2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项七：二次根式压轴训练题

2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项七：二次根式压轴训练题（原版） 一、选择压轴 1、若|a﹣2|+b2+4b+40，则的值是（　　） A．2 B．4 C．1 D．8 2、（2024•南安市期中）x＝591×2021﹣591×2020，y＝20202﹣2021×2019，z，则x、y、z的大小关系是（　　） A．y＜x＜z B．x＜z＜y C．y＜z＜x D．z＜y＜x 3、（2024秋•沙坪坝区校级月考）若二次根式有意义，且x2+（a﹣2）x+25是一个完全平方式，则满足条件的a值为（　　） A．±12 B．±8 C．12 D．﹣8 4．（2024秋•榕城区期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　） A．14 B． C．16 D． 5、当x＝﹣3时，m的值为，则m等于（　　） A． B． C． D． 6、（2024•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 7、（2024秋•双牌县期末）先阅读下面例题的解答过程，然后作答． 例题：化简． 解：先观察， 由于8＝5+3，即8＝（）2+（）2， 且15＝5×3，即2， 则有． 试用上述例题的方法化简：（　　） A． B．2 C．1 D．2 8、（2024春•辛集市期末）已知T1，T2，T3，…Tn，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+…+Tn，则S2021值是（　　） A．2021 B．2022 C．2021 D．2022 二、填空压轴 1、（2024•莱西市期中）若成立，则x的取值范围是 　 　． 2、（2024•海淀区校级期末）已知m＝2，n＝2，则的值为 　 　． 3、（2024•黄梅县期中）小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　 　． 4、①，则2xy＝_________　 ； ②等式成立的条件是_________　 　 　． 5、（2024秋•海淀区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为_________ 　 　． 6、（2024秋•平南县期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如： 1 则_________　 ． 7、（2024秋•漳州期中）已知2，则　_________ ． 8、（2024秋•浦东新区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 _________． 三、解答压轴 1、（2024•金牛区校级月考）已知：a2，b2，求： （1）ab的值； （2）a2+b2﹣3ab的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 2、（2024秋•文圣区校级月考）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：． （1）将分母有理化可得 　 　； （2）求关于x的方程的解． 3、求代数式a，a＝1007，如图是小亮和小芳的解答过程： （1）_________的解法是正确的； （2）化简代数式a，（其中a＜0）； （3）若13，直接写出a的取值范围． 4、（2024•东莞市校级期中）已知x1，y1．求下列各式的值． （1）x2﹣xy+y2； （2）． 5、（2024春•龙岩校级月考） （1）已知a、b为实数，且b+4，求a、b的值． （2）已知实数a满足|2021﹣a|a，求a﹣20212的值． 6、解答下列各题： （1）已知2b+1的平方根为3，3a+2b﹣1的立方根为2，求3a+2b的平方根． （2）如果最简二次根式与同类二次根式，且0，求x，y的值． 7、观察下列运算： ①由（1）（1）＝1，得； ②由（）（）＝1，得； ③由，得； … （1）由上述规律，直接化简：_________　； （2）通过观察你得出什么规律？用含n（n≥0且为整数）的式子表示出来_________； （3）利用（2）中你发现的规律计算． 8、在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；1． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：_________；_________． （2）填空：的倒数为_________ ． （3）化简：． ！！！难（培优阅读材料题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2（1）2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：________+________（_________+________）2； （3）若a+4（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项七：二次根式压轴训练题（解析） 1、 选择压轴 1、【分析】通过因式分解把|a﹣2|+b2+4b+40化为|a﹣2|+（b+2）20，再根据非负数的性质求得a、b、c，进而代值计算原式便可． 【解答】解：∵|a﹣2|+b2+4b+40， ∴|a﹣2|+（b+2）20， ∴a﹣2＝0，b+2＝0，c0， ∴a＝2，b＝﹣2，c， ∴22． 故选：A 2、【分析】提取公因数求出x，将2021×2019写成（2020+1）×（2020﹣1），再利用平方差公式进行计算，根据完全平方公式求出z，然后比较大小即可． 【解答】解：x＝591×2021﹣591×2020， ＝591×（2021﹣2020）， ＝591， y＝20202﹣2021×2019， ＝20202﹣（2020+1）×（2020﹣1）， ＝20202﹣20202+1， ＝1， z ， ＝600， ∵1＜591＜600， ∴y＜x＜z． 故选：A． 3、【分析】根据二次根式有意义，可得a的取值范围，根据完全平方公式即可求解． 【解析 】∵二次根式有意义， ∴16﹣2a≥0，即a≤8， 又∵x2+（a﹣2）x+25是一个完全平方式，即x2+（a﹣2）x+52或x2+（a﹣2）x+（﹣5）2， ∴a﹣2＝2×5＝10或a﹣2＝2×（﹣5）＝﹣10， ∴a＝12或a＝﹣8，且a≤8， 故选：D． 4、【分析】将n代入计算n（n+1）的值，判断结果2小于15，将n＝2再代入计算，再判断计算结果是否大于15，即可得到答案． 【解析 】∵n时，n（n+1）（1）＝2，且215， ∴将n＝2再次输入， n（n+1） ＝（2）（21） ＝（2）（3） ＝6+52 ＝8+5， ∵8+515， ∴输出结果是8+5， 故选：B． 5、【分析】把x＝﹣3代入解答即可． 【详解】解：当x＝﹣3时， 原式＝m ＝m， ∵， ∴m， 故选：B． 6、【分析】先化简各式，然后再进行比较即可． 【详解】解：a＝2021×2022﹣20212 ＝2021×（2022﹣2021） ＝2021×1 ＝2021； b＝1013×1008﹣1012×1007 ＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007 ＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007 ＝1012+1007+1 ＝2020； c ； ∴20202021， ∴b＜c＜a， 故选：D． 7、【分析】先把被开方数拆项，化为完全平方的形式，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：2； 故选：D． 8、【分析】将T1、T2、T3…T2021的结果写成下列的形式，T1＝1+（1），T2＝1+（），T3＝1+（），……T2021＝1+（），进而根据规律求解即可． 【详解】解：由T1、T2、T3…的规律可得， T11+（1）， T21+（）， T31+（）， …… T20211+（）， 所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021 ＝1+（1）+1+（）+1+（）+…+1+（） ＝（1+1+1+…+1）+（1） ＝2021+（1） ＝2021 ＝2021， 故选：A． 2、 填空压轴 1、【分析】根据分式的性质解决此题． 【解答】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴x﹣1＝0或x﹣2＝1． ∴x＝1或x＝3． 检验：当x＝1，x﹣2＝﹣1；当x＝3，x﹣2＝1． ∴x＝1或x＝3． 故答案为：x＝1或x＝3． 2、【分析】先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出m+n和mn的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可． 【解答】解：∵m＝2，n＝2， ∴m+n＝（2）+（2）＝4，mn＝（2）1， ∴ ， 故答案为：． 3、小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　73　． 【分析】找出一系列等式的规律为n（n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可确定出a+b的值． 【解答】解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65， 则a+b＝8+65＝73． 故答案为：73． 4、【分析】①根据二次根式有意义的条件求得，进而求得y＝﹣3，代入代数式即可求解； ②根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解． 【解析 】①∵， ∴2x﹣5≥0，5﹣2x≥0， ∴2x﹣5＝0， 解得：， ∴y＝﹣3， ∴； ②∵， ∴， 解得：， ∴2≤x＜3． 故答案为：①﹣15；②2≤x＜3． 5、【分析】先将所求根式化简，再整体代入求值即可． 【解析 】当a+b＝3，ab＝2时， ． 故答案为：． 6、【分析】根据题中的方法把每一项进行拆项，再提出公因数求解． 【解析 】∵（1），（），……， ∴ （1）（）（） （1） （1）， 故答案为：（1）． 7、【分析】利用平方差公式得到（）•（）＝12，然后利用2可计算出的值． 【详解】解：∵（）•（）＝16﹣x2﹣（4﹣x2）＝12， 而2， ∴2（）＝12， ∴3． 故答案为：3． 8、 【分析】设小长方形的长和宽分别为acm，bcm，大长方形的长和宽分别为mcm，ncm，由题意可得：m+b＝4，n+a＝4，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为acm，bcm，大长方形的长和宽分别为mcm，ncm， 由题意可得：m+b＝4，n+a＝4， ∴两块阴影部分的周长和＝2（a+b）+2（m+n）＝16cm， 故答案为：16cm． 3、 解答压轴 1、【分析】（1）代入求值即可； （2）代入求值，可将（1）的结果代入； （3）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算． 【解答】解：（1）∵a2，b2， ∴ab ＝（2）（2） ＝7﹣4 ＝3； （2）∵a2，b2，ab＝3， ∴a2+b2﹣3ab ＝a2+b2﹣2ab﹣ab ＝（a﹣b）2﹣ab ＝[（2）﹣（2）]2﹣3 ＝（22）2﹣3 ＝42﹣3 ＝16﹣3 ＝13； （3）∵m为a整数部分，n为b小数部分，a2，b2， ∴m＝4，n＝b2 ∴ ， ∴的值． 2、【分析】（1）分子分母都乘以（1），然后利用平方差公式计算； （2）先把方程左边的各数分母有理化，再合并，从而把原方程整理为3x，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：（1）1； 故答案为：1； （2）∵••••••， ∴3x， 解得x． 3、【分析】（1）由a＝1007知1﹣a＜0，据此可得|1﹣a|＝a﹣1，从而作出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得； （3）分三种情况，化简等号左边，再求出相应a的值，合并即可． 【解析 】（1）∵a＝1007， ∴1﹣a＜0， 则|1﹣a|＝a﹣1， 所以小芳的解法是正确的， 故答案为：小芳； （2）∵a＜0， a ＝a ＝a﹣a+3 ＝3； （3）|a﹣5|+|a﹣8|， 当a≤﹣8时，，|a﹣5|+|a+8|＝5﹣a﹣a﹣8＝﹣2a﹣3＝13， 解得：a＝﹣8； 当﹣8＜a＜5时，|a﹣5|+|a+8|＝5﹣a+a+8＝13； 当a≥5时，|a﹣5|+|a+8|＝a﹣5+a+8＝2a+3＝13， 解得：a＝5， 综上，a的取值范围是：﹣8≤a≤5． 4、【分析】先利用x、y的值分别计算出x+y，x﹣y，xy的值，再利用乘法公式变形得到（1）x2﹣xy+y2＝＝（x+y）2﹣3xy；（2），然后利用整体代入的方法计算． 【解析 】∵x1，y1， ∴x+y＝2，x﹣y＝2，xy＝2﹣1＝1， （1）原式＝（x+y）2﹣3xy＝（2）2﹣3×1＝5； （2）原式4． 5、【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而可得出b的值； （2）根据二次根式有意义的条件可得出a≥2022，然后根据绝对值的性质对原等式进行化简即可求出答案． 【解析 】（1）由题意， ∴a＝5， ∴b+4＝0， ∴b＝﹣4； （2）由题意得，a﹣2022≥0， ∴2021﹣a＜0， ∴原式可化为a﹣2021a， ∴2021， ∴a﹣2022＝20212， ∴a﹣20212＝2022． 6、【分析】（1）根据平方根、立方根的定义进行计算即可； （2）根据同类二次根式的定义求出a的值，再根据算术平方根的非负性求出x、y的值即可． 【解析 】（1）∵2b+1的平方根为3， ∴2b+1＝9， 解得b＝4， 又∵3a+2b﹣1的立方根为2， ∴3a+2b﹣1＝8， ∵b＝4， ∴a， ∴3a+2b＝1+8＝9， ∴9的平方根为±3， 即3a+2b的平方根为±3； （2）∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4＝19﹣2a， 解得a＝3， 当a＝3时，0，即0， ∴12﹣3x＝0，y﹣3＝0， 解得x＝4，y＝3， 答：x＝4，y＝3． 7、【解析 】（1）∵（2）（2）＝1， ∴2， 故答案为：2； （2）∵（）（）＝1， ∴， 故答案为：； （3） ＝22224224 ＝22 ＝6﹣2， 故答案为：6﹣2． 8、【分析】（1）根据题目的定义化简即可； （2）根据倒数的定义即可求解； （3）首先把每个代数式分母有理化，然后合并即可求解． 【详解】解：（1）；； （2）∵（）（）＝6﹣5＝1， ∴的倒数为 ； 故答案为：（1）；；（2）； （3）原式（1......）×（1） （1）×（1） （2n+1﹣1） ＝n． !!!!!!难（培优阅读材料题） 【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再得出a、b的值即可； （2）设a（m）2，根据完全平方公式求出（m）2＝m2+3+2m，得出2m＝1，a＝m2+3，再求出答案即可； （3）根据完全平方公式求出（m+n）2＝m2+3n2+2mn，求出2mn＝4，a＝m2+3n2，求出mn＝2，根据m、n为正整数得出m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，再求出a即可． 【详解】解：（1）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn， 又∵a+b（m+n）2， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn， 故答案为：m2+3n2，2mn； （2）设a+b（m+n）2， ∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn， ∴2mn＝b，a＝m2+3n2， 取n＝2，m＝4，则b＝16，a＝16+12＝28， 故答案为：28，16，4，2； （3）（m+n）2＝m2+3n2+2mn， ∵a+4（m+n）2， ∴2mn＝4，a＝m2+3n2， ∴mn＝2， ∵m、n都为正整数， ∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2， 当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝4+3＝7； 当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝1+12＝13， 所以a的值是7或13． 学科网（北京）股份有限公司 $$