6.2.1向量基本定理同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6．2　向量基本定理与向量的坐标 6．2.1　向量基本定理 1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2 C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2 2．如图，向量a－b等于(　　) A.－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 3．如图所示，矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则等于(　　) A.(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2) C．(3e2＋5e1) D．(5e2－3e1) 4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为(　　) A．3 B．－3 C．0 D．2 5．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 6．如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，. 　 7．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝ D.若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 8．(多选)已知a，b为非零不共线向量，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝(　　) A．2 B．－2 C．－8 D．8 9．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若2＝(1－λ)＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AC边所在的直线上 D．△ABC的内部 10．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________． 11．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________． 12．已知两个非零向量a和b不共线，＝2a－3b，＝a＋2b，＝ka＋12b. (1)若2－3＋＝0，求k的值； (2)若A，B，C三点共线，求k的值． 13．如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且＝，与相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示. 14．已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线． (1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值； (2)如图，点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值． 参考答案与解析 1．答案：B 解析：因为e1和e2是两个不共线向量，所以e1和5e2、e1和e1＋e2分别是两个不共线向量，所以A、C、D均能作为基底；B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以两向量是共线向量，不能作为基底． 2．答案：C 解析：不妨令a＝，b＝， 则a－b＝－＝， 由平行四边形法则可知＝e1－3e2. 3．答案：A 解析：＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2). 4．答案：A 解析：由平面向量基本定理得 ∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3. 5．答案：A 解析：∵＝3，∴－＝3(－)， 即4－＝3，∴＝－＋. 6．解析：＝＝＝(－)＝(a－b)， ∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. ∵＝＝， ∴＝＋＝＋ ＝＝(＋)＝(a＋b). ＝－＝(a＋b)－(a＋b)＝a－b. 7．答案：BC 解析：由平面向量基本定理可知，AD是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0. 8．答案：AB 解析：∵向量8a－kb与－ka＋b共线， ∴存在实数λ，使得8a－kb＝λ(－ka＋b)，即8a－kb＝－kλa＋λb. 又∵a，b为非零不共线向量， ∴解得k＝±2，故选AB. 9．答案：C 解析：由2＝(1－λ)＋得 2(＋)＝－λ＋， 2＋2＝－λ＋， ＋2－＝－λ. ∵边AB的中点为D， ∴＝－λ， ∴点P在直线AC上． 10．答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb即得λ≠4. 11．答案： 解析：如图，分别在，上取点E，F， 使＝，＝， 在上取点G， 使＝， 则EG∥AC，FG∥AE，所以＝＋＝， 所以M与G重合，所以＝＝. 12．解析：(1)2－3＋＝0， ∴2(2a－3b)－3(a＋2b)＋ka＋12b＝(1＋k)a＝0， ∵a≠0，∴k＋1＝0，∴k＝－1. (2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ， ∴－＝λ(－)， ∴(k－1)a＋10b＝－λa＋5λb， ∵a，b不共线， ∴由平面向量基本定理得，解得k＝－1. 13．解析：∵＝＝b，＝＝a， 由N，E，B三点共线知存在实数λ满足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a. 由C，E，M三点共线知存在实数μ满足 ＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b. ∴解得 ∴＝a＋b. 14．解析：(1)因为＝2，所以＝， 所以＝(－)＝－， 又因为＝r＋s，所以r＝，s＝－， 所以r＋s的值为0. (2)因为四边形OABP为平行四边形， 所以＝＋，又因为＝m＋， 所以＝＋(m＋1)， 依题意，是非零向量且不共线， 所以m＋1＝0，解得m＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$