专题04特殊四边形的性质在动点问题中的四类巧用-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题04特殊四边形的性质在动点问题中的四类巧用 题型01利用平行四边形的性质解动点问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在中，E，F两点在对角线上运动(E，F不重合)，且保持，连接，．请你猜想与有怎样关系，并说明理由． 【例1-2】（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，直线过点、，直线和直线交于点，直线l2与y轴交于点．    (1)求直线和直线对应的函数解析式； (2)直线上有一动点P，使得的面积为12，求点P的坐标； (3)y轴上有一动点M，直线上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标． 【例1-3】（23-24九年级上·广东珠海·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，点P从点D出发沿向C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿向点A匀速运动，速度每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作交于点M，连接，，设运动的时间为t秒．    (1)当时，求t的值． (2)如图2，连接，是否存在t值，使得的面积是平行四边形面积的？若存在，求出对应的t；若不存在，请说明理由． (3)如图3，过点M作交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式1-1】（21-22八年级下·广东深圳·期末）如图1，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，已知点． (1)求直线AB的解析式； (2)P为线段AB上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点D是BO的中点，M为直线BC上的一个动点，过M为作轴交直线AB于点N，若以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标． 【变式1-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 【变式1-3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．    (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在内部时，求的取值范围． (4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 题型02巧用菱形的性质解动点问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知，在中，，点为射线上一动点（点不与，重合），连接，以为一边在直线上方作菱形，且，连接．    图1                   图2 (1)尝试探究：如图，当点在线段上，时，与的数量关系是________，的度数是________； (2)类比延伸：如图，当点在线段的延长线上，时， ①（）中与的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请说明理由； ②的度数是________（请直接用含的式子表示）． 【例2-2】（22-23九年级上·重庆万州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是射线上的一个动点，点是轴一动点，连接、，当的面积为时，求的最小值； (3)如图3，将沿着射线方向平移得到，在平面内是否存在点，在轴上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【例2-3】（22-23九年级上·陕西西安·期末）在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．    (1)如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点P在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 【变式演练】 【变式2-1】（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在边长为4的菱形中，，E、F分别是上的动点，且，连接．    (1)试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)求四边形的面积． 【变式2-2】（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知为等边三角形，点D为直线的一个动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F逆时针排列），使，连接．    (1)如图1，当点D在边上时，求证：①；②； (2)如图2，点D在的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏常州·期中）菱形中，，点E、F分别是边、边上的动点，且． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，已知M为的中点，当最短时，请用无刻度的直尺在图中作出点E与点F（不写作法，保留作图痕迹）． 题型03巧用矩形的性质解动点问题 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，，点D是边上的动点，连接．现将沿对折，使点O刚好落在边上的点E处，求的值． 【例3-2】（22-23九年级上·重庆梁平·期中）材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段所成的为常量，那么点C的运动轨迹为射线，如图A．如果动点G与定直线的距离为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线平行的直线l，如图B． 下图中，矩形中，，点P在边上且，点M为直线上的一动点，以为直角边作等腰，，点N在直线的右下方，连接，当点M在边上运动时， (1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）． (2)求周长的最小值． 【例3-3】（22-23九年级上·广东潮州·开学考试）如图1，已知在中，，，，的垂直平分线分别交、于点E，F，垂足为点O，连接、． (1)①求证：四边形为菱形； ②求的长； (2)如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿方向运动，到达点A停止，点Q沿方向运动，到达点C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，设运动时间为t秒，当以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段上运动，同时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动．    (1)当四边形是矩形时，求的值． (2)当以、、、四个点为顶点的四边形是菱形时，求的值． 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是线段上一个动点，将线段绕点顺时针旋转到线段，连接、，设，和矩形的重叠部分面积为． (1)求线段的长度； (2)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【变式3-3】（22-23九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点E是矩形的边的中点，点G是边上一动点，连接，若点H为的中点，连接，连接并延长交边于点F，过点A作，垂足为点M，交于点P． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形是什么特殊四边形，并证明． 题型04巧用正方形的性质解动点问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在正方形中，，点为上一动点，将沿折叠得到，连接，则长的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【例4-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知是正方形边上的一动点，点与点不重合，将点绕点顺时针旋转，点旋转后的对应点为点，连接交于点，连接，． (1)如图①，当点与点重合时，线段和的数量关系是 　 　． (2)如图②，当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【例4-3】（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在正方形中，，G为射线上的动点，连接，交于H．    (1)证明：； (2)若交于F，当时，求之长； (3)是否存在点G，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出之长：若不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（   ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式4-2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图①，正方形的边长为5，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：； (2)如图②，延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由． 【变式4-3】（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图①，正方形中，点是对角线的中点，点是线段上（不与，重合）的一个动点，过点作且交边于点．    (1)求证：． (2)如图②，若正方形的边长为6，过作于点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图③，直接写出线段，，之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04特殊四边形的性质在动点问题中的四类巧用 题型01利用平行四边形的性质解动点问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在中，E，F两点在对角线上运动(E，F不重合)，且保持，连接，．请你猜想与有怎样关系，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是由四边形是平行四边形，即可得，，然后利用平行线的性质，求得，又由，即可证得，继而可得，，再利用内错角相等，两直线平行证明即可． 【详解】解：猜想：，． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴ 【例1-2】（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，直线过点、，直线和直线交于点，直线l2与y轴交于点．    (1)求直线和直线对应的函数解析式； (2)直线上有一动点P，使得的面积为12，求点P的坐标； (3)y轴上有一动点M，直线上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标． 【答案】(1)直线的函数解析式为，直线对应的函数解析式为 (2)P的坐标为或 (3)M的坐标为或或 【分析】（1）先将、代入求出直线的函数解析式，求出a的值，再求出直线l2的函数解析式即可； （2）根据点P的位置可以分为两种情况：当P在直线左侧和右侧时，利用面积求出坐标即可； （3）设，根据平行四边形的性质，可以分为以下三种情况：若为对角线，则的中点重合，若为对角线，则的中点重合，若对角线，则的中点重合，分别求解即可. 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，把、代入得： ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得： ， ∴， 设直线对应的函数解析式为，把，代入得： ， ∴直线对应的函数解析式为； （2）解：当P在直线左侧时，如图：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，令得， ∴P的坐标为； 当P在直线右侧时，如图：    同理可得， ∴， ∴， 在中，令得， ∴P的坐标为； 综上所述，P的坐标为或； （3）解：设， 又、， ①若为对角线，则的中点重合， ∴ ， 解得 ∴； ②若为对角线，则的中点重合， ∴ ， 解得， ∴； ③若对角线，则的中点重合， ∴ ， 解得 ∴； 综上所述，M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、平行四边形的性质等，认真读题，多情况讨论是解题的关键. 【例1-3】（23-24九年级上·广东珠海·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，点P从点D出发沿向C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿向点A匀速运动，速度每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作交于点M，连接，，设运动的时间为t秒．    (1)当时，求t的值． (2)如图2，连接，是否存在t值，使得的面积是平行四边形面积的？若存在，求出对应的t；若不存在，请说明理由． (3)如图3，过点M作交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在值 (3) 【分析】（1）由题意得，，由平行四边形的性质得出，，，，证出四边形是平行四边形，得出，得出方程，解方程即可； （2）作于，延长交延长线于，由直角三角形的性质得出，，求出平行四边形的面积，由直角三角形的性质得出，，得出，得出的面积，由题意得出方程，解方程即可； （3）证出四边形是平行四边形，得出，由（2）得，，，，求出，由线段垂直平分线的性质得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）由题意得：，， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：（秒； （2）不存在，理由如下： 作于，延长交延长线于，如图2所示：    则， ，， 平行四边形的面积， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积， 若的面积是平行四边形面积的， 则， 整理得：， ， 方程无解， 不存在值，使得的面积是平行四边形面积的； （3）存在，理由如下： 延长交延长线于，如图3所示：    ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由（2）得：，， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， 解得：， 存在的值，使得点在线段的垂直平分线上，秒． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形面积公式、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键 【变式演练】 【变式1-1】（21-22八年级下·广东深圳·期末）如图1，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，已知点． (1)求直线AB的解析式； (2)P为线段AB上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点D是BO的中点，M为直线BC上的一个动点，过M为作轴交直线AB于点N，若以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求出直线AB的解析式； （2）先求出三角形ABC的面积，根据三角形面积公式列出方程，求解即可； （3）设，分别表示出M、N的坐标，根据平行四边形的性质得到M N= BD，列出方程求出x，即可求解． 【详解】（1）直线中，令，得， ∴， 设AB的函数表达式为， 将点、B代入函数表达式得：， 解得：，， ∴直线AB的解析式为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ，即， 解得， ∴； （3）设， ∵轴， ∴， ∴ ∴， 当时，B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∵，D为OB的中点， ∴，即，得， ，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，将一次函数图象上点的坐标与平行四边形的性质结合，解题的关键是熟知待定系数法、三角形的面积公式及平行四边形的性质 【变式1-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等： （1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题； （3）点有二种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可； 其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【详解】（1）解：的坐标， 则：，， 在中，根据勾股定理得：， 将沿折叠，使点落在对角线上的点处， ，， ， 设,则, 在中，由勾股定理得：, 即, 解得, ． （2）过点作于点， 根据三角形面积可得，， ∴， 故点的横坐标为， 即：， 正比例函数经过， ， ， ， ， ①当点在段时，即：， 如图：过点作于点， ， ， ， ②当点在段时，如下图，过点作于点， ， ，， ， 综上所述：． （3）由（2）知，点， 当时，则点， 而点,设点， ①当为边时， 点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点， 即且， 解得或， 故点的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点公式得且， 解得， 综上点的坐标为或或 【变式1-3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．    (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在内部时，求的取值范围． (4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)见解析； (3)； (4)1或． 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可； （2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点的临界值时的值，从而得到的取值范围； （4）画出符合题意的图形，利用的长度列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ． 四边形为平行四边形， ． ①当时，， ②当时， （2）证明：连接，如图，    在中，为对角线的中点， 经过点，， 四边形为平行四边形， ， ． 在和中， ， ， （3）解：①当点与点重合时，如图，    由题意得：为等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ②当点落在边上时，如图，    由题意得：为等边三角形， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ． ． 在和中， ， ， ， ， ， ， 当点在内部时，的取值范围为： （4）①当点在边上运动时，经过点时，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，      ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②当点在边上运动时，如果，则，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，    ， ， ． 综上，当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为1或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键 题型02巧用菱形的性质解动点问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知，在中，，点为射线上一动点（点不与，重合），连接，以为一边在直线上方作菱形，且，连接．    图1                   图2 (1)尝试探究：如图，当点在线段上，时，与的数量关系是________，的度数是________； (2)类比延伸：如图，当点在线段的延长线上，时， ①（）中与的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请说明理由； ②的度数是________（请直接用含的式子表示）． 【答案】(1)， (2)①依然成立，详见解析；② 【分析】（1）根据菱形的性质，利用证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）根据菱形的性质，利用证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：菱形中，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①（）中与之间的数量关系仍然成立． 证明：∵α， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴，， ②∵，， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及邻补角的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 【例2-2】（22-23九年级上·重庆万州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是射线上的一个动点，点是轴一动点，连接、，当的面积为时，求的最小值； (3)如图3，将沿着射线方向平移得到，在平面内是否存在点，在轴上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)当、、三点共线时，的长最小，且最小值为 (3)点坐标为或或 【分析】（1）根据，直线与轴交于点，得到点的坐标，可以得到点的坐标，根据点在直线，求出；根据交点，即可求出点的坐标； （2）过点作轴的垂线交直线于点，设，则；根据，解出，得到点的坐标；当、、三点共线时，的长最小，即可； （3）根据平移得到，得点的坐标；根据、、、四点构成的四边形为菱形，根据菱形的性质，分类讨论；；，即可． 【详解】（1）∵，直线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线， ∴， ∴， ∴， ∵直线于直线交于点， ∴，解得：， ∴点． （2）∵点是射线上，过点作轴的垂线交直线于点， ∴设，且， ∴点， ∴， ∴， ∴， ∴点， 又∵点是轴一动点， ∴作点关于轴的对称点，且， ∴， ∴当、、三点共线时，的长最小，且最小值为． （3）∵点在直线， ∴点， ∵平移得到， ∴点对应点，点对应点， ∴点， 设点， 当为菱形的边时，组成菱形时， ∴， ∴， ∵点， ∴，， ∴， ∴， ∴点； 当为菱形的对角线时， ∴， ∴，， 解得：， ∴点； 当为菱形的边时，组成菱形时， ∴， ∴，； 解得：， ∴． 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题考查一次函数与几何的结合，解题的关键是掌握一次函数的性质，菱形的性质 【例2-3】（22-23九年级上·陕西西安·期末）在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．    (1)如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点P在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，延长交于，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【详解】（1）如图1，连接，延长交于，   四边形是菱形，， ，都是等边三角形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， 同理可证是等边三角形， ， ，即 又， ． 故答案为：，； （2）（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图2，连接，   ，为等边三角形， 在和中，，， 又， ， ， ，， 设与交于点， 同理可得， ， 又， ． （3）如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于，   四边形是菱形， ，平分， ，， ， ， ， ， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形，， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得，   ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题 【变式演练】 【变式2-1】（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在边长为4的菱形中，，E、F分别是上的动点，且，连接．    (1)试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是菱形，得，可证、均为等边三角形，进一步求证（），得． （2）连接交于点O，由菱形知，，中，勾股定理得，由得，运用移补思想，． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴、均为等边三角形， ∴， 在和中，，，， ∴（）， ∴． （2）连接交于点O，如图．    ∵四边形是菱形， ∴，且， 在中，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；求解面积时移补的思想是解题的关键 【变式2-2】（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知为等边三角形，点D为直线的一个动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F逆时针排列），使，连接．    (1)如图1，当点D在边上时，求证：①；②； (2)如图2，点D在的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)不成立，存在的数量关系为：，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①由，可得，证明，进而得证；②由，可得； （2）由题意，同理（1）可证，则；由，可得． 【详解】（1）①证明：∵为等边三角形， ∴．        ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴； （2）解：不成立，存在的数量关系为：，理由如下： 同理（1）可证， ∴； 又∵， ∴ 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏常州·期中）菱形中，，点E、F分别是边、边上的动点，且． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，已知M为的中点，当最短时，请用无刻度的直尺在图中作出点E与点F（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等， （1）如图所示，连接AC，先证明是等边三角形，得到，则，再证明得到，推出，即可证明； （2）连接，设交于点O，连接并延长交于E，连接交于G，连接并延长交于F，连接，则点E，F即为所求． 【详解】（1）证明：如图所示，连接AC， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形； （2）解：连接，设交于点O，连接并延长交于E，连接交于G，连接并延长交于F，连接，则点E，F即为所求； 理由：由（1）可知是等边三角形， ∴， ∴要使最小，即最小即可， ∴当时，即为最小， ∵是等边三角形， ∴当点E是的中点时，最小， 同理F为的中点， ∵O、M分别是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，即点E为的中点， 又∵，点M是的中点， 同理可证是等边三角形， ∵等边三角形三边的中线交于一点， ∴连接并延长与交于F，点F即为的中点 题型03巧用矩形的性质解动点问题 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，，点D是边上的动点，连接．现将沿对折，使点O刚好落在边上的点E处，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、坐标与图形性质、折叠的性质、勾股定理，利用折叠的性质得到对应相等的线段，再利用勾股定理解决问题．由题意易得，由折叠可知，在中，利用勾股定理求得，于是，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵四边形为矩形，， ∴， 由折叠可知，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴ 【例3-2】（22-23九年级上·重庆梁平·期中）材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段所成的为常量，那么点C的运动轨迹为射线，如图A．如果动点G与定直线的距离为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线平行的直线l，如图B． 下图中，矩形中，，点P在边上且，点M为直线上的一动点，以为直角边作等腰，，点N在直线的右下方，连接，当点M在边上运动时， (1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）． (2)求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点N作的垂线，垂足为H．易求出．又易证，，即说明点N的运动轨迹是过点N与的平行线．再利用尺规作图作出该平行线即可； （2）作点D关于点N的运动轨迹的对称点，连接，则的长即为的最小值，即此时周长最小．根据勾股定理求出的长，从而即可求出周长的最小值． 【详解】（1）如图，过点N作的垂线，垂足为H． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是过点N与的平行线． 尺规作图如下， （2）如图，作点D关于点N的运动轨迹的对称点，连接，则的长即为的最小值，即此时周长最小． 由（1）可知， ∴． 在中，， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，尺规作图—作平行线，轴对称的性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键 【例3-3】（22-23九年级上·广东潮州·开学考试）如图1，已知在中，，，，的垂直平分线分别交、于点E，F，垂足为点O，连接、． (1)①求证：四边形为菱形； ②求的长； (2)如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿方向运动，到达点A停止，点Q沿方向运动，到达点C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，设运动时间为t秒，当以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)①见解析；②5 (2) 【分析】（1）①先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形作出判定； ②根据勾股定理即可求的长； （2）分情况讨论可知，点在上，点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可； 【详解】（1）解：①四边形是矩形， ， ，． 垂直平分， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． ②设菱形的边长，则， 在中，，由勾股定理，得 ， 解得：， ． （2）解：由作图可以知道，点上时，点上，此时，，，四点不可能构成平行四边形； 同理点上时，点在或上，也不能构成平行四边形． 只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形， 以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时， ， 点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒， ，， ， 解得：． 以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段上运动，同时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动．    (1)当四边形是矩形时，求的值． (2)当以、、、四个点为顶点的四边形是菱形时，求的值． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，再在中，运用含角的直角三角形的性质求出，进而求出点、的运动时间是2秒，点的运动路程，问题随之得解； （2）分类讨论，①当四边形是菱形时，．先求出点、的运动时间是4秒，在求出点的运动路程，即有．②当四边形是菱形时，．同理作答即可． 【详解】（1）如图1，当四边形是矩形时．    在平行四边形中，，， ． 四边形是矩形， ，， ∵在中，，， ． ． 点的运动速度是每秒1个单位长度， 点、的运动时间是2秒， 点的运动路程， ． （2）①如图，当四边形是菱形时，．    点的运动速度是每秒1个单位长度， 点、的运动时间是4秒， 点的运动路程， ． ②如图，当四边形是菱形时，．    ， 是等边三角形， ． 点的运动速度是每秒1个单位长度， 点、的运动时间是4秒， 点的运动路程， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，根据运动特点，注意分类讨论的思想，是解答本题的关键 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是线段上一个动点，将线段绕点顺时针旋转到线段，连接、，设，和矩形的重叠部分面积为． (1)求线段的长度； (2)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，关键是分情况讨论． （1）根据矩形的性质与勾股定理便可求得结果； （2）分两种情况：当时；当时．根据三角形的面积公式写出解析式便可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ； （2）解： 当时，如图所示： ，即； 当时，如图所示： ，即， 故 【变式3-3】（22-23九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点E是矩形的边的中点，点G是边上一动点，连接，若点H为的中点，连接，连接并延长交边于点F，过点A作，垂足为点M，交于点P． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形是什么特殊四边形，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）由四边形是矩形，得，又是矩形对边的中点，即得四边形是矩形， ，可得； （2）设交于M，由，得，结合，即得，所以，可证，得，，故四边形为菱形． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵是矩形对边的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又E是中点， ∴H是的中点， ∵， ∴； （2）四边形是菱形， 证明：由（1）知为中点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形性质、菱形的判定，全等三角形性质及判定等知识，解题的关键是掌握矩形、菱形的性质及判定定理，熟练应用三角形全等的判定定理 题型04巧用正方形的性质解动点问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在正方形中，，点为上一动点，将沿折叠得到，连接，则长的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、以及勾股定理，根据题意得出的值，分析可知最小时即、、三点共线，再根据勾股定理得出的值，即可得到的最小值． 【详解】解：在正方形中，， , 沿折叠得到， , 根据两点之间线段最短，要最小，即点、、三点共线， 有， ， ， 故答案为：C． 【例4-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知是正方形边上的一动点，点与点不重合，将点绕点顺时针旋转，点旋转后的对应点为点，连接交于点，连接，． (1)如图①，当点与点重合时，线段和的数量关系是 　 　． (2)如图②，当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论； （2）过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得出，，得出，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 将点绕点顺针旋转，点旋转后的对应点为点， ，， 又， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）（1）中的结论仍成立． 理由：过点作于点， 四边形是正方形， ，， 将点绕点顺针旋转，点旋转后的对应点为点， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， 【例4-3】（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在正方形中，，G为射线上的动点，连接，交于H．    (1)证明：； (2)若交于F，当时，求之长； (3)是否存在点G，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出之长：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）由“”可证； （2）先求，由直角三角形的性质可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）解：如图1，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时， ， ，即， 点与点重合， ； 当时， ， ， 是的一个锐角， ， 不存在； 当时， ， ， 如图2，在上截取，连接，    ，， ， ， ， ， ， 综上所述：存在，当为等腰三角形时， 或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（   ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】先根据定理证出，从而可得，即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，从而可得，由此即可判断结论③；过点D作，则的长度为的最小值，根据三角形的面积即可判断结论④． 【详解】解：四边形是正方形，， ， 在和中， ， ， ，结论①正确； 平分，， ， ， ， ， ， ， ，结论②不正确； ， ， ， ， 即，结论③正确； 如图，过点D作，则的长度为的最小值，    ∵， 即， 解得，即的最小值为，, 结论④正确； 综上，所有正确结论的序号是①③④， 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键． 【变式4-2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图①，正方形的边长为5，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：； (2)如图②，延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得，，再证明，即可得出； （2）先证明四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明． 【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：四边形是正方形， 理由如下：由（1）得：，且， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形 【变式4-3】（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图①，正方形中，点是对角线的中点，点是线段上（不与，重合）的一个动点，过点作且交边于点．    (1)求证：． (2)如图②，若正方形的边长为6，过作于点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图③，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)不发生变化， (3) 【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，根据证明可得结论; （2）连接，通过证明,得，即可得最终结论； （3）根据和是等腰直角三角形，得，整理可得结论. 【详解】（1）证明：如图1，过作，交于，交于，    图1 ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 中，， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ； （2）在点运动的过程中，的长度不发生变化， 理由是：如图2，连接，    图2 点是正方形对角线的中点， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ，是等腰直角三角形， ， 为定值是； （3）如图1，， 理由是：， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力.利用条件构造三角形全等是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$