6.2.1 向量基本定理 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学课件聚焦共线向量基本定理与平面向量基本定理，通过反向思考“b=λa时b∥a”的逆命题导入，衔接向量平行旧知，为新知学习搭建支架。 其亮点在于通过“尝试与发现”引导探究，结合定理辨析表格与分层例题练习，培养数学抽象与逻辑推理能力。课堂总结结构化梳理核心内容，学生能深化知识理解，教师可依托清晰流程提升教学效果。

人教B版(2019)必修第二册 6.2.1 平面向量基本定理 第六章 平面向量初步 1 学习目标 掌握共线向量基本定理,并会简单应用，体现数学抽象能力（重点） 理解平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 通过前面的学习，我们知道可用结论“当存在实数λ ，使得 b=λa 时，b∥a”判断两向量平行. 那么，这个结论反过来是否成立呢？ 3 新课学习 例1：如图所示，判断向量b，c，d，e，是否可以写成数与向量a 相乘. 如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由. a b c d e 因为b与a的方向相同，而且|b|=2|a|，所以b=2a； 因为c与a的方向相同，而且|c|= |a|，所以c= a； 因为d与a的方向相反，而且|d|= |a|，所以d=- a； 因为e与a不平行，所以e不能写成数与向量a相乘. 4 新课学习 共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa .  5 新课学习 共线向量基本定理的说明： 在共线向量基本定理中： (1)b=λa时，通常称为b能用a表示. (2) 其中的“唯一”指的是，如果还有b=μa，则有λ=μ. 这是因为：由λa=μa可知(λ-μ)a=0，如果λ-μ≠0，则a=0，与已知矛盾，所以λ-μ=0，即λ=μ. 6 新课学习 三个点 A，B，C 共线的充要条件 由共线向量基本定理可知，如果A，B，C是三点不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得 7 新课学习 尝试与发现：如果a=0且b∥a，什么时候存在实数 λ，使得b=λa？这样的λ 有多少个？什么时候不存在这样的实数λ？ 如果a=0，则一定有b与a共线(零向量与任意向量共线)，此时b有两种情况： 1.b=0，此时b=λa 中的λ有无数个； 2.b≠0，此时不存在λ使得b=λa 成立. 这两种情况违背λ “存在且唯一”的特点. 由共线向量基本定理还能得到一个重要的结论： 若两个向量a, b不共线，而λa=μb，则说明λ=μ=0. 8 新课学习 共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来. 那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ a b A B C D 如图所示，在平行四边形ABCD中， 9 新课学习 尝试与发现：如图所示，已知a，b，c，d，e，f 的始点相同，你能分别将 c，d，e，f 写成向量a，b的线性运算吗？ a b c d e f 不难看出，c=a+b，d=5a-2b，e=-2a-2b，f=-3a. 10 新课学习 平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得 c=xa+yb.  11 新课学习 共线向量基本定理与平面向量基本定理的辨析： 共线向量基本定理 平面向量基本定理 条件 给定一个非零向量a 给定两个不共线的向量a，b 结论 对任意与共线的向量b，有且只有一个实数λ，使得b=λa. 对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb.  12 新课学习 思考一下：上述实数对(x，y)如何找到？ 如图所示，将向量a，b 的始点平移到一起，假设 b a c c b a 将向量c的始点也平移到O 点，以OA，OB所在的直线为相邻的边，以OC为对角线作平行四边形ODCE．因为a与b不共线，所以a≠0且b≠0. c=xa+yb. 13 新课学习 例2：如图所示，用e1与e2表示a，b，c，d，f. a d b f c e1 e2 由图不难看出 a=2e1+e2，b=e1- e2，c=- e1-2e2， d=- e1+ e2，f=- e1. 14 新课学习 思考一下：根据平面向量基本定理，当a与b共线时，你可以得到什么结论？ 平面向量基本定理中，当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a与b 表示时，表达式唯一，即如果 c=xa+yb=ua+vb， 那么x=u 且y=v． 这是因为由xa+yb=ua+vb 可知 (x-u)a=(v-y)b，如果x-u≠0，则 从而可知a与b共线，与已知矛盾，因此x-u=0 即x=u.同理可得y=v ． 特别地，当a与b不共线时，因为0=0a+0b，所以对于xa+yb 来说，当x≠0 或 y≠0时，必定有xa+yb≠0．也就是说，当a与b不共线时，xa+yb≠0的充要条件是 x与y中至少有一个不为0． 15 新课学习 线性运算的向量表示 平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量a与b不共线时，任意一个向量c，都可以写成a与b的线性运算（简称为用a与b表示向量c），而且表达式唯一. 16 新课学习 基底的概念 平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a,b}，此时如果c=xa＋yb，则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式. 17 新课学习 例3：已知a与b不共线，而且a-xb与3a+2b共线，求x的值. 因为a与b不共线，所以3a+2b≠0，因此由已知可得存在实数t，使得 a-xb=t(3a+2b)， 即a-xb=3ta+2tb，从而 解得 18 新课学习 例4：如图所示，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点. 求证：平面内任意一点P在直线l上的充要条件是，存在实数t，使得 A B l P O 先证必要性: 设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，使 19 新课学习 例4：如图所示，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点. 求证：平面内任意一点P在直线l上的充要条件是，存在实数t，使得 再证充分性: A B l P O 因此 P，A，B 三点共线，即 P 在直线l上. 结论：如果令t= ，则可得点P为线段AB的中点的充要条件为 20 新课学习 O A B C D E F a b 21 新课学习 O A B C D E F a b 因为 △DEF∽△BEA，而且 从而 DE= AB，于是 22 课堂练习 A 23 课堂练习 24 课堂练习 A 25 课堂练习 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂练习 D 29 课堂练习 30 课堂练习 A 31 课堂练习 32 课堂练习 33 课堂总结 1.共线向量基本定理 2.三点共线的充要条件 3.平面向量基本定理 4.线性运算的向量表示 5.基底的概念 34 谢 谢 观 看 35 $