精品解析：安徽省淮南第一中学等校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

安徽省淮南一中等校2023-2024学年高一下学期期末数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. D. 0 3. 2024年全国夏季游泳锦标赛将在合肥举办，某高中共有男学生1300人，女学生1100人，男教师150人，女教师100人申请做志愿者，现按人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，则抽取的总人数为（ ） A. 480 B. 500 C. 520 D. 530 4. 已知在梯形中，，，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在水平桌面上放置一个上、下底面直径分别为2，4，高为2的敞口圆台形容器，现往其内部注水至水面高度为1，然后将上底面加盖，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，记此时的水面高度为，则（ ） A B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校举办了一次数学竞赛，共有200名参赛者，对所有参赛者成绩进行统计，所有成绩都在内，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ） A. B. 所有参赛者成绩极差小于50 C. 估计所有参赛者成绩的中位数为70.5 D. 成绩在区间内的人数为64 10. 设，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在三棱锥中，若，，分别为棱，，的中点，平面、平面、平面相交于点，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 13. 已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为，，则______. 14. 已知在中，，，，为线段的延长线上一点，的平分线所在的直线与直线交于点，则______. 参考数据：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在中，设向量，，且，. （1）求的值； （2）若，求. 16. 某校高一（1）班、（2）班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记（1）班所有学生的成绩分别为，，…，，平均成绩为，方差为，已知，. （1）求，； （2）记（2）班所有学生的成绩分别为，，…，，其平均成绩为82，，试求两个班的所有学生的平均成绩（结果保留整数），并说明哪一个班的成绩比较稳定. 17. 某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额. （1）当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率； （2）当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）如图，为的外接圆的上一动点（含端点），. （ⅰ）求取值范围； （ⅱ）当且点不重合时，求. 19. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，点在线段上，且为的重心，点在棱上，且，点在棱上，且. （1）证明：平面平面； （2）若，，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省淮南一中等校2023-2024学年高一下学期期末数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可. 【详解】由题意得，故在复平面内对应的点为， 该点位于第三象限，故C正确. 故选：C 2. 已知向量，，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，根据向量平行的坐标表示，列式求解，即得答案. 【详解】由题可知向量，，， 则，因为与共线， 所以，解得. 故选：B 3. 2024年全国夏季游泳锦标赛将在合肥举办，某高中共有男学生1300人，女学生1100人，男教师150人，女教师100人申请做志愿者，现按人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，则抽取的总人数为（ ） A. 480 B. 500 C. 520 D. 530 【答案】D 【解析】 【分析】根据男性所占比例即可得解. 【详解】因为， 所以抽取的总人数为. 故选：D 4. 已知在梯形中，，，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】证明可得，然后根据平面向量线性运算可得. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 所以，. 故选：A 5. 从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用列举法得到基本事件数和符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，共有6种不同的情况， 分别为，，，，，， 满足乘积不超过1的为，，，，共有4种不同的情况， 设概率为，故所求的概率为，故B正确. 故选：B 6. 在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个独立事件及对立事件来解决问题. 【详解】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合， 由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮， 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合， 所以灯亮的概率为. 故选：D. 7. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，利用异面直线夹角的几何求法找到夹角，利用直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可. 【详解】 如图，设正四棱锥的高为，则，，所以. 设正四棱锥的底面中心为，连接，，则， 所以直线与所成的角为，且连接， 由题可得，，，所以， 所以，故A正确. 故选：A 8. 在水平桌面上放置一个上、下底面直径分别为2，4，高为2的敞口圆台形容器，现往其内部注水至水面高度为1，然后将上底面加盖，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，记此时的水面高度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补形法得到，再利用水的体积相等建立方程，化简即可. 【详解】将圆台补成一个圆锥，则圆锥的高为4.容器正放时水面所在圆面的半径为， 注入水的体积为.当把此容器倒扣在水平桌面上时， 设水面所在圆面半径为，则，所以， 此时水的体积为， 所以，所以，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是合理补形消去参数，然后利用水的体积相等建立方程，化简得到所要求的等量关系即可． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校举办了一次数学竞赛，共有200名参赛者，对所有参赛者的成绩进行统计，所有成绩都在内，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ） A. B. 所有参赛者成绩的极差小于50 C. 估计所有参赛者成绩的中位数为70.5 D. 成绩在区间内的人数为64 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目中的频率分布直方图，结合极差、中位数相关概念求解即可. 【详解】对于A，由题可得，故A错误； 对于B，由题图可知，所有参赛者成绩的极差小于，故B正确； 对于C，设中位数为，则，解得，故C正确； 对于D，成绩在区间内的人数为，故D正确. 故选：BCD 10. 设，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的运算律，及共轭复数的性质来判断各选项. 详解】对于A，若，，则，，故A错误； 对于B，设，，， 因为，所以，所以，，，故，故B正确； 对于C，若，则，则或， 所以或，所以，故C正确； 对于D，若，，则满足， 但，，所以，故D错误. 故选：BC. 11. 在三棱锥中，若，，分别为棱，，的中点，平面、平面、平面相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用，根据相似比可计算判断A，C； 通过分析与的面积关系未知，可判断B错误；设三棱锥的高为，点到平面的距离为，通过相似和重心的性质计算可得，可计算判断D. 【详解】对于A，由已知可得，且相似比为， 所以，故A正确； 对于B，因为为的面积的，为的面积的， 而与的面积关系未知，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，如图，设，交于点，，交于点，连接，， 则，的交点为，延长交于点，连接交于点， 易知，分别为，的重心， 所以，所以， 所以，， 设，则，，所以，所以， 设三棱锥的高为，点到平面的距离为，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：利用三角形相似，求出对应边之比，通过计算求得，的重心，，利用三角形相似，求得三棱锥的高与三棱锥的高之比,进而求得结果. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的性质求解即可. 【详解】设，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为 . 故答案为： 13. 已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥和球的对称性可知，球心在圆锥的高上，构造直角三角形，即可求出圆锥半径，利用圆锥和球的体积公式即可求解. 【详解】由题可知，球心在圆锥的高上， 所以圆锥的底面半径为（球与圆锥的轴截面如图）， 所以. 故答案：. 14. 已知在中，，，，为线段的延长线上一点，的平分线所在的直线与直线交于点，则______. 参考数据：. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件得到，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以点在线段的延长线上，， 在中，由正弦定理可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查求解三角形，解题关键是得到，然后在中，由正弦定理得到所要求结果即可． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在中，设向量，，且，. （1）求的值； （2）若，求. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义得到，再结合平面向量的线性运算求解即可. （2）利用给定条件得到，再利用模的性质计算即可. 【小问1详解】 由已知得，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 16. 某校高一（1）班、（2）班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记（1）班所有学生的成绩分别为，，…，，平均成绩为，方差为，已知，. （1）求，； （2）记（2）班所有学生的成绩分别为，，…，，其平均成绩为82，，试求两个班的所有学生的平均成绩（结果保留整数），并说明哪一个班的成绩比较稳定. 【答案】（1）， （2）81，（1）班的成绩比较稳定 【解析】 【分析】（1）根据平均值以及方差的计算公式，即可求得答案； （2）用总分数除以总人数即可求得两个班的所有学生的平均成绩，计算（2）班的方差，比较大小，即得结论. 【小问1详解】 由题意知，得， . 【小问2详解】 记（2）班的平均成绩为，方差为， 则，所以， 所以两个班所有学生的平均成绩为， ， 因为，所以（1）班的成绩比较稳定. 17. 某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额. （1）当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率； （2）当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1） （2）不相互独立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型和互斥事件的概率加法公式可得； （2）利用古典概型概率公式求出，然后根据独立事件的定义直接判断即可. 【小问1详解】 即只摸1次球， 生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元， 从袋中随机摸出1个球，对应的生日红包金额为200元的概率为，为300元的概率为， 故甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率为. 【小问2详解】 当时，“甲员工获得的生日红包总金额为300元或400元”， 因为，， 所以. 事件“甲员工获得的生日红包总金额为200元、300元或400元”， 因为，所以， 事件的对立事件为“甲员工获得的生日红包总金额为200元”， 所以， 所以， 所以事件，不相互独立. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）如图，为的外接圆的上一动点（含端点），. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当且点不重合时，求. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及和差角公式计算可得； （2）（i）在中利用余弦定理求出，即可求出外接球的直径，从而求出的取值范围；（ii）利用正弦定理求出，由圆周角定理得到，即可求出，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）在中，由余弦定理可得， 所以圆的直径为， 又为的外接圆的上一动点（含端点），， 所以，所以的取值范围是. （ⅱ）在中，由正弦定理可得， 所以. 因为为外接圆上的一点，所以， 因为，所以， 又， 所以. 19. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，点在线段上，且为的重心，点在棱上，且，点在棱上，且. （1）证明：平面平面； （2）若，，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据重心性质和相似比可证明，通过证明为平行四边形可得，然后由线面平行判定定理和面面平行判定定理可证； （2）过点作于点，交于点，然后通过证明平面得知平面，然后利用等面积求解可得. 【小问1详解】 如图，设交于点，连接. 因为底面为菱形，为重心， 所以. 又，所以， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 在直四棱柱中，，且， 又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 如图，过点作于点，交于点. 因为平面，平面，所以， 又为菱形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面平面，所以平面， 所以平面. 因为，，所以，为正三角形， 所以，， 所以. 故点到平面的距离为. 【点睛】关键点睛：本题第二问关键在于通过证明平面，结合（1）中结论得平面，然后利用等面积法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$