精品解析：河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试卷

辛集市2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测 高二数学试卷 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分. 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是正项等比数列，且，又，，成等差数列，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和，已知，，则取最小值时，的取值为（ ） A. 6 B. 7 C. 7或8 D. 8或9 3. 在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知随机变量服从，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种 6. 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（ ） A B. C. D. 7. 若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于随机变量，下列说法正确有（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 数列满足：，，，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 数列是递减数列 D. 的前项和 11. 函数（a，），下列说法正确的是（ ） A. 当，不等式恒成立，则b取值范围是 B. 当，函数有两个零点，则b的取值范围是 C. 当，函数有三个不同的零点，则b的取值范围是 D. 当，函数有三个零点且，则的值为1． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 13. 的展开式中常数项为______．（用数字作答） 14. 已知，若恒成立，则实数的取值范围___． 四、解答题：本题共5小题，77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 汽车尾气中含有一氧化碳（），碳氢化合物（）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中浓度的数据，如下表所示： 使用年限x 2 4 6 8 10 浓度 0.2 0.2 0.4 0.6 0.7 若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中浓度与使用年限x线性相关． （1）试确定y关于x的线性回归方程； （2）预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的多少倍？ 参考数据： 参考公式：线性回归方程中，，． 16. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 17. 某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为，参观科技展的学生中女生占． （1）根据已知条件，填写下列列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关． 参观科技展 未参观科技展 合计 男生 女生 合计 （2）用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示女生人数，求的分布列和数学期望． 参考公式和数据：，其中． 0．1 0．05 0．025 0．01 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 10．828 18. 某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立. （1）求甲得分不低于分的概率； （2）求乙得分的分布列及期望： （3）甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由. 19. 已知函数，. （1）若有两个零点，求实数的取值范围； （2）若使得在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辛集市2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测 高二数学试卷 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分. 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是正项等比数列，且，又，，成等差数列，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先由题意，设数列的公比为，由题中条件，列出等式求出首项和公比，即可得出结果. 【详解】由题意，设数列的公比为， 因为，所以，解得（负值舍去）； 又，，成等差数列， 所以，即， 则，解得， . 故选：D. 2. 记为等差数列的前项和，已知，，则取最小值时，的取值为（ ） A. 6 B. 7 C. 7或8 D. 8或9 【答案】C 【解析】 【分析】要求取最小值时，先求通项，由可得，求得，进而求得，根据的正负情况即可得解. 【详解】根据等差数列的性质可得， 所以，所以， 所以，， 当时，， 当时，， 所以当的取值为7或8时，取最小值. 故选：C 3. 在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过赋值代入易得是周期为3的数列，利用周期性即得. 【详解】，时，， ，，，数列是周期为3的数列，. 故选：A． 4. 已知随机变量服从，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】借助正态分布的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：C. 5. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】分教师甲与2名学生去北京与教师甲与另一名教师及2名学生去北京两种情况分类讨论可求分配方案的方法数. 【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有（种）； 当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有（种）， 综上，分配方案共有（种）. 故选：C. 6. 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出、同时发生的概率以及发生的概率，再由条件概率公式计算可得． 【详解】依题意可得， ， 所以. 故选：C 7. 若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得在处的切线为，设直线与曲线相切的切点为，求得，又切点在曲线和切线上，代入即可求解. 【详解】对曲线，在切点处切线的斜率， 所以切线方程为：， 对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率， 依题意，即， 又点切点在曲线和切线上，即， 所以， 故选：B. 8. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由得到关于的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集． 【详解】由函数的图象可得： 当时，函数单调递增，则， 当时，函数单调递减，则． 当时，函数单调递增，则， 由①或② 解①得，，解②得，， 综上，不等式的解集为. 故选：A． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于随机变量，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据期望和方差变换公式和二项分布、正态分布相关概念求解即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：ABD 10. 数列满足：，，，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 数列是递减数列 D. 前项和 【答案】AB 【解析】 【分析】推导出，，从而数列为首项为，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果． 【详解】解：数列满足：，，， ，， ， 数列为首项为，公比为3的等比数列，故正确； ，，故正确； 数列是递增数列，故错误； 数列的前项和为：， 的前项和，故错误． 故选：． 11. 函数（a，），下列说法正确的是（ ） A. 当，不等式恒成立，则b的取值范围是 B. 当，函数有两个零点，则b的取值范围是 C. 当，函数有三个不同的零点，则b的取值范围是 D. 当，函数有三个零点且，则值为1． 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数求出其单调区间及最值，作出函数大致图象，进而可判断AB；当，，令，结合A选项，可得出与的对应关系，构造函数，作出其大致图象，结合图象进而可判断CD. 详解】对于AB，当，， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 不等式恒成立，即恒成立， 所以，所以， 所以b的取值范围是，故A错误； 当时，，当时，且， 如图，作出函数的大致图象， 由图可知，所以b的取值范围是，故B正确； 对于C，当，， 令， 由上可知函数在上单调递增，在上单调递减， 如图，作出函数的大致图象， 由图可知，当或时，与一一对应， 当时，个对应个， 令，则， 令，则， 当或时，，当或时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 如图，作出函数的大致图象， 由图可知，要使函数有三个不同的零点， 则函数的图象有两个交点， 其中一个在上，另一个在上， 所以，所以，故C正确； 对于D，由C选项知，函数由两个零点，， 而函数有三个零点且， 所以， 则， 而，所以，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为： 13. 的展开式中常数项为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求出的第项通式，根据和可以组成常数，2和可以组成常数，据此即可求解. 【详解】的第项通式为， 和可以组成常数，当， 即时，常数项为， 2和可以组成常数，当， 即时，常数项为， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：. 14. 已知，若恒成立，则实数的取值范围___． 【答案】 【解析】 【分析】先分析的奇偶性和单调性，则等价于，所以，可转化为，即，求即得解 【详解】因为， 所以是上的奇函数， ， ， 所以是上的增函数， 等价于， 所以，所以， 令，则， 因为且定义域为， 所以是上的偶函数， 所以只需求在上的最大值即可. 当时，，， 则当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 可得：，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 汽车尾气中含有一氧化碳（），碳氢化合物（）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中浓度的数据，如下表所示： 使用年限x 2 4 6 8 10 浓度 0.2 0.2 0.4 0.6 0.7 若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中浓度与使用年限x线性相关． （1）试确定y关于x的线性回归方程； （2）预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的多少倍？ 参考数据： 参考公式：线性回归方程中，，． 【答案】（1） （2）4.2倍 【解析】 【分析】（1）先计算求得，，从而代入公式求得，，从而求得回归直线方程.（2）代入数据即可求解. 【小问1详解】 由表中的数据可得， ， ， ， ， 所以线性回归方程为； 【小问2详解】 令可得， 当时，， ， 所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的4.2倍． 16. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系求数列的通项公式； （2）利用“错位相减法”求数列的前项的和. 【小问1详解】 当时，. 当时，，用代替，可得：. 两式相减得：， 又， 所以 是以3为首项3为公比的等比数列，所以 . 【小问2详解】 ， 所以： 两式相减得：， 所以： . 17. 某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为，参观科技展的学生中女生占． （1）根据已知条件，填写下列列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关． 参观科技展 未参观科技展 合计 男生 女生 合计 （2）用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示女生人数，求的分布列和数学期望． 参考公式和数据：，其中． 0．1 0．05 0．025 0．01 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 10．828 【答案】（1）列联表见解析，与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据概率可完善二联表，即可根据卡方公式计算，与临界值比较即可求解， （2）根据分层抽样可得抽男生8人，女生4人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式即可求解. 【小问1详解】 因为男生参观科技展的概率为，所以参观科技展的男生人数为． 因为参观科技展的学生中女生占，所以参观科技展的人数为． 则参观科技展的女生人数为． 结合男、女生各有40人，填写列联表如下： 参观科技展 未参观科技展 合计 男生 32 8 40 女生 16 24 40 合计 48 32 80 零假设为：学生参观科技展情况与性别无关． 根据列联表中的数据，计算得到 ． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生参观科技展情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】 用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人， 所以的可能取值为0，1，2，3，4， 则，， ，，． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以． 18. 某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立. （1）求甲得分不低于分的概率； （2）求乙得分的分布列及期望： （3）甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望； （3）甲获胜的可能性更大，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）计算出及概率，求和即可得； （2）写出的可能取值后计算对应的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望； （3）分别计算出甲获胜的概率与乙获胜的概率，比较大小即可得解. 【小问1详解】 设甲选择方式一参加比赛的得分为， ， ， 设甲得分不低于分为事件， 则； 【小问2详解】 设乙选择方式二参加比赛得分为，的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以； 【小问3详解】 甲胜出的可能性更大，理由如下： 甲获胜的情况有： ①甲分、乙分，②甲分、乙分，③甲分、乙分，④甲分、乙分， 所以甲获胜的概率为： ， 乙获胜的情况有： ①甲分、乙分，②甲分、乙分，③乙分，④乙分， 所以乙获胜的概率为， 因为， 所以甲获胜的可能性更大. 19. 已知函数，. （1）若有两个零点，求实数的取值范围； （2）若使得在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求 看作是有两个不同的零点，利用导数及零点存在定理可求取值范围； （2）理解题意，即是求 最大的那个函数对于任意的 不等式恒成立. 【小问1详解】 设 ， ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ，单调递增， 当 时， 取极大值，也是最大值， ， 因为有两个不同的解即有两个不同的零点，故即. 当时，若，则有恒成立，此时至多一个零点，不合题意； 故即， 此时，而，故在有一个零点； 下证：当时，即证：， 设，则， 故在上为增函数，故，即成立. 当时，有，故 此时在有一个零点； 综上，当时，曲线 与直线 有两个交点. 【小问2详解】 由题意， ，由于 ， ， ， ∴ ，当m=0时等号成立， 即当 时，……① 恒成立， 显然当时 ，①不能恒成立，当时 ，则①也不能恒成立； 设 ，令 ， ， ∵ ，令 ， ，显然 是减函数， ， 当 时， ，当时等号成立， 即 ， 是减函数， ，故有 ， ① 恒成立； 当 时， ， 令 ， ， ∴ 是减函数， ， 即在 时必然存在 使得 ， 当 时， ，即 ， 是增函数， 由于 ，故当时， ，即①不成立， 故b的取值范围是 ， 综上， ， . 【点睛】本题的难点在于不等式的理解和转化，要通过转化把原不等式抽象的含义转化为具有明确意义的，并且在计算上不是很困难的函数形式，否则计算有可能进行不下去. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$