《第十六章 二次根式》期末复习测试卷-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

人教版八年级数学《第十六章 二次根式》 期末复习测试卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项． 【解答】解：A．3，与两者不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B． ，能与合并，故该选项符合题意； C． ，2不能与合并，故该选项不符合题意； D． ，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，熟练掌握二次根式性质是关键． 2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可． 【解答】解：A、|ab2|，因此不是最简二次根式，不符合题意； B、，因此不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、2，因此不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确解答的关键． 3．下列各式中，运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根二次根式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、原式＝2，故A不符合题意． B、原式3，故B符合题意． C、3与不是同类二次根式，故不能合并，故C不符合题意． D、原式＝2，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型． 4．若a﹣4，则a的取值范围是（　　） A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 【分析】已知等式利用二次根式性质化简，再利用绝对值的代数意义求出a的范围即可． 【解答】解：∵|a﹣4|＝a﹣4， ∴a﹣4≥0，即a≥4， 故选：D． 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣4 D．4﹣2x 【分析】先判断出x﹣3与x﹣1的正负情况，再根据绝对值的性质与二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣3＜0，x﹣1＞0， ∴|x﹣3|（x﹣3）+x﹣1＝﹣x+3+x﹣1＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据x的取值范围判断出x﹣3与x﹣1的正负情况是解题的关键． 6．当时，代数式x2+2x+2的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】先变形已知条件得到x+1，再两边方程平方后减去1可得x2+2x＝2022，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x1， ∴x+1， ∴（x+1）2＝2023， ∴x2+2x+1＝2023， ∴x2+2x＝2022， ∴x2+2x+2＝2022+2＝2024． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，灵活运用整体代入的方法是解决问题的关键． 7．若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 【分析】根据三角形的三边关系可求出n的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即可求出答案． 【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7， ∴3﹣n＜0，8﹣n＞1， 原式＝|3﹣n|+|8﹣n| ＝﹣（3﹣n）+（8﹣n） ＝﹣3+n+8﹣n ＝5， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 8．已知a+b＝4，ab＝2，则的值为（　　） A． B．2 C． D．1 【分析】将所求式子变形，然后将a+b＝4，ab＝2代入计算即可． 【解答】解：∵a+b＝4，ab＝2， ∴ ＝2， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 9．对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据a，b的范围，然后再代入求出2a﹣b的值即可． 【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}． ∴a，b． ∵a，b是两个连续的正整数． ∴a＝5，b＝6． ∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4． 故选：D． 【点评】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键． 10．把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为cm，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（　　） A． B．16cm C． D． 【分析】根据题意，先求出小长方形的长，再分别求出两块阴影部分的周长即可解决问题． 【解答】解：由题知， 小长方形的长为（）cm． 因为左下方阴影长方形的宽为：4﹣2＝2（cm）， 所以左下方阴影长方形的周长为：2×（）（cm）． 因为右上方阴影长方形的长为2cm，宽为：4﹣（）（cm）， 所以右上方阴影长方形的周长为：2×（）（cm）， 所以图中两块阴影部分的周长之和为：16（cm）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用及整式的加减，能根据所给图形求出小长方形的长是解题的关键． 2、 填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．使有意义的x的取值范围是 　 ． 【分析】根据二次根式被开方数不小于零条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2025≥0， 解得x≥2025． 故答案为：x≥2025． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数不小于零是解题的关键． 12．将（a＞0，b＞0）化为最简二次根式：　 　． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：∵a＞0，b＞0， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质：|a|是解题的关键． 13．已知，则代数式m2﹣2m+2的值是 　 ． 【分析】先把所求的代数式变形为（m﹣1）2+1，然后把m的值代入计算即可． 【解答】解：∵m1， ∴m2﹣2m+2＝（m﹣1）2+1＝（1﹣1）2+1＝3+1＝4． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 14．已知，，则x2y+xy2的值为 　 　． 【分析】将代数式分解，再代入因式的值即可． 【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）， ∵x+y＝2，xy， ∴原式26． 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解的应用，准确分解并代入是解题关键． 15．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|的结果是　 　． 【分析】直接利用数轴结合二次根式、绝对值的性质化简得出答案． 【解答】解：由数轴可得：|a|＞b， 原式＝﹣（a﹣b）﹣（﹣a） ＝﹣a+b+a ＝b． 故答案为：b． 【点评】此题主要考查了实数与数轴以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 16．我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记，其中（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．若数对（a，b）的一个“对称数对”是，则ab的值是 　 ． 【分析】根据新定义列方程组，解出进而得出结论． 【解答】解：∵数对（a，b）的一个“对称数对”是， ∴或， 解得或， ∴ab＝6或． 故答案为：6或． 【点评】此题主要考查了新定义以及分母有理化，理解和应用新定义是解本题的关键． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（每小题3分，共12分）计算： （1）（22）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）首先把除法转化为乘法，再根据乘法运算律，结合二次根式的乘法法则，计算即可； （2）根据有理数的乘方、绝对值和去括号法则化简各式，然后合并即可； （3）首先根据负整数指数幂的法则、二次根式的性质、绝对值的意义化简各式，然后利用平方差公式对分母有理化，再进行合并即可； （4）根据平方差公式变形，然后再利用完全平方公式展开，再去括号计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算、有理数的乘方、绝对值、完全平方公式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则． 18．（6分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数n为﹣1.2，点B所表示的数为m． （1）求的值； （2）对﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]化简，再求值． 【分析】（1）根据蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数n为﹣1.2，得点B所表示的数为m＝﹣1.2+2＝0.8，代入化简后的式子计算即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后把m、n的值代入化简后的代数式计算即可． 【解答】解：（1）∵A表示的数n为﹣1.2， ∴点B所表示的数为m＝﹣1.2+2＝0.8， ∴原式＝1﹣m+3﹣m﹣m+n ＝﹣3m+n+4 ＝﹣3×0.8﹣1.2+4 ＝0.4； （2）原式＝﹣2mn+6m2﹣m2+5mn﹣5m2﹣2mn ＝mn， 当m＝﹣1.2，n＝0.8时， 原式＝﹣1.2×0.8＝﹣0.96． 【点评】此题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 19．（6分）【阅读理解】阅读下列材料： ∴，即， ∴的整数部分为1，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 　 　，的小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【分析】（1）因为，得出的整数部分是3，则的小数部分是，即可作答． （2）与（1）同理，求出，n＝4，再代入，即可作答． 【解答】解：（1）∵， 即， ∴的整数部分为3．小数部分为， 故答案为：3，； （2）∵， 即， ∴的整数部分为2， ∴． ∵，即． ∴的整数部分为4， ∴n＝4， ∴． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值及无理数的估算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 20．（8分）（1）先化简，再求值：（x﹣1），其中x3． （2）已知a1，b1，求a2﹣b2和的值． 【分析】（1）将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后代入求值； （2）原式利用平方差公式进行因式分解，利用通分进行分式加法计算，然后计算a+b，a﹣b，ab的值，再利用整体思想代入计算． 【解答】解：（1）原式 ， 当时， 原式1+2； （2）解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ， ∵，， ∴a+b11＝2， a﹣b+（）﹣（1）＝2， ab＝（1）（1）＝2﹣1＝1， ∴a2﹣b2＝22＝4， 6． 【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则以及完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键． 21．（9分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 ； （2）若a+4（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【分析】（1）根据小明的方法，将（m+n）2按完全平方公式展开，和a+b的系数进行对比，即可求出a和b的值； （2）欲求出a，m，n的值，需要先求出m，n的值，根据题意可知b＝2mn＝4，进而得到mn＝2，结合m，n均为正整数即可求出m，n的值；再根据a＝m2+3n2即可求出a的值． 【解答】解：（1）仿照小明的方法，将（m+n）2展开，得： m2+3n2+2mn， 将m2+3n2+2mn与的系数进行对比，可得： a＝m2+3n2、b＝2mn． 故答案为：m2+3n2，2mn． （2）观察a+4（m+n）2可知， b＝4， 由（1）中的规律可知， 2mn＝4， 则mn＝2， 由于m、n均为正整数，则有： 或 将m＝1、n＝2代入a＝m2+3n2，得： a＝13， 将m＝2、n＝1代入a＝m2+3n2，得： a＝7， 综上可知，a的值为13或7． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运算法则的掌握． 22．（9分）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，直接写出第五个等式：　 　； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； （3）设S＝S1+S2+S3+⋯+Sn（n为正整数），当n＝100时，求S的值． 【分析】（1）由已知仿写即得； （2）用n表示出式子，再利用规律得出结果即可； （3）根据题目中的规律计算即可得到结论． 【解答】解：（1）第五个等式：S511， 故答案为：S511； （2）第n个等式：Sn11（n是正整数）； （3）当n＝100时， S＝S1+S2+S3+⋯+S100 ＝1111 ＝100+1 ＝100+1 ＝100． 【点评】本题考查了数字的变化规律，二次根式的性质与化简，能够通过已知归纳数的一般规律，解题的关键是找出规律． 23．（10分）定义：我们将（）与（）称为一对“对偶式”．因为（）（）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知1，求的值，可以这样解答： 因为（）×（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7， 所以7． （1）已知：8，求的值； （2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：8； （3）计算：． 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵， 且， ∴； （2）∵， ∴， 化简后两边同时平方得：4﹣x＝9， ∴x＝﹣5， 经检验：x＝﹣5是原方程的解； （3）原式 ． 【点评】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 24．（12分）阅读材料： 【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，． 【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3 ∴a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式是 　 　，的有理化因式是 　 　；（均写出一个即可） （2）计算：； （3）若，求3a2﹣6a+5的值． 【分析】（1）根据互为有理化因式的定义，即可求解， （2）将所求式子，进行分母有理化，即可求解， （3）参照学习材料二的步骤即可求解． 【解答】解：（1）∵，， 故答案为：，； （2） ； （3）∵． ∴ ∴（a﹣1）2＝3， ∴a2﹣2a+1＝3， ∴a2﹣2a＝2 ∴3a2﹣6a+5＝3（a2﹣2a）+5＝3×2+5＝11． 【点评】本题考查了平方差公式的运用，分母有理化，解题的关键是：利用平方差公式，进行分母有理化． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版八年级数学《第十六章 二次根式》 期末复习测试卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若a﹣4，则a的取值范围是（　　） A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 5．若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣4 D．4﹣2x 6．当时，代数式x2+2x+2的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 7．若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 8．已知a+b＝4，ab＝2，则的值为（　　） A． B．2 C． D．1 9．对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为cm，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（　　） A． B．16cm C． D． 2、 填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．使有意义的x的取值范围是 　 ． 12．将（a＞0，b＞0）化为最简二次根式：　 　． 13．已知，则代数式m2﹣2m+2的值是 　 ． 14．已知，，则x2y+xy2的值为 　 　． 15．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|的结果是　 　． 16．我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记，其中（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．若数对（a，b）的一个“对称数对”是，则ab的值是 　 ． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（每小题3分，共12分）计算： （1）（22）； （2）； （3）；（4）． 18．（6分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数n为﹣1.2，点B所表示的数为m． （1）求的值； （2）对﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]化简，再求值． 19．（6分）【阅读理解】阅读下列材料： ∴，即， ∴的整数部分为1，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 　 　，的小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 20．（8分）（1）先化简，再求值：（x﹣1），其中x3． （2）已知a1，b1，求a2﹣b2和的值． 21．（9分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 ； （2）若a+4（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 22．（9分）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，直接写出第五个等式：　 　； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； （3）设S＝S1+S2+S3+⋯+Sn（n为正整数），当n＝100时，求S的值． 23．（10分）定义：我们将（）与（）称为一对“对偶式”．因为（）（）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知1，求的值，可以这样解答： 因为（）×（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7， 所以7． （1）已知：8，求的值； （2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：8； （3）计算：． 24．（12分）阅读材料： 【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，． 【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3 ∴a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式是 　 　，的有理化因式是 　 　；（均写出一个即可） （2）计算：； （3）若，求3a2﹣6a+5的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$