精品解析：河南省周口市郸城县才源求真中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年第二学期期末试卷（X） 八年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式与分式相等的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点到轴的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是正方形，延长到点，使，连结，则度数是（ ） A. B. C. 40 D. 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 关于的不等式的解集是 C. 关于的方程的解是 D. 关于，的方程组的解为 6. 如图，构成伸缩门的基本图形是菱形，且每个小菱形的边长都为0.4米，伸缩门伸展到最宽时为8米，此时菱形的一个内角为60°．若中间隔板的厚度不计，则图中的n为（　　） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7. 4月21日，2024河南省公共图书馆全民阅读系列活动启动，某校举行了“豫出彩，一起来读书”主题演讲比赛，演讲得分按演讲内容、语言表达、形象风度、整体效果四项占比进行计算，若小芳这四项的得分依次为90，85，90，88，则她的最后得分是（ ） A. B. 88 C. D. 90 8. 小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四质量体积种物质中，密度（）最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 已知分式（，为常数）满足下列表格中的信息，则下列结论错误的是（ ） 取值 分式的值 无意义 0 1 A B. C. D. 10. 如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，将平行四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，，若，，，则________的成绩更稳定．（填“甲”或“乙”） 12. 甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值随自变量增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是_________________． 13. 对于两个非零实数，，规定，若方程，已知该方程中的取值范围为，则的取值范围为______． 14. 小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形，做成班刊刊头（如图所示）．若菱形的面积为，正方形的面积为，则这张菱形纸片的边长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点的坐标为，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，是射线上的动点，过点作轴，作轴，垂足分别为，，若四边形的周长是14，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简： 17. 如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，于，且，求的长． 18. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是的中点． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，与的延长线交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 19. 在某校九年级组织的某次语文测试中，有一道满分为10分的小作文题，其评分标准如下： A．未清楚表达，只有一点观点或结论可得1分 B．略有错误，基本满足要求，可得3分； C．正确阐明观点，且有结构可得5分； D．能简明地表达和阐明原理或推理，可得8分； E．完整、清晰、精准地概括和表达出立意，可得满分10分 为了解九年级学生对语文小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行随机分组，并从中随机抽取了3个小组的学生答卷进行统计分析，各小组的得分统计图表如图所示： 平均数 众数 中位数 第1小组 7.5 8 第2小组 1 3 第3小组 5 （1）请补全第1小组得分条形统计图，并计算在第2小组得分扇形统计图中，“得分为8分”这一项所对应的圆心角的度数为______． （2）填空：______，______，______． （3）结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关该知识点的学习建议． 20. 如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，设运动时间为秒，的面积为． （1）求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． （3）当时，直接写出取值范围． 21. 2024年4月24日是第九个“中国航天日”，八年级某班组织40名学生到航天展览馆参观，已知展览馆分为，，三个场馆，用1000元购买场馆门票的张数与用800元购买场馆门票的张数相同，且每张场馆门票的价格比每张场馆门票的价格贵10元． （1）分别求出场馆和场馆的门票价格． （2）由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票．若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 22. 如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． （1）的值为______． （2）将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行了如下探究活动． 活动一：为上一点，将绕点旋转，得到，，，的对应点分别为，，，连接，． 【观察发现】如图1，四边形的形状为______． 【深入探究】如图2，若，，当四边形为矩形时，求的长． 活动二：如图3，点是的垂直平分线与的交点，将绕点顺时针旋转角）得到，，的对应点分别为，，连接，． 【拓展提高】①猜想与的位置关系，并给予证明； ②如图3，当时，平分线，若点到的距离为2，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年第二学期期末试卷（X） 八年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式与分式相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行变形然后一一判断即可得到答案． 【详解】解：A． ∵， ∴，故该选项不符合题意； B．∵ ∴ ，故该选项符合题意； C． ∴，故该选项不符合题意； D． ∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点到轴的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标性质，解题的关键是注意不要将点到两坐标轴的距离混淆．根据点P到x轴的距离为纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：点到轴的距离是． 故选C． 3. 如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D．由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 4. 如图，四边形是正方形，延长到点，使，连结，则的度数是（ ） A. B. C. 40 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及等腰三角形，关键是根据正方形的性质得到角的大小，然后根据等腰三角形的性质进行求解即可．根据正方形的性质及等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ． 故选B． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 关于的不等式的解集是 C. 关于的方程的解是 D. 关于，的方程组的解为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，根据一次函数与方程、不等式的关系求解．掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：A：由图象得，，， ∴， ∴，故A不符合题意； B：由图象得：时， ∴关于的不等式的解集是，故B符合题意； C：由图象得：当时，， ∴关于的方程的解是，故C是不符合题意； D：由图象得：关于，的方程组的解为，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，构成伸缩门的基本图形是菱形，且每个小菱形的边长都为0.4米，伸缩门伸展到最宽时为8米，此时菱形的一个内角为60°．若中间隔板的厚度不计，则图中的n为（　　） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】计算出每一个菱形的宽度，即较短的对角线的长即可． 【详解】解：∵每个小菱形的边长都为0.4米，菱形的一个内角为60°， ∴较短的对角线的长为0.4米， ∵总长度为8米， ∴则图中的n为8÷0.4＝20个， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质：四边相等以及等边三角形的性质，题目比较简单． 7. 4月21日，2024河南省公共图书馆全民阅读系列活动启动，某校举行了“豫出彩，一起来读书”主题演讲比赛，演讲得分按演讲内容、语言表达、形象风度、整体效果四项占比进行计算，若小芳这四项的得分依次为90，85，90，88，则她的最后得分是（ ） A. B. 88 C. D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 根据加权平均数的计算公式列式计算可得． 详解】解：根据题意得 她的最后得分是为：(分)； 故选：A． 8. 小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四质量体积种物质中，密度（）最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象获取所需信息是解题的关键． 根据“”，从图象中比较每种物质的质量和体积即可解答． 【详解】解：∵甲和丙的体积相等，甲的质量丙的质量， ∴甲的密度大于丙的密度； ∵乙和丁的体积相等，乙的质量丁的质量， ∴乙的密度大于丁的密度； ∵甲和乙的质量相等，甲的体积乙的体积， ∴甲的密度大于乙的密度． ∴甲的密度最大． 故选：A． 9. 已知分式（，为常数）满足下列表格中的信息，则下列结论错误的是（ ） 的取值 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件，以及分式方程的解法，本题属于基础题型．把表格中的数据分别代入求解即可． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， ∴，故A正确； 当时，分式的的值为0， ∴， ∴，故B正确； 当时，分式的的值为1， ∴， ∴， ∴，故C正确，D错误． 故选D． 10. 如图，平行四边形顶点，，的坐标分别为，，，将平行四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出点的坐标，进而利用旋转的性质得出规律解答即可．本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，， ， 当旋转时，第一次时，； 第二次时，； 第三次时，； 第四次时，； ， 第2025次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，，若，，，则________的成绩更稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的大小进行判断即可． 【详解】解：，， ∴， ∴乙的成绩更稳定． 故答案为：乙． 12. 甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值随自变量增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是_________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出，，取即可得出结论． 【详解】解：∵函数值随自变量增大而增大，且该函数图象经过点， ∴该函数为一次函数， 设一次函数的表达式为（），则，． 取，此时一次函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 13. 对于两个非零实数，，规定，若方程，已知该方程中的取值范围为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是新定义问题，考查了解分式方程，理解规定的新运算是关键，根据题干所定义的运算转化为分式方程求出，再根据求解即可． 【详解】由题意得 ∴ 方程两边同时乘得： 解得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 14. 小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形，做成班刊刊头（如图所示）．若菱形的面积为，正方形的面积为，则这张菱形纸片的边长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】连接，其中交于点，先利用菱形和正方形的性质可得点在同一条直线上，再利用正方形的面积和菱形的面积公式分别求出的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接，其中交于点， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， 必经过的中点，且， 点在同一条直线上， 正方形的面积为， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 菱形的面积为， ，即， 解得， 则这张菱形纸片的边长， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了菱形和正方形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形和正方形的性质是解题关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点的坐标为，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，是射线上的动点，过点作轴，作轴，垂足分别为，，若四边形的周长是14，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出点，再用待定系数法求出直线的表达式为，设，则，分两种情况：①当点在第四象限时，②当点在第三象限时，画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的表达式为； 根据题意，长方形的周长是14， 设，则， ∵，， ∴， 可分两种情况讨论： ①当点在第四象限时，如下图， 则， 将点代入直线， 可得， 解得， ∴此时点P的坐标为； ②当点在第三象限时，如下图， 则， 将点代入直线， 可得， 解得， ∴， ∴此时点P的坐标为：； 综上所述，点P的坐标为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、折叠的性质、一次函数与坐标轴交点等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂的意义，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂的意义计算，再算加减； （2）把括号里通分，把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 17. 如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，于，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线证出．得出，即可得出结论； （2）同（1）证出，由F为中点，，求出与的长，得出为等腰三角形，根据三线合一得到G为中点，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再由三角形与三角形全等，得出，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：为的平分线， ， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解:四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， 为的中点，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． 18. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是的中点． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，与的延长线交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）证明，得出，证出四边形是平行四边形．结合，即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵． ∴四边形是矩形． 19. 在某校九年级组织的某次语文测试中，有一道满分为10分的小作文题，其评分标准如下： A．未清楚表达，只有一点观点或结论可得1分 B．略有错误，基本满足要求，可得3分； C．正确阐明观点，且有结构可得5分； D．能简明地表达和阐明原理或推理，可得8分； E．完整、清晰、精准地概括和表达出立意，可得满分10分 为了解九年级学生对语文小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行随机分组，并从中随机抽取了3个小组的学生答卷进行统计分析，各小组的得分统计图表如图所示： 平均数 众数 中位数 第1小组 7.5 8 第2小组 1 3 第3小组 5 （1）请补全第1小组得分条形统计图，并计算在第2小组得分扇形统计图中，“得分为8分”这一项所对应的圆心角的度数为______． （2）填空：______，______，______． （3）结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关该知识点的学习建议． 【答案】（1）补全统计图见解析，36 （2）10，，5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及折线统计图，中位数，众数，平均数，掌握中位数、众数、平均数的定义是解题的关键． （1）根据总人数为20人，条形图各个得分的人数即可画出统计图；利用扇形统计图“得分为8分”的百分数即可解答； （2）根据条形统计图、扇形统计图以及折线图即可得到答案； （3）调整心态，认真审题，能够准确理解题意并能表达出来观点； 【小问1详解】 解：∵随机调查的总人数为20人，“1”分的人数为1人，“3”分的人数为2人，“5”分的人数为3人，“10”分的人数为8人， ∴“8分”的人数为：(人)， 如图所示： ∵第2小组得分扇形统计图中“得分为8分”所占百分数为， ∴“得分为8分”这一项所对应的圆心角的度数为：； 【小问2详解】 解：∵在条形统计图中“得分为10分”的人数最多， ∴第1组的众数为10分，即， ∵在扇形统计图中，“1”分的人数为：人，“3”分的人数为：人，“5”分的人数为：人，“8”分的人数为：人，“10”分的人数为：人， ∴第2组的平均数为：， ， ∵从第3组的折线图可知第10个和第11个的数是：5、5， ∴第3组的中位数是：， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：建议：调整心态，认真审题，能够准确理解题意并能表达出来观点． 20. 如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，设运动时间为秒，的面积为． （1）求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，从函数图象获取信息等等，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，再分当点P在上时，则，当点P在上时，则 ，两种情况利用三角形面积公式进行求解即可； （2）先描点，再连线画出函数图象即可； （3）分别求出当时，，当时，，结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵M为中点，， ∴， 当点P在上时，则， 由题意得，， ∴， ∵， ∴； 当点P在上时，则， ∴， ∵， ∴； 综上所述， 【小问2详解】 解；如图所示函数图象即为所求； 小问3详解】 解：当时，， 当时，， ∴由函数图象可知当时，． 21. 2024年4月24日是第九个“中国航天日”，八年级某班组织40名学生到航天展览馆参观，已知展览馆分为，，三个场馆，用1000元购买场馆门票的张数与用800元购买场馆门票的张数相同，且每张场馆门票的价格比每张场馆门票的价格贵10元． （1）分别求出场馆和场馆的门票价格． （2）由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票．若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 【答案】（1）场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元 （2）此次购买门票所需总金额的最小值为1210元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程应用，一次函数的应用，正确列出方程和一次函数解析式是解答本题的关键． （1）设场馆的门票价格为元，则场馆的门票价格为）元，根据用1000元购买场馆门票的张数与用800元购买场馆门票的张数相同列方程求解即可； （2）设到场馆参观的人数为，此次购买门票所需总金额为元，由题意得，求出a的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设场馆的门票价格为元，则场馆的门票价格为）元． 由题意得，解得． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ． 答：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元． 【小问2详解】 设到场馆参观的人数为，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为，到场馆参观的人数为）， 由题意得． ∵要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数， ∴ 解得． 又∵为正整数，． ∴当时，取最小值，最小值为． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． 22. 如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． （1）的值为______． （2）将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）①；②存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据坐标与图形、正方形的性质得到点B坐标，然后代入求解即可； （2）①根据轴对称性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，则有，进而求解即可； ②设，分三种情况：若、若、若，利用两点坐标距离公式和勾股定理列方程，然后解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是面积为4的正方形， ∴，则, 将代入中，得； 【小问2详解】 解：①根据翻折性质，得， ∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4， ∵点E、F在函数的图象上， ∴当时，，当，， ∴，， 过F作轴于H，则， ∴； ②存在．设， ∴， ， ， ∵为直角三角形， ∴分三种情况： 若，则， ∴，解得， ∴； 若，则， ∴，即， ∵， ∴该方程无解，即P不存在； 若，则， ∴，解得， ∴， 综上，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数比例系数k的几何意义、坐标与图形、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 如图，为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行了如下探究活动． 活动一：为上一点，将绕点旋转，得到，，，的对应点分别为，，，连接，． 【观察发现】如图1，四边形的形状为______． 【深入探究】如图2，若，，当四边形为矩形时，求的长． 活动二：如图3，点是的垂直平分线与的交点，将绕点顺时针旋转角）得到，，的对应点分别为，，连接，． 【拓展提高】①猜想与的位置关系，并给予证明； ②如图3，当时，的平分线，若点到的距离为2，请直接写出的长． 【答案】[观察发现]平行四边形，[深入探究]，[拓展提高]①，证明见解析；②4 【解析】 【分析】[观察发现]∶由旋转的性质得，，从而，可证四边形是平行四边形； [深入探究]∶连接，设，则，根据列方程求解即可； [拓展提高]∶①由线段垂直平分线的性质得，，证明可证； ②延长，分别与，相交于点，，证明四边形为矩形得，证明得，，从而，再证明可得． 【详解】解：[观察发现]∶ 由旋转的性质得，， ∴， ∴四边形是平性四边形． 故答案为：平行四边形． [深入探究]∶ 由旋转的性质得，， 如图1，连接，则过点O，设，则． ∵四边形为矩形． ∵． ∵， ∴，即， 解得， 即； [拓展提高]∶ ①． ∵，的垂直平分线交于点， ∴， ∴． 由旋转可得，， ∴，， ∵四边形的内角和为， ∴，即， ∴； ②如图2，延长，分别与，相交于点，，设与的交点为． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵． ∴四边形为矩形， ∴． ∵为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， 由①得， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，多边形内角和，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$