则为纯虚数 D. 若，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数模的性质判断A，取特殊值判断BC，根据复数模的性质、共轭复数模的性质判断D. 【详解】由复数模的性质知，故A正确； 取，则，故B错误； 取，则，为实数，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C D. 函数与函数的图象有8个不同的公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件先得到函数的对称性及周期性，进而判断ABC，画出函数与函数的图象，根据图象观察交点个数即可判断D. 【详解】由得函数关于对称，A正确； 由得函数关于对称， 所以，， 所以，即， 所以，故函数的周期为， 由知，， 又时，，所以，解得， 所以时，， 所以，B正确； ，C错误； 画出函数和函数的图象，如图： ，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素互异性求出不能取的值即可得出m的值. 【详解】因为，所以或，或， 又由集合中元素的互异性可知且且，且， 综上. 故答案为：. 13. 已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为，我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由负二项分布的公式直接解出即可. 【详解】因为，所以， 由题意当时， 所以. 故答案为：. 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由余弦定理得， 两式相减得， 因为，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为，，故， 所以， 又，所以，则，故，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又，所以，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 有个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测. （1）求检测过程中两件次品不相邻的概率； （2）设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）用插空法求出符合条件的事件数，再由古典概型计算可得； （2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 记检测过程中两件次品不相邻为事件， 依题意即将个芯片排列，其中两件次品不相邻的概率， 所以. 【小问2详解】 依题意的可能取值为、、、， 所以，，， ， 所以的分布列为： 所以. 16. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 （）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）合理构造图形，利用线线平行证明线面平行即可. （2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法处理即可. 【小问1详解】 取中点，连接分别为的中点， ， 底面四边形是矩形，为棱的中点， ， 故四边形是平行四边形，， 又平面平面， //平面. 【小问2详解】 假设在棱上存在点满足题意，如图：连接，，， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 平面，则是四棱锥的高， 设，则， ∴，所以， 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 设， ． 设平面的一个法向量为， 则所以可取. 易知平面的一个法向量为， ，， 故存在点满足题意. 18. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）① 证明见解析；②存在； 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解； （2）设点，其中且. （ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解. 【小问1详解】 设点，由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． 【小问2详解】 设点，其中且， （ⅰ）由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． （ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程， 得， ，（*） 因为， 所以 ， 将（*）代入上式，化简得， （法二）设，依条件有，解得， 同理由，解得， 所以． 由双曲线的定义，得， 根据，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）． 因此，存在常数使得恒成立，且． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． （1）写出这个数列的前7项； （2）如果且，求m，n的值； （3）记，，求一个正整数n，满足． 【答案】（1），，，，，，； （2）； （3）（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，逐一求解； （2）根据数列的定义，分和分别求解； （3）根据数列的定义，写出的值，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，，， ，，， ，． 【小问2详解】 由已知，m，n均为奇数，不妨设． 当时，因为，所以，故； 当时，因为，而n为奇数，，所以． 又m为奇数，，所以存在，使得为奇数． 所以． 而，所以，即，，无解． 所以． 【小问3详解】 显然，n不能为偶数，否则，不满足． 所以，n为正奇数． 又，所以． 设或，． 当时，，不满足； 当时，，即． 所以，取，时， 即． 【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当时，满足，从而设，，验证满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$