课时作业2 集合的表示——2025届高三数学一轮复习

课时作业2集合的表示【原卷版】 时间：45分钟 基础巩固 一、选择题 1.把集合{x2-4x+3=0}用列举法表示为( ) A.{1,3} B.{x=1,x=3} C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3} 2.集合3，f(5794),.用描述法可表示为( ) A.x\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\col (x=\f(2n+12n),nEN*))) B.x\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\col (x=\f(2n+3n),nEN*))) C.x\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\col(x=\f(2n-1n),nEN*))) D.x\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\col(x=\f(2n+1n),nEN*))) 3.若集合A={2十2x一8=0}，则下列关系正确的是( )） A.-2∈A B.2∈A C.24A D.-4庄A 4.下列集合恰有两个元素的是( ) A.{x2-x=0} B.{xy=x2-x C.ly2-y=0} D.fyly=x2-x) 5.定义A-B={xr∈A,且xEB},若A={1,2,3,4,5},B=2,3,6}, 则A一(A一B)等于( ) A.B B.{2,3} C.{1,4,5} D.{6 6.(多选题)下列说法中，不正确的是() A.方程2x一1+3y+3引=0的解组成的集合是12，一1} B.方程x2-x一6=0的所有实数根组成的集合为{（一2,3）} C.集合A={y=2x2-1},B={(x,yy=2x2-1},C=y=2x2-1} 表示同一个集合 D.集合A={(x,yy=一x2+6,x∈N,y∈N}用列举法可表示为 {0,6,1,5,2,2} 7.设集合A={2,0,1,3},集合B={x一x∈A,2-x2tA},则集合B 中所有元素的和为() A.-9 B.3 C.-6 D.-5 8.满足a,b∈{-1,0,1,2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实 数解的有序数对(a,b)的个数为( A.14 B.13 C.12 D.10 二、填空题 9.用列举法表示方程x2-(2a十3)x十a2+3a十2=0的所有实数根 组成的集合为 10.己知集合A中的元素均为整数，对于k∈A,如果k一1年A 且k十1年A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定集合S= {1,2,3,4,5,6,7,8},由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立 元”的集合共有 个 三、解答题 11.用适当的方法表示下列集合： (1)方程组2x-3y=14,3x十2y=8)的解组成的集合： (2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合： (3)方程x2-2x+1=0的所有实数根组成的集合： (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (5)二次函数y=x2+2x一10的图象上所有的点组成的集合： (6)二次函数y=x2+2x一10的图象上所有点的纵坐标组成的集 合 12.设y=x2-ax+b,A={y-x=0},B={y-ax=0},若A ={一3,1}，试用列举法表示集合B. 能力提升 13.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算⑧：当m,n都为 偶数或奇数时，m⑧n=m十n;当m,n中一个为奇数，另一个为偶数 时，m⑧n=mm.在上述定义下，集合M={x,yx⑧y=36,x∈N+,y ∈N+}中元素的个数为( A.48 B.41 C.40 D.39 14.己知有限集A={a1,a2,…,am}(n≥2). 如果A中的元素a 满足412am=a1十a2十…十a,就称A为“复活集”.给出下列结 论： ①集合f-1+r(5-1-(52)是“复活集”； ②若a1,2∈R,且{a1,a2}是“复活集”，则aa2>4; ③若a1,a2∈N,则{a1,2}不可能是“复活集”. 其中说法正确的是( A.①③ B.②② C.③ D.都不正确 15.给出下列说法： ①集合{x∈Nx3=x用列举法表示为{-1,0,1}： ②实数集可以表示为{x为所有实数}或R}: ③方程组x十y=3,x一y=一1)的解组成的集合为{x=1,y=2}. 其中不正确的有 (把所有符合题意的序号都填上) 16.己知集合A={xx=3n+1,n∈Z,B={xx=3n+2,n∈Z, M={xx=6n+3,n∈Z (1)若m∈M,则是否存在a∈A,b∈B,使m=a十b成立？ (2)对任意a∈A,b∈B,是否一定存在m∈M,使a+b=m?证明 你的结论。 课时作业2集合的表示【解析版】 时间：45分钟 基础巩固 一、选择题 1.把集合{x2-4x十3=0}用列举法表示为(A) A.{1,3} B.{xr=1,x=3} C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3} 解析：解方程x2一4x十3=0得x=1或x=3,用列举法表示原有 集合为{1,3}. 2.集合3，f5794),用描述法可表示为(D) A.x\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\col (x=\f(2n+12n),nEN*))) B.x\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\col(x=\f(2n+3n),nEN*))) C.x\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\col(x=\f(2n-1n),nEN*))) D.x\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\col (x=\f(2n+1n),nEN*))) 解析：由3,52,73,94，即31,52,73,94发现规律， x=2n+ln,n∈N, 故可用描述法表示为xblc\rc\(a\vs4\al\col(x=\f(2n+ ln),n∈N*))) 3.若集合A={2十2x一8=0}，则下列关系正确的是(B) A.-2∈A B.2∈A C.2年A D.一4eA 解析：由x2+2x-8=0可得(x+4)x一2)=0， 解得x=一4或x=2, 所以A={一4,2}，因此2∈A,一4∈A 4.下列集合恰有两个元素的是(C) A.{x2-r=0} B.{xly=x2-x C.yly2-y=0 D.yly=x2-x) 解析：A表示只有一个方程x2一x=0的集合：B表示函数y=x2一x 中自变量的取值集合，有无数个元素；C表示方程y2一y=0的所有实 数根组成的集合，有0,1两个元素：D表示函数y=x2一x的函数值的 取值集合，有无数个元素 5.定义A-B={xr∈A,且xeB),若A={1,2,3,4,5},B={2,3,6}, 则A-(A一B)等于(B) A.B B.{2,3} C.{1,4,5} D.{6} 解析：由A-B={x∈A且xEB},A={12,3,4,5},B={2,3,6}, 得A-B={1,4,5},则A-(A-B)=2,3}. 6.(多选题)下列说法中，不正确的是(ABCD) A.方程2x一1+3y+3引=0的解组成的集合是{12，-1} B.方程x2一x一6=0的所有实数根组成的集合为{（一2,3）} C.集合A=y=2x2-1},B={,yy=2x2-1},C=y=2x2-1} 表示同一个集合 D.集合A={x,yy=一x2十6，x∈N,y∈N用列举法可表示为 {0.6,1,5,2,2} 解析：A中二元方程的解组成的集合应为点集{(12，一1)}，而{12， 一1}是数集，故A不正确：B中方程为一元二次方程，其所有实数根 组成的集合应为数集{一2,3}，而{（一2,3）}是点集，故B不正确；C中 A为二次函数y=2x2-1的所有函数值组成的集合，是数集，而B是 二次函数y=2x2一1的图象上所有的点组成的集合，是点集，C表示 以等式y=2x2一1为元素的集合，是式集，所以A,B,C表示的不是 同一个集合，故C不正确：D中x,y满足条件y=一x2+6,x∈N,y ∈N,则有x=0,y=6,)x=1,y=5,)x=2,y=2,)所以A={(0,6), (1,5),(2,2)}.故D不正确. 7.设集合A=2,0,1,3},集合B={x一x∈A,2一x2年A},则集合B 中所有元素的和为(D) A.-9 B.3 C.-6 D.-5 解析：当x=一2或-3时，2一x2=一2或-7，有2一x2A:而 当x=0或一1时，2一x2=2或1，有2一x2∈A.因此，根据集合B的 定义可知B={一2，一3}，所以集合B中所有元素的和为一5 8.满足a,b∈{-1,0,1,2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实 数解的有序数对(a,b)的个数为(B ) A.14 B.13 C.12 D.10 解析：a,b∈{一1,0,1,2}，可分下列两种情形： ①当a=0时，方程为2x十b=0,此时一定有解，当b=一1,0,1 或2时，满足条件的有序数对为0，一1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)：②当a ≠0时，方程为一元二次方程，则4=4一4ab≥0，∴.ab≤1.当a=一1,1 或2时，满足条件的有序数对为(-1，一1)，（一1,0），（一1,1）， (-12),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0). 故关于x的方程a2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数 为13. 二、填空题 9.用列举法表示方程x2-(2a+3)x十a2+3a+2=0的所有实数根 组成的集合为{a十1，a十2} 解析：根据题意知将方程x2一(2a+3x+a2+3a+2=0变形可得 [X-(a十1[x-(a十2]=0，得=a十1,2=a十2，则其所有实数根组 成的集合为{a+1,a+2}. 10.已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A,如果k一1A 且k+1A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定集合S= {1,2,3,4,5,6,7,8},由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立 元”的集合共有6个. 解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3 个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}， {3,4,5},4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个. 三、解答题 11.用适当的方法表示下列集合： (1)方程组2x-3y=14,3x+2y=8)的解组成的集合： (2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x2一2x+1=0的所有实数根组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合： (5)二次函数y=x2+2x一10的图象上所有的点组成的集合： (6)二次函数y=x2+2x一10的图象上所有点的纵坐标组成的集 合 解：(1)解方程组2x-3y=14,3x十2y=8,)得x=4,y=-2,) 故方程组的解组成的集合可用描述法表示为x,yb小lc\rc (\a\vs4\al\col(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\col(x=4,y=-2))))), 也可用列举法表示为{(4，一2)}。 (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11， 可用列举法表示为{3,5,7,11}. (3)方程x2一2x十1=0的实数根为1，因此可用列举法表示为1}， 也可用描述法表示为{x∈Rx2一2x十1=0}， (4)集合的代表元素是点，可用描述法表示为 {x,y)lh<0且y>O0}. (5)二次函数y=x2十2x一10的图象上所有的，点组成的集合中，代 表元素为有序实数对(x,y),其中x,y满足y=x2+2x一10，由于点有 无数个，则用描述法表示为{(x,yy=x2+2x一10}. (6)二次函数y=x2+2x一10的图象上所有点的纵坐标组成的集合 中，代表元素为y,是实数，故可用描述法表示为y=x2+2x一10}. 12.设y=x2-ax+b,A={xy-x=0},B={y-ar=0},若A ={一3,1}，试用列举法表示集合B. 解：集合A中的方程为x2-ax十b一x=0, 整理得x2一(a十1)x+b=0. 因为A={-3,1}, 所以方程x2一(a十1)x十b=0的两根分别为一3,1 由根与系数的关系得一3+1=a十1，一3×1=b,) 解得a=-3,b=-3.) 所以集合B中的方程为x2十6x一3=0， 解得x=一3±23，所以B={-3-23,一3+23}. 能力提升 13.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算⑧：当m,n都为 偶数或奇数时，m⑧n=m十n:当m,n中一个为奇数，另一个为偶数 时，m⑧n=mm.在上述定义下，集合M={(x,y8y=36,x∈N+,y ∈N+}中元素的个数为(B) A.48 B.41 C.40 D.39 解析：若x和y一个为奇数，一个为偶数，则y=36,满足此条 件的有1×36,3×12,4×9，故点(x,y)有6个：若x和y都为偶数或奇 数，则x十y=36,满足此条件的有1+35,2+34,3+33,4+32，…，35 +1,对应的点(，y)有35个.综上可知，集合M中元素的个数为6 +35=41 14.己知有限集A={a1,a2,…,am}(n≥2).如果A中的元素a 满足a1a2an=a十a2十…十a,就称A为“复活集”.给出下列结 论： ①集合\f(-1+r(5-1-(52)是“复活集”； ②若a1,a2∈R,且{a1,a2}是“复活集”，则a1a2>4: ③若a1,a2∈N*,则{a1,a2}不可能是“复活集”. 其中说法正确的是(A) A.①③ B.②② C.③ D.都不正确 解析：，5)2×5)2=5)2+5)2=一1，.①是正确的.②不妨设 41十a2=a12=t,则由根与系数的关系知a1,2是一元二次方程x2- x十t=0的两个不相等的实数根.由>0，可得K0或P4,即412 <0或a1a2>4,故②错误.③不妨设A中a1<a2a3<au,由a1a2an =a1十a2十…十am<an,得a1'2am-1<n,当n=2时，即有a1<2., a∈N,.am1=1.于是1十a2=a2,无解.即不存在满足条件的“复活 集”A,故③正确。 15.给出下列说法： ①集合{x∈Nr3=x用列举法表示为{一1,0,1}： ②实数集可以表示为{x中为所有实数}或R}: ③方程组x+y=3,x一y=一1)的解组成的集合为{x=1,y=2;. 其中不正确的有①②③.（把所有符合题意的序号都填上） 解析：①由x3=x,即x(x2-1)=0,得x=0或x=1或x=一1.因 为一1年N,所以集合{x∈N3=用列举法表示应为{0,1}.②集合表 示中的符号“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号℉”已 表示所有的实数构成的集合，实数集正确的表示应为{中为实数}或 R③方程组x十y=3,X一y=一1)的解是有序实数对，而集合{x=1, y=2}表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应 为{1,2}或x,y1blc\rc(avs4\al\col(blc\\rc (a\vs4\al\col(x=1,y=2)).故①②③均不正确. 16.已知集合A={xr=3十1，n∈Z,B={xr=3n十2，n∈Z, M={x=6+3,n∈Z. (1)若m∈M,则是否存在a∈A,b∈B,使m=a十b成立？ (2)对任意a∈A,b∈B,是否一定存在m∈M,使a十b=m?证明 你的结论 解：(1)设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z), 令a=3k+1(k∈Z),b=3k+2(k∈Z, 则m=a十b.故若m∈M, 则存在a∈A,b∈B,使m=a十b成立. (2)对任意a∈A,b∈B,不一定存在m∈M,使a十b=m,证明如 下： 设a=3k+1,b=31+2,k,1∈Z 则a十b=3(k++3,k,1∈Z 当k+I=2p(p∈Z)时，a+b=6p+3∈M, 此时存在m∈M, 使a十b=m成立： 当k+1=2p+1(p∈Z)时， a+b=6p+6年M, 此时不存在m∈M,使a十b=m成立. 故对任意a∈A,b∈B,不一定存在m∈M,使a+b=m.