辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

葫芦岛市普通高中2023-2024学年下学期期末考试 高二数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分；考试时间：120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上． 3．用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上． 4．考试结束，将答题卡和答题纸一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．定义全集U为整数集，，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．在等比数列中，公比为q．已知，则是数列单调递减的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A． B． C． D． 5．“城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（ ） A．230万元 B．234万元 C．245万元 D．260万元 6．若随机变量，且，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.2 D．0.3 7．已知函数，数列满足，，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（精确到0.01元，参考数据） A．733.21元 B．757.37元 C．760.33元 D．770.66元 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9．下列函数中最小值为2的是（ ） A． B． C． D． 10．为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动．决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道題中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答．设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ） A．四支球队的积分总和可能为15分 B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D．丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．两空题第一空2分，第二空3分） 12．已知回归直线方程的样本中心为，则当时，__________． 13．一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地．为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表： 男性 女性 合计 满意 560 540 1100 不满意 40 60 100 合计 600 600 1200 根据列联表中的数据，经计算得到__________（精确到0.001），依据数据可作出的判断是__________． 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.8441 6.635 14．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分） 设函数． （1）求曲线的单调区间； （2）已知在区间上的最大值为13，求a的值． 16．（本小题满分15分） 已知数列的前n项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项． （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）求数列的通项公式及其前n项和； （3）若数列，证明：数列的前n项和． 17．（本小题满分15分） ChatGPT，是OpenAI研发的一款聊天机器人程序．某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的9个问题中随机抽取8个作答，已知在这9个问题中，小张能正确作答8个问题，答错1个问题． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； （3）比较小张和ChatGPT答对题数的数学期望． 18，（本小题满分17分） 已知函数． （1）若是的极值点，求a的值； （2）若函数有两个零点，． ①求实数a的取值范围； ②证明：． 19．（本小题满分17分） 甲、乙、丙三人进行一种传球游戏，当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙，当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙，当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙，初始时，球在甲手中． （1）设传球三次后，球在甲手中的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望； （2）传n次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； （3）在第（2）问的条件下，设，求证． 葫芦岛市普通高中2023-2024学年下学期期末考试 高二数学参考答案及评分标准 一、单项选择 1．A 2．D 3．C 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 二、多项选择 9．AC 10．AB 11．ABC 三、填空题 12．16 13．；满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于0.05 （或：有的把握认为满意度与性别有关）． 14．2 四、解答题 15．（本小题满分13分） （1）已知的定义域为R，所以， 当时，解得，， 当时，解得， 所以，的单调递增为，，单调递减为． （2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得． 16．（本小题满分15分） （1）因为数列的前n项和为，且， 当时，； 当时，， 经验证，当时也满足；所以； 又，所以是公差为2的等差数列，通项公式为． （2）由（1）知，于是，， 又因为数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项， 所以，，则，则． 所以． （3）由已知，， 于是． 17．（本小题满分15分） （1）设小张答对的题数为X，则． （2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”， 由题意知，，， 则， ． （3）设小张答对的题数为X，则X的可能取值是7，8， 且，，则． 设ChatGPT答对的题数为Y，则Y服从二项分布，则， 显然，即． 18．（本小题满分17分） （1）． 当时即解得． 检验：当，，在递减；在递增， 则是极小值点成立，所以． （2）由题意得函数的零点即方程的实根． ①（ⅰ）当时不成立． （ⅱ）当时， 令，， 的减区间，，增区间． 当时．． 当时． 若有两个零点．即有两个实根，，则a的取值范围． ②方法一： ，，， 令，， 于是 ． 令，，则， ， 则在单调递减，所以，，， 则在单调递减，，， 又因为，， 又因为在，，． 方法二： ，，， 令，，， 令，，在单调递减， 又因为，所以， 即，，在单调递减， ，， 又因为，， 又因为在单调递增，所以，所以． 19．（本小题满分17分） （1）由题意知，，1，2，3． ，， ， ． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望为． （2）由于传n次球后不在乙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有． 变形为． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以数列的通项公式． （3）由（2）可得， 则（，），， 所以． 又因为（，），． 所以． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $$