精品解析：山东省聊城市高唐县第一实验中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末检测八年级数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题和非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共 120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、考号、座号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束只上交答题卡． 4．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 第Ⅰ卷(选择题，共30分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，垂直平分对角线，分别交于点．若的周长为8，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 6. 如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿对折，点落在上的点处．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 8. 一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，．将沿的方向平移，得到．若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：本题共6 小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：_______． 12. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，一次函数的图象与的图象交于点，根据图象分析，一元一次方程的解为_______． 13. 暑假期间，我县计划采购4000套学生课桌椅．已知某品牌学生课桌椅每套成本为240元，厂家以每套320元的价格出售，经过多轮价格谈判，厂家决定以利润率不低于的价格降价出售，则采购该品牌课桌椅4000套最多节约资金_______元． 14. 如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，点从点开始沿方向向点运动，点从点开始沿方向向点运动，在运动过程中，始终保持．若，则的长度为_______． 15. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为_______． 16. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如一元一次方程是一元一次不等式组的“关联方程”．若一元一次方程是关于的一元一次不等式组的“关联方程”，则字母的取值范围是_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解不等式组并写出它的整数解． 18. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将绕点逆时针旋转后得到，并写出点C 的对应点 的坐标； （2）将先向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，请画出，并写出点的对应点的坐标． 19. 如图，在中，，点分别是的中点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）证明：； （2）若，求的长． 20. 为落实“五育并举”教育，强化体育锻炼，大力发展青少年体育运动，我县涌现出来一批体育特色学校．某学校计划购买篮球和足球共个，已知每个篮球的价格是元，每个足球的价格是元．设购买篮球个，购买两种求所需费用为元． （1）求与的函数表达式，其中； （2）若购买篮球的数量不超过足球数量的2倍．请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 21. 如图，在四边形中，，对角线垂直平分线与边，分别相交于点M，N． （1）求证∶四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 22. 如图，一次函数和的图象相交于点，两图象分别与轴交于点和点． （1）方程组的解是_______，点A的坐标是_______； （2）根据图象判断，当时，的取值范围为_______； （3）在直线的图象上存在另一点，使得的面积为面积的2倍，求出点的坐标． 23. 综合与实践 生活中的数学：古代计时器“漏壶” 问题情境 某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体 实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据 时间 圆柱容器液面高度 根据上述实践活动，解决以下问题： （1）【探索发现】 请你根据表中的数据在图2中描点、连线，用所学过的一次函数的知识确定y与x之间的函数表达式； （2）【结论应用】 如果本次实验记录的开始时间是上午7：00，那么当圆柱容器液面高度达到时是几点？ 24 实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在中，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若三点共线，求证：； （3）【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为_______（直接写答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期末检测八年级数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题和非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共 120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、考号、座号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束只上交答题卡． 4．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 第Ⅰ卷(选择题，共30分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．先化简各数，再根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是无理数，不符合题意； B、，不是无理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、，不是无理数，不符合题意； 故选C． 2. 若函数在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式有意义的范围：二次根式的被开方数是非负数． 利用二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 所以． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及求一个算术平方根：根据二次根式的加法对A、进行判断；根据二次根式的乘法对B，D进行判断，根据算术平方根的定义对C进行判断； 【详解】解：．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．由已知可得，，再根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，不等式一定成立，不符合题意； B、，不等式一定成立，不符合题意； C、，不等式一定成立，不符合题意； D、若，，此时，而，即不等式不一定成立，符合题意， 故选：D． 5. 如图，在中，垂直平分对角线，分别交于点．若的周长为8，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的性质，根据垂直平分对角线，得到，由的周长，进而得到，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：垂直平分对角线， ， 的周长， ， 四边形是平行四边形， ， 的周长为， 故选：A． 6. 如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿对折，点落在上的点处．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于的方程是解题的关键． 在中由勾股定理可求得，设，则．由翻折的性质可知，于是可求得，最后在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解；在中由勾股定理得：． 设，则． 由翻折的性质可知：．， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即． 故选：D． 7. 若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数、为常数，，当，时，图象经过一、二、三象限，当，时，图象经过一、三、四象限，当，时，图象经过一、二、四象限，当，时，图象经过二、三、四象限． 根据一次函数的图象不经过第二象限可得一次函数的图象经过第一三象限或一次函数的图象经过第一三四象限，得到不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象过第一三象限或第一三四象限， ∴， 解得：， 故选：D． 8. 一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数中的可得出y随x的增大而减小，根据可得出． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 9. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组有解根据已知给的解集即可得出答案. 【详解】解：， 由①得， 由②得， 又不等式组的解集是， ∴， 故选B. 10. 如图，在中，．将沿的方向平移，得到．若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质得出，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：本题共6 小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 数形结合是数学解题中常用思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，一次函数的图象与的图象交于点，根据图象分析，一元一次方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程；根据两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象交于点， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 13. 暑假期间，我县计划采购4000套学生课桌椅．已知某品牌学生课桌椅每套成本为240元，厂家以每套320元的价格出售，经过多轮价格谈判，厂家决定以利润率不低于的价格降价出售，则采购该品牌课桌椅4000套最多节约资金_______元． 【答案】128000 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设每套课桌椅降价x元，根据题意得列出关与x的一元一次不等式求出x的取值范围，当x取最大值时，节约资金最多，然后计算即可． 【详解】解：设每套课桌椅降价x元， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，节约资金最多为：， 故答案：128000 14. 如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，点从点开始沿方向向点运动，点从点开始沿方向向点运动，在运动过程中，始终保持．若，则的长度为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由，推出，判定，得到，于是得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，求得点的坐标是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得出，由等腰直角三角形求出点的坐标，根据折叠的性质得出的坐标，代入直线求出即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ， ∵直线，当时，， ， ， ， ，， 把点代入直线得：， 解得：． 故答案为：1． 16. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如一元一次方程是一元一次不等式组的“关联方程”．若一元一次方程是关于的一元一次不等式组的“关联方程”，则字母的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考再解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力． 解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 所以不等式组的解集为． 方程的解为， 若一元一次方程是关于的一元一次不等式组的“关联方程”， 则， 所以的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】（1）；（2），整数解： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解一元一次不等式组： （1）先计算乘法，再合并，即可求解； （2）分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：（1） ． （2）解不等式①，得：， 解不等式②，得：． 所以不等式组的解集为， ∴整数解为． 18. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将绕点逆时针旋转后得到的，并写出点C 的对应点 的坐标； （2）将先向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，请画出，并写出点的对应点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图−平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）设为点，连接，把绕点逆时针旋转后得到，依次连接，得到，则即为所求的三角形； （2）由（1）可知，三点的坐标为，把先向左平移8个单位长度，同向下平移2个单位长度得到，即，依次连接，则就是所求的三角形． 【小问1详解】 解：设为点，连接，把绕点逆时针旋转后得到，依次连接，得到，则即为所求的三角形，如图： ∴点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，三点的坐标为，把先向左平移8个单位长度，同向下平移2个单位长度得到，即，依次连接，则就是所求的三角形，如图： ∴点的坐标为． 19. 如图，在中，，点分别是的中点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质和判定等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． （1）根据点分别是的中点，得出是的中位线，从而证明四边形是平行四边形，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得出．．根据三角形的中位线定理得出．在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：点分别是的中点， 是的中位线， ． 又， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 解：点是的中点，， ． 又， ． ， ． 在中，由勾股定理，得． 20. 为落实“五育并举”教育，强化体育锻炼，大力发展青少年体育运动，我县涌现出来一批体育特色学校．某学校计划购买篮球和足球共个，已知每个篮球的价格是元，每个足球的价格是元．设购买篮球个，购买两种求所需费用为元． （1）求与的函数表达式，其中； （2）若购买篮球的数量不超过足球数量的2倍．请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1） （2）购买篮球个，足球个，所需费用为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）由题意知，购买篮球个，则购买足球个，依题意得，，然后作答即可； （2）依题意得，，可求．由，，可知当时，，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，购买篮球个，则购买足球个， 依题意得，， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，． ∵，， ∴当时，， ∴费用最省的方案是购买篮球个，足球个，所需费用为元． 21. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点M，N． （1）求证∶四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）52 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，得出，利用对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，即可得证； （2）利用菱形的性质求出，，利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明∶∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形的周长为． 22. 如图，一次函数和的图象相交于点，两图象分别与轴交于点和点． （1）方程组的解是_______，点A的坐标是_______； （2）根据图象判断，当时，的取值范围为_______； （3）在直线的图象上存在另一点，使得的面积为面积的2倍，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组和一元一次不等式，题目较为基础，注意数形结合思想的应用． （1）由加减消元法求出方程组的解；由此即可得两直线的交点A的坐标； （2）通过函数图象即可得出的取值范围； （3）先求出点和点的坐标，即可得到的面积，令，根据是的面积的2倍，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解： ， 得：，解得：， 将代入①得， 故方程组的解是； 方程组可变形为， 故一次函数和的图象的交点即为方程组的解， 则点A的坐标是， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：根据图象可得：当时， 取何值范围是：； 故答案为： ； 【小问3详解】 解：令，则，， ， ， ， 设，则， ， 或3， 或． 23. 综合与实践 生活中的数学：古代计时器“漏壶” 问题情境 某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体 实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据 时间 圆柱容器液面高度 根据上述的实践活动，解决以下问题： （1）【探索发现】 请你根据表中的数据在图2中描点、连线，用所学过的一次函数的知识确定y与x之间的函数表达式； （2）【结论应用】 如果本次实验记录的开始时间是上午7：00，那么当圆柱容器液面高度达到时是几点？ 【答案】（1），图见解析 （2） 【解析】 分析】本题主要考查了画一次函数，求一次函数解析式以及自变量． （1）描出各点，并连线，即可画出函数图像，在用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）先求出当时的自变量，然后再加上7即可求出时间． 【小问1详解】 解：描出各点，并连线，如图所示． 由图象可知该函数是一次函数，设该函数的表达式为． 点在该函数图象上， 解得 与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 当时，， 解得， ． 答：当圆柱容器液面高度达到时是． 24. 实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在中，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若三点共线，求证：； （3）【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为_______（直接写答案）． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，即可得出，证明，即可得． （2）根据将线段绕点逆时针旋转得到线段，得出，，即可得．同（1）得，得出，即可证明； （3）根据，得出，根据的周长，即得当点在线段上时，的周长，根据，为等腰直角三角形，得出，，即最小时，的周长最小，此时，根据等腰三角形的性质即可求解； 【小问1详解】 解：． 证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ∴，即， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴． 同（1）得， ， ， ； 【小问3详解】 解：当点在线段上，的周长最小值时，的长为2， 理由如下： ∵， ∴， ∴的周长， ∴当点在线段上时，的周长， ∵，等腰直角三角形， ∴，， ∴的值最小时，的周长最小，此时， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$