专题04 相似三角形判定的常考模型（6重难点题型）（题型专练）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版）

专题04 相似三角形判定的常考模型 题型梳理 题型方法 题型一 A字型 题型二 8字型 题型三 手拉手型 题型四 一线三等角型 题型五 射影定理（子母型） 题型六 十字型 题型方法 【题型一】A字型 【例1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，点D、E分别是边、上的点，且，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为 m． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 【题型二】8字型 【例2】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，点分别在上，，交于点，则面积的最大值是 ． 【变式3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，中，，，，过点作，，连接交于点． (1)点到的距离_______． (2)求的长度； (3)求的面积． 【题型三】手拉手型 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知，为的角平分线，若，，则与的面积比为（   ）． A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）和按如图所示放置，点在上，，．连结，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在和中，，，为的中点，，将绕点旋转，直线，交于点，连接，则的最小值是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，点D在上，． (1)求证：； (2)已知，求的大小． 【题型四】一线三等角型 【例4】（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，点E是边的中点，点F在边上且交于G，则的面积是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以，为边，作矩形，与相交于点H，若，，则的长为 ． 【变式3】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【题型五】射影定理（子母型） 【例5】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，中，，是边上的高．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． （2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图1，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)如图2，当点与点重合时，有结论：．这就是直角三角形中著名的“射影定理”，又称“欧几里得定理”．该定理还有其它表达形式．已知，求的长． 【变式3】（24-25九年级上·山东青岛·期末）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 【题型六】十字型 【例6】（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，在矩形中，是上一点，，垂足为，，的面积为，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，分析下列四个结论：①；②；③；其中正确的结论有 ．（填序号） 【变式2】（24-25九年级下·全国·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为 ． (2)如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【变式3】（23-24九年级上·河北保定·期中）某班数学课题学校小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程，请你按要求完成相应的证明和计算． 【初步发现】 （1）他们初步研究发现，如图1，在矩形中，时，如果交于点交于点，那么______（填“”、“”或“”）． 【深入探究】 （2）如图2，在矩形中，分别交于点分别交于点．求证：． 【尝试应用】 （3）如图3，在矩形中，在满足上面（1）中的条件下，点分别在边上，，若，求的值． 【联系拓展】 （4）如图4，若，直接写出的值． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，，若，则等于（   ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 2．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，是斜边上的高线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，连接，过点作垂直于，垂足为，交于点，则 ． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，若，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，，，，则 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 10．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，，，． (1)求证：． (2)与有什么位置关系？请说明理由． 12．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（22-23九年级下·四川自贡·阶段练习）操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上． (1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？ (2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 14．（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2） 如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形判定的常考模型 题型梳理 题型方法 题型一 A字型 题型二 8字型 题型三 手拉手型 题型四 一线三等角型 题型五 射影定理（子母型） 题型六 十字型 题型方法 【题型一】A字型 【例1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，点D、E分别是边、上的点，且，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出、的关系即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由于和与地面垂直，则，根据相似三角形的判定可证，然后利用相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的比值为． （2）解：∵是的一条中线，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型二】8字型 【例2】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，得到，，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形相似比与面积比的关系，能够知道相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，点分别在上，，交于点，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质以及三角形面积，证明是解题的关键．连接，先证，则，再推出，可得，求出面积的最大值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴当 时， 的面积最大，最大值， 的面积的最大值． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，中，，，，过点作，，连接交于点． (1)点到的距离_______． (2)求的长度； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，即得，进而由平行线的性质得，即得到点到的距离即为的长，即可求解； （）证明，利用相似三角形的性质解答即可求解； （）求出的面积，再根据可得，即得到，代入计算即可求解； 本题考查了勾股定理的逆定理，点到直线的距离，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点到的距离即为的长，等于， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型三】手拉手型 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知，为的角平分线，若，，则与的面积比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．由为的角平分线，得，而，所以，因为，，所以，由此求出答案． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与的面积比为， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）和按如图所示放置，点在上，，．连结，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，则可得，再利用角度的转换得到，可得，即可解答，熟练掌握相似三角形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， ， ， 即， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在和中，，，为的中点，，将绕点旋转，直线，交于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，中位线定理，斜边上的中线．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．取的中点，连接，则，当三点共线时，最小，证明，进而推出，进而得到，根据三角形中位线定理以及斜边上的中线等于斜边的一半，求出，进而求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接， 则， ∴当三点共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，为的中点， ∴， ∴的最小值为：； 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，点D在上，． (1)求证：； (2)已知，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似可证明结论； （2）证明得到，根据三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型四】一线三等角型 【例4】（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明，得出，代入计算求出答案． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，点E是边的中点，点F在边上且交于G，则的面积是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定．过点作于，如图，先证明，利用相似比计算出，再利用正方形的性质判断为等腰直角三角形得到，设，则，然后证明，则利用相似比可计算出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ， ， 而， ， 而， ， ，即， ， ∵四边形为正方形， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， ∴，即，解得， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以，为边，作矩形，与相交于点H，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，等角对等边，比例的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 首先证明，于是可得，，结合矩形，推导出四边形为正方形，然后利用相似三角形的判定推导出， 于是可得，进而可得，等量代换并代入数据可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ， ， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 【题型五】射影定理（子母型） 【例5】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，中，，是边上的高．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． （2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及正方形的性质． （1）先证明，得对应边成比例，再将比例式转化为等积式即可； （2）直接利用射影定理得，，由此得，再将此等积式转化为比例式，再根据“两边对应成比例，且夹角相等”证明，即可证明． 熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用射影定理是解题的关键． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， ． （2）四边形是正方形， 且， ． ，， ， ， ． ， ， ． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图1，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)如图2，当点与点重合时，有结论：．这就是直角三角形中著名的“射影定理”，又称“欧几里得定理”．该定理还有其它表达形式．已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用有两组角相等的两个三角形相似判定即可； （2）由（1）可知：，从而证明，再代入求值即可． 【详解】（1）证明：于点， ， ， （2）解：由（1）可知：， ，即： ， ， 【变式3】（24-25九年级上·山东青岛·期末）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定于性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质进行推理证明； （1）根据题意，写出答案即可； （2）利用同角的余角相等证明即可证明与相似，再列出比例式即可； （3）作，证明与全等，再利用射影定理求出线段长即可． 【详解】（1）解：根据投影的定义可知线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：，． （2）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：作， ∵点O是对角线、的交点，， ∴    ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为15，，， 由射影定理可知，，即， ，由勾股定理，得：， 则，， 所以 故答案为：． 【题型六】十字型 【例6】（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，在矩形中，是上一点，，垂足为，，的面积为，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，设，，由勾股定理得，证明，得到，可求出，进而求出，再证明，得到相似比，由相似三角形的性质即可求出，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，矩形， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，相似比， ∴， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，分析下列四个结论：①；②；③；其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题时注意，相似三角形的对应边成比例． ①根据四边形是矩形，，可得，又，于是，故①正确；②根据点是边的中点，以及，得出，根据相似三角形对应边成比例，可得，故②正确；③根据得到与的比值，据此求出，，可得，故③正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，故①正确； ∵是边的中点，， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ，故②正确； ， ， ，， ∴， 设，则， ∴ ，故③正确． 故答案为：①②③． 【变式2】（24-25九年级下·全国·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为 ． (2)如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点G，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）过点C作交的延长线于点H，证明，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）设与交于点G，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作交的延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·河北保定·期中）某班数学课题学校小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程，请你按要求完成相应的证明和计算． 【初步发现】 （1）他们初步研究发现，如图1，在矩形中，时，如果交于点交于点，那么______（填“”、“”或“”）． 【深入探究】 （2）如图2，在矩形中，分别交于点分别交于点．求证：． 【尝试应用】 （3）如图3，在矩形中，在满足上面（1）中的条件下，点分别在边上，，若，求的值． 【联系拓展】 （4）如图4，若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】（1）由两个角对应相等得到即可证明结论． （2）分别过点作，垂足分别为，则四边形和四边形都是矩形，且交于点，证明即可； （3）由（1）（2）结论可知，得到答案． （4）过点作，交的延长线于点，过点作，交直线于点，证明，设，则，由（1）结论即可得到答案． 【详解】解：（1）矩形， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：=． （2）证明：如图，分别过点作，垂足分别为，则四边形和四边形都是矩形，且交于点， ． ， ． ， ， ， ， ． ， ．    （3）由（1）（2）结论可知，， ． （4）． 如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交直线于点．    在中，， ， ． ， ， ． ， 四边形是矩形， ． 设，则． 于是， 解得． 根据（1）中结论可知，． 【点睛】本题属于相似三角形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解方程等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，，若，则等于（   ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．注意确定对应线段． 证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B． 2．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故选：C. 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：，且， ， 即， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 5．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，是斜边上的高线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理的实际应用、完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 根据两个对应角相等可证，，，再由相似三角形的性质可推得，，，可判断选项、选项、选项的正误；结合勾股定理、完全平方公式即可判断选项． 【详解】解：依题得：， ，， ，， ，，， ，，，则选项、选项错误； ， 即，则选项正确； 中，， 又， ， 即，则选项错误． 故选：． 二、填空题 6．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，连接，过点作垂直于，垂足为，交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，由四边形是平行四边形，得，，，，从而可证明四边形是平行四边形，然后由直角三角形的性质和勾股定理求出由勾股定理得，，再证明，通过相似三角形的性质求出，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，则可判定，从而可得比例式，结合，及，可得答案，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 先证明，再根据面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．证明出与全等以及与相似是解决本题的关键． （1）根据角边角的证明方法证明与全等，由全等可得，再由平行可得相似，再由相似的性质可得边成比例； （2）根据（1）中结论由全等可得，再由相似可得，根据边的关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又， 在与中， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 又， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，即， 由（1）知，， ∴， 即， 即， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 10．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形性质得，证明，即可求证； （2）利用，，得出，再证明，，得出，设，则，，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴与四边形的面积比的值为． 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，，，． (1)求证：． (2)与有什么位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由正方形性质可得，，，则，，则有，然后证明即可； （）由，则，又，则，所以，从而得出，从而求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再证出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）先证出，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 所以的长为． 13．（22-23九年级下·四川自贡·阶段练习）操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上． (1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？ (2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【答案】(1)的投影是，的投影是点，的投影是 (2)证明过程见详解 (3)①证明过程见详解；② 【分析】（1）根据投影的定义，即可求解； （2）根据中，，，可得，是公共角，由三角形相似的判定及性质即可求证； （3）①根据射影定理可得，，且，根据三角形相似的判定方法即可求解；②先计算，，，的长度，在根据①中的结论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，的投影是，的投影是点，的投影是． （2）证明：∵中，，， ∴，， ∴，且是公共角， ∴， ∴， ∴． （3）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 中， ∵，， ∴， ∴，即，且（公共角）， ∴； ②∵，且， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，相似三角形的综合，掌握正方形的性质，直角三角形中判定三角形的相似，以及相似三角形的性质是解题的关键． 14．（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【答案】（1），理由见解析（2） 【分析】（1）根据矩形的性质，证明，列出比例式解答即可． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，利用三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，且， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图： 则四边形为矩形，为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 由（1）知：， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$