6.2.1向量基本定理-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

第六章 平面向量初步 6.2向量基本定理与向量的坐标 6.2.1向量基本定理 知识梳理 一．共线向量基本定理数乘向量 一般地，有如下共线向量基本定理： 如果且,则存在唯一的实数入，使得. 在共线向量基本定理中： （1) 时，通常称为能用表示。 （2)其中的“唯一”指的是，如果还有,则有. 这是因为：由可知,如果,则,与已知矛盾，所以 ,即. 二．平面向量基本定理 一般地，有如下平面向量基本定理： 如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量,存在唯一的实数对,使得 . 平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用表示时，表达式唯一，即如果 ,那么. 基底：平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量与不共线时，任意一个向量,都可以写成与的线性运算（简称为用与表示向量),而且表达式唯一，因此，平面内不共线的两个向量与组成的集合,常称为该平面上向量的一组基底，此时如果,则称为在基底下的分解式。 常见考点 考点一 基底的概念及辨析 典例1．若是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平面中基底是两个不共线向量，逐个分析判断即可得解. 【详解】 由是平面内的一组基底，则非零不共线， 由一组基底必不共线，可得： 对A，，故共线，不符题意； 对B，不能互相线性表示，故不共线，满足题意； 对C，，故共线，不满足题意； 对D，，故共线，不满足题意. 故选：B 变式1-1．设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】 根据基底不共线即可判断. 【详解】 解：，是平面内不共线的两个向量， 对A，与不共线，故可以作为基底，故A错误； 对B，与不共线，故可以作为基底，故B错误； 对C，，故与共线， 不可以作为基底，故C正确； 对D，与不共线，故可以作为基底，故D错误； 故选：C. 变式1-2．已知是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意可得：两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项． 【详解】 对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底； 对于B：因为，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底； 对于D：设，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 故选：C． 变式1-3．若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 根据不共线的向量作为基底即可得出选项. 【详解】 对于A， 由，所以两向量共线，故A不能选； 对于B，由，所以两向量共线，故B不能选； 对于C，由，所以两向量共线，故C不能选； 对于D，与不共线，故D选. 故选：D 考点二 用基底表示向量 典例2．如图，等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由向量的减法法则，结合图示易得. 【详解】 由题得，由图可知. 故：C. 变式2-1．如图所示，在矩形中，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先算出，从而可求. 【详解】 , 而， 故选：A. 变式2-2．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】 连结，则为的中位线， ， 故选：A 变式2-3．在中，是的中点．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据向量的加减及数乘运算即可求出． 【详解】 ∵是的中点， ∴， ∴. 故选：C 考点三 利用平面向量基本定理求参数 典例3．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）． A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】 利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求的值. 【详解】 由平面向量基本定理， 化简 ， 所以，即， 故选：A． 变式3-1．如图，在中，，，若，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求出，得λ＝，μ＝，即得解. 【详解】 因为＋μ， 所以λ＝，μ＝， 则λ＋μ＝＋＝. 故选：B 变式3-2．在矩形中，与相交于点，是线段的中点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据平面向量的线性运算法则，结合矩形的性质进行求解即可 【详解】 因为， 所以， 故选：A 变式3-3．如图，已知，若点满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C