精品解析：吉林省吉林市第九中学2023-2024学年九年级下学期第五次模拟考试数学试题

吉林市第九中学初三年级学业考试数学试卷 一、单选题 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图，观察这个立体图形，它的左视图是（　 ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在矩形中，点是的中点，连接交于点，若，则的长度是（ ） A. 6 B. 5 C. D. 6. 如图，在中，圆周角，为上的一点，若，则的度数为 （ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 二、填空题 7. 在中，正数有______个． 8. 不等式的解集为_______． 9. 边长为a，b的长方形周长为12，面积为8，则的值等于_______． 10. 如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，小明提供了测量方案：分别反向延长OA、OB至点C、D，他测量∠COD的度数就是∠AOB的度数，则小明依据的数学道理是___． 11. 电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为_____． 12. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为______． 13. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点，连接，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点．若，，则的长是______． 14. 如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为______． 三、解答题 15. 先化简，再求代数式的值，其中． 16. 中考过后，小颖同学计划跟随父母来西安旅游，决定采用抽签的方式从“1—大唐不夜城现代唐人街”，“2—大唐芙蓉园”，“3—西安明城墙景区”中选择两个地方去游览，抽签规则如下：把3个地点分别写在3张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张． （1）小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率． 17. 如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：． 18. 现代科技的发展已经进入了时代，“”即第五代移动通信技术.有专家说“同相比，的传输速率提高了10至100倍.”如果网络峰值速率是网络峰值速率的10倍，那么在峰值速率下传输数据，网络比网络快90秒，求这两种网络的峰值速率（）. 四、解答题 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画一个等腰； （2）在图②中，以为边画一个成中心对称的四边形； （3）在图③中的边上确定一点，连接，使． 20. 某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：天）的反比例函数，其图象经过点（如图）． （1）求与的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机? 21. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 22. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图． （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个． （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 五、解答题 23. 、两地之间有一条笔直的公路，甲、乙两车同时从地出发，匀速去往终点地，一段时间后甲车先到达终点，再过一段时间后，乙车也到达终点．两车行驶的路程之和与乙车行驶的时间之间的关系如图所示． （1）、两地相距______； （2）求的值； （3）求甲车到达地后与之间的函数解析式． 24. 综合与实践 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】（1）折痕的长为______； （2）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】（3）绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点时，的长为______： ②如图3，当直线时，的长为______； 六、解答题 25. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿向点运动，过点作于点，以、为邻边作矩形，当点到达点时，整个运动停止．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长，并写出的取值范围． （2）设矩形与重叠部分图形的面积为，求S与之间的函数关系式； （3）连结，当与的一边平行时，直接写出的值． 26. 如图，二次函数（其中、为常数）经过点，对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时．直接写出的取值范围； （3）抛物线在、之间的函数部分的最大值为时，求出此时的值； （4）已知点，点关于点的对称点为点，以为对角线构造矩形，其中轴．当，抛物线在矩形内部的函数部分随的增大而增大或者随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第九中学初三年级学业考试数学试卷 一、单选题 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反意义的量，根据“正负数是具有相反意义的两个量，规定哪一个为正，则和它意义相反的量记为负”进行求解即可． 【详解】解：∵盈利50元，记作：元， ∴亏损30元，记作：元， 故选：C． 2. 如图，观察这个立体图形，它的左视图是（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形选择从左侧看到的图形即可． 【详解】解：观察这个立体图形，它的左视图是 ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立体图形的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左侧看到的图形，俯视图是从上面看到的图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项符合题意； C、，计算错误，故此选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】利用根的判别式判断即可. 【详解】解：△=b2-4ac=(-2)2-4×7=-24＜0，方程无实数根， 故选择D. 【点睛】本题考查了根的判别式与根的关系. 5. 如图，在矩形中，点是的中点，连接交于点，若，则的长度是（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可证，从而可求，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ， ， 解得：， ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握性质及定理是解题的关键． 6. 如图，在中，圆周角，为上的一点，若，则的度数为 （ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解： 故选：C 【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．掌握相关结论是解题关键． 二、填空题 7. 在中，正数有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方、相反数和绝对值及正负数的概念，根据有理数的乘方法则、相反数的定义和绝对值的性质逐项进行解题即可． 【详解】解：， 故正数有2个． 故答案为：2． 8. 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 9. 边长为a，b的长方形周长为12，面积为8，则的值等于_______． 【答案】48 【解析】 【分析】由周长、面积得，于是． 【详解】解：由题意， ∴． 故答案为：48 【点睛】本题考查整式乘法的逆变形，求代数式值；对代数式变形，用已知的代数式表示是解题的关键． 10. 如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，小明提供了测量方案：分别反向延长OA、OB至点C、D，他测量∠COD的度数就是∠AOB的度数，则小明依据的数学道理是___． 【答案】对顶角相等 【解析】 【分析】根据对顶角的性质解题． 【详解】小明测量方案依据的数学道理是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 【点睛】本题考查对顶角的性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11. 电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每天的增长率是，列方程为， 故答案为：． 12. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【详解】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，关键是熟练应用旋转的性质． 先根据旋转的性质得到，再由等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得到，最后由即可求解． 【解答】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点，连接，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点．若，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”可得，进而可得．再证明，，从而可求得的长． 本题考查了“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”、勾股定理、线段垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：中，，， ，， ， 由题意得是的垂直平分线，F点在上， ， ， ， ， 由题可知， ， ． 故答案为：． 14. 如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据为的中点，扇形的圆心角，得出，求出，证明，根据求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的中点，扇形的圆心角， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据平移可知，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 三、解答题 15. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键． 先分式除法法则进行化简，再运算减法，然后把字母的值代入运算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 16. 中考过后，小颖同学计划跟随父母来西安旅游，决定采用抽签的方式从“1—大唐不夜城现代唐人街”，“2—大唐芙蓉园”，“3—西安明城墙景区”中选择两个地方去游览，抽签规则如下：把3个地点分别写在3张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张． （1）小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式即可求解； （2）先列表格表示出所有可能出现的结果数，再找出小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的结果数，再根据概率公式求解即可． 本题考查了根据概率公式求概率，根据列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是大唐不夜城现代唐人街的概率． 故答案为： 【小问2详解】 解：所有情况列表格如下： 1 2 3 1 1，2 1，3 2 2，1 2，3 3 3，1 3，2 共6种情况， 其中同时选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方 有2种情况． ∴小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率． 17. 如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出，注意全等三角形的对应边相等；根据可知，又根据∠A=∠D，BE=CF可以判定，即可求证． 【详解】略 18. 现代科技的发展已经进入了时代，“”即第五代移动通信技术.有专家说“同相比，的传输速率提高了10至100倍.”如果网络峰值速率是网络峰值速率的10倍，那么在峰值速率下传输数据，网络比网络快90秒，求这两种网络的峰值速率（）. 【答案】4G网络的峰值速率是，5G网络的峰值速率为. 【解析】 【分析】可设4G网络的峰值速率是，由“网络峰值速率是网络峰值速率的10倍”可知5G网络的峰值速率为，根据“在峰值速率下传输数据，网络比网络快90秒”可列出关于x的分式方程，求解即可. 【详解】解：设4G网络的峰值速率是，则5G网络的峰值速率为， 根据题意得 解得 经检验，为原方程的解且符合题意 所以4G网络的峰值速率是，5G网络的峰值速率为. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题过程中易忘记检验，找准题中等量关系是列出分式方程的关键. 四、解答题 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画一个等腰； （2）在图②中，以为边画一个成中心对称的四边形； （3）在图③中的边上确定一点，连接，使． 【答案】（1） 如图，等腰即为所作， （2） 如图，四边形即为所作， （3） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的定义、菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点，由勾股定理得出，再根据等腰三角形的定义即可得解； （2）取格点，由勾股定理得出，则四边形为菱形，再由菱形的性质即可得解； （3）在取一点，使，连接即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得：， 为等腰三角形； 【小问2详解】 解：由勾股定理可得：， 四边形为菱形， 由菱形的性质可得四边形为中心对称图形； 【小问3详解】 解：由图可得， ， ， ． 20. 某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：天）的反比例函数，其图象经过点（如图）． （1）求与的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机? 【答案】（1） （2）需要4台这样的挖掘机 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键. （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以15即可得到答案. 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， ， ， 答：需要4台这样的挖掘机． 21. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【解析】 【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 22. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图． （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个． （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【答案】（1）25， 条形统计图补充如下： （2）5，5 （3）810名 【解析】 【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数； （2）根据众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中a=1-30%-15%-10%-20%=25%， 设引体向上6个的学生有x人，由题意得 ，解得x=50． 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5； 共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5． 故答案为：5，5． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名． 【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体． 五、解答题 23. 、两地之间有一条笔直的公路，甲、乙两车同时从地出发，匀速去往终点地，一段时间后甲车先到达终点，再过一段时间后，乙车也到达终点．两车行驶的路程之和与乙车行驶的时间之间的关系如图所示． （1）、两地相距______； （2）求的值； （3）求甲车到达地后与之间的函数解析式． 【答案】（1）160 （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求解一次函数，从函数图象获取信息等知识， （1）根据两人都到终点时，两车行驶的路程之和，则其一半即为、两地距离； （2）2小时甲车到达终点时，乙车行驶的路程为： ，即可得到乙的速度，问题随之得解； （3）利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 ∵两人都到终点时，两车行驶的路程之和， ∴、两地相距为：， 故答案为：160； 【小问2详解】 2小时甲车到达终点时，乙车行驶的路程为： ， 所以乙车的速度为：， 所以． 【小问3详解】 设甲车到达地后与的函数解析式为． 因为的图象经过与， 所以， 解得， 所以甲车到达地后与的函数解析式为． 24. 综合与实践 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】（1）折痕的长为______； （2）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】（3）绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点时，的长为______： ②如图3，当直线时，的长为______； 【答案】（1）3； （2），理由如下： 如图，连接， 由旋转的性质可得，， 又， ， 又，， ， ． （3）①②3 【解析】 【分析】（1）由折叠知，，从而可得，根据平行线分线段成比例定理可证得，从而可得是的中位线，根据三角形中位线的性质即可求出的长． （2）连接，由旋转的性质和可证得，从而可得 （3）①由（1）得，．由旋转的现在可得，，则可得．设，则可得，．在中根据勾股定理列方程求出x的值即可得的长． ②由可得，．由旋转的性质可得，进而可得，，从而得，，则可得，进而可求得的长． 【详解】（1）由折叠知，， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ． 故答案为：3． （2）略 （3）①如图2，当直线经过点时， 中，，， ， 由（1）得，，， 由旋转的性质可得，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 故答案为：． ②如图3，当直线时， 设与的交点为H， ， ，， 由旋转的性质可得， ，， ，， ， 即， 由旋转得， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识及数形结合的思想是解题的关键． 六、解答题 25. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿向点运动，过点作于点，以、为邻边作矩形，当点到达点时，整个运动停止．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长，并写出的取值范围． （2）设矩形与重叠部分图形的面积为，求S与之间的函数关系式； （3）连结，当与的一边平行时，直接写出的值． 【答案】（1）当时，；当时， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，由题意得，．证明，列比例式求出．然后分两种情况：当，和时，分别表示出的长即可． （2）分两种情况讨论．当时，由列式即可；当时，设与的交点为H，证明，由列式即可． （3）分两种情况讨论．当时，，可得，则可得，从而可得；当时，可得，则可得，从而可得． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ∴， 由题意得，， P点由B点运动到C点需要秒，M点由A点运动到B点需要秒，因此 P点先停止运动． ，， ∴， ， ， ． 当M点与Q点相遇时，，即， 得． 如图①，当时，， 如图②，当时，． 【小问2详解】 如图，当时， ∵，， ， 此时， 如图②，当时，设与的交点为H， ，， ， ， ， ， 解得， 则 ． 综上，S与之间的函数关系式为或． 【小问3详解】 ①如图，当时，， 则， 又，， ， ， ， 解得． ②如图，当时，， 则， 又， ∴， ， ，， ， 解得． 综上，或． 【点睛】本题是一道动点问题，主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，分类讨论是解答问题的关键． 26. 如图，二次函数（其中、为常数）经过点，对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时．直接写出的取值范围； （3）抛物线在、之间的函数部分的最大值为时，求出此时的值； （4）已知点，点关于点的对称点为点，以为对角线构造矩形，其中轴．当，抛物线在矩形内部的函数部分随的增大而增大或者随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的取值范围为 （3）的值为或 （4）的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）由题意得出，解方程，求出的值即可； （2）根据二次函数的解析式及性质计算即可得出答案； （3）分两种情况：若点在对称轴右侧，即时；若点在对称轴左侧，即时；分别利用二次函数的性质，求解即可得出答案； （4）令抛物线与轴的交点为，可得，求出点，即在轴上，再根据矩形的性质结合轴得出在轴上，分点在点的下方和点在点的上方两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数（其中、为常数）经过点，对称轴为直线， ， 解得：， 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， 当时，二次函数有最大值为， ， 当时，，当时，； 当时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：点在抛物线上，其横坐标为， ， 由（2）可得，抛物线的顶点为， 若点在对称轴右侧，即时，抛物线在、之间的函数部分随的增大而减小， 当时，为最大值，即， 解得：或， ， ； 若点在对称轴左侧，即时，抛物线顶点为最大值，即， 解得：； 综上所述，的值为或； 【小问4详解】 解：令抛物线与轴的交点为， 在中，当时，， ， ，点，点关于点的对称点为点， ，， ，即在轴上， 轴，四边形为矩形， 轴， 在轴上， ∴， ， 令，得， 解得或（舍去）， ∵关于的函数开口向下，， ∴时，关于的函数值大于0，即点在点的上方， ∴时，点与点重合， ∴时，点在点的下方； 点在点的上方时， 当点Q在在点C上方，如图， ， 抛物线在矩形内部的函数部分随的增大而增大， 当点C与点N重合，如图， 此时，，即，且抛物线在矩形内部没有图象， 解得：或（舍去）， 当点N在点C下方，如图， 此时，抛物线在矩形内部没有图象， 的取值范围为； 点在点的下方时， 当点M在点C下方，如图， 此时，抛物线在矩形内部的函数部分随的增大而减小， 当点M与点C重合，如图， 此时，抛物线在矩形内部的函数部分随的增大而减小， 此时，，即， 解得：或； 当点M与在点C上方，如图， 此时，抛物线在矩形内部的函数部分随的增大先增大后减小， ∴的取值范围为， 综上可得或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的最值、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $