暑期成果验收卷.（ 测试范围：二次函数与反比例函数、相似形） -2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练 （沪科版）

2024年初中数学署期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：二次函数与反比例函数、相似形 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（2023秋•淮北期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•无为市校级月考）若点在反比例函数的图象上，那么下列各点在此函数图象上的是　　 A． B． C． D． 3．（2023•庐阳区一模）三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△，则点的坐标是　　 A． B．或 C．或 D． 4．（2024•无为市三模）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•宿松县校级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么较短线段的长度为　　 A． B． C． D． 6．（2024•无为市模拟）如图，平行四边形中，，分别为，的中点，与相交于点，则的值是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•田家庵区期中）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米秒，经过（秒时球距离地面的高度（米适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒是　　 A．2 B．4 C．5 D．20 8．（2022秋•怀远县期中）如图，点、分别在的边、上，要使，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•金安区期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　． A． B．6 C． D．8 10．（2024•瑶海区校级三模）规定：两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”．例如，函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”．若函数的“函数”图象与轴只有一个交点，则其“函数”的解析式为　　 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．（2023秋•合肥月考）已知函数为二次函数，则的值为 　　． 12．（2023秋•怀宁县期末）已知，且，则　　． 13．（2020秋•包河区校级月考）如图，在直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且的坐标为，则正方形与正方形的位似中心的坐标是　　． 14．（2024•庐阳区校级四模）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，轴于点，平移直线，使其经过点，得到直线，直线与反比例函数相交于点，作轴于点．则的值为 　　． 三． 解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．（2021秋•金安区校级月考）若函数是关于的二次函数，求的值． 16．（2024•瑶海区一模）已知，且，求的值． 17．（2021•大观区校级开学）如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 18．（2024•青阳县三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的△； （2）画出关于轴对称的△； （3）画出以点为位似中心的位似图形△，使得与△的位似比为，并写出△各顶点的坐标． 19．（2023秋•包河区月考）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：　　； （2）写出不等式的解集：　　； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围 　　； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：　　． 20．（2023秋•颍州区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，对应的的取值范围． 21．（2022秋•金安区校级期中）如图，在中，，，点从点出发，沿以的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当时，求的值． （2）与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 22．（2023秋•庐阳区期末）如图，在中，点，分别在边，上，、的延长线相交于点． （1）如图1，若，，，，求的长； （2）如图2，若，求证． 23．（2024•庐阳区校级四模）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，连接，，点是第一象限内抛物线上的一动点，过点作直线，交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）当点为线段的中点时，求点的坐标； （3）求线段的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中数学署期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：二次函数与反比例函数、相似形 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（2023秋•淮北期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数定义即可解答． 【解答】解：、该函数是二次函数，故本选项符合题意； 、该函数是一次函数，故本选项不符合题意； 、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意； 、该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 2．（2024春•无为市校级月考）若点在反比例函数的图象上，那么下列各点在此函数图象上的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据点在反比例函数的图象上，求出，再利用，，，，所给点判断即可． 【解答】解：点在反比例函数的图象上， ， 只有才符合要求， 只有符合要求：． 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据已知得出是解题关键． 3．（2023•庐阳区一模）三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△，则点的坐标是　　 A． B．或 C．或 D． 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△，点的坐标为， 则点的坐标为，或，，即或， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 4．（2024•无为市三模）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断、的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，故错误； 、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，故错误； 、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，故错误； 、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故正确； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 5．（2022秋•宿松县校级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么较短线段的长度为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用黄金分割的定义计算出的长，再由即可． 【解答】解：为的黄金分割点，， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 6．（2024•无为市模拟）如图，平行四边形中，，分别为，的中点，与相交于点，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质，点是中点，可证，可得，可求出与的关系，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图所示，延长，交于点， 四边形是平行四边形， ，， ，且，， ， ， 是中点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（2023秋•田家庵区期中）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米秒，经过（秒时球距离地面的高度（米适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒是　　 A．2 B．4 C．5 D．20 【分析】令，求出值即可． 【解答】解：令，得：， 解得：或， 那么球弹起后又回到地面所花的时间是4秒； 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 8．（2022秋•怀远县期中）如图，点、分别在的边、上，要使，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为　　 A． B． C． D． 【分析】利用相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：、由，，可以推出，，故本选项不符合题意； 、由，，可以推出，，故本选项不符合题意； 、由，可以推出，，故本选项不符合题意； 、由，推不出，，故本选不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 9．（2023秋•金安区期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　． A． B．6 C． D．8 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，，然后利用平行线的性质可得：，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得： ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：， 蜡烛火焰的高度是， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（2024•瑶海区校级三模）规定：两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”．例如，函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”．若函数的“函数”图象与轴只有一个交点，则其“函数”的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”，从而两个“函数”上的点关于轴对称，故可设所求“函数”上任意一点为，则其关于轴的对称轴点为必在函数上，可得为“函数”的解析式，再由“函数”图象与轴只有一个交点，进而△，求出后即可判断得解． 【解答】解：由题意，两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”， “函数”上的点关于轴对称． 设所求“函数”上任意一点为， 其关于轴的对称轴点为必在函数上． 为“函数”的解析式． 又“函数”图象与轴只有一个交点， △． ． “函数”的解析式为． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．（2023秋•合肥月考）已知函数为二次函数，则的值为 　　． 【分析】由函数为二次函数，可得，再解不等式组可得答案． 【解答】解：函数为二次函数， ， 解得：， 故答案为： 【点评】本题考查的是二次函数的定义，形如：的函数是二次函数，熟记二次函数的定义是解本题的关键． 12．（2023秋•怀宁县期末）已知，且，则　3　． 【分析】根据比例的性质得到，，，相加即可求出的值． 【解答】解：， ，，， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是能够熟练利用比例的性质． 13．（2020秋•包河区校级月考）如图，在直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且的坐标为，则正方形与正方形的位似中心的坐标是　或，　． 【分析】连接并延长交轴于点，根据正方形的性质求出点的坐标为，证明，根据相似三角形的性质求出，另一种情况，连接、交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【解答】解：连接并延长交轴于点，则点为位似中心， 四边形为正方形，点的坐标为， 点的坐标为， ， ， ，即， 解得，， 正方形与正方形的位似中心的坐标是， 连接、交于点， 由题意得，，，， 求出直线解析式为：，直线解析式为：， ， 解得，， 直线，的交点为，， 所以正方形与正方形的位似中心的坐标是，， 故答案为：或，． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 14．（2024•庐阳区校级四模）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，轴于点，平移直线，使其经过点，得到直线，直线与反比例函数相交于点，作轴于点．则的值为 　　． 【分析】用分别表示出点和点的坐标即可解决问题． 【解答】解：由得， （舍负）， 所以点的坐标为， 则． 因为轴， 所以点的坐标为． 因为直线由直线平移得到，且经过点， 所以直线的函数解析式为． 由得， ， 所以， 则， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 三． 解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．（2021秋•金安区校级月考）若函数是关于的二次函数，求的值． 【分析】根据二次函数定义可得且，求解即可． 【解答】解：函数是关于的二次函数， ，， 解得， 的值为1． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 16．（2024•瑶海区一模）已知，且，求的值． 【分析】设，，，根据，求出，即可得，，，然后代入计算即可． 【解答】解：， 设，，， ， ， 解得， ，，， ． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键． 17．（2021•大观区校级开学）如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【分析】（1）由点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． 【解答】解：（1）把、分别代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． ， 顶点坐标为． （2）由图可得当时，． （3）、， ． 设，则， ， ． ①当时，，解得：，， 此时点坐标为或； ②当时，，方程无解； 综上所述，点坐标为或． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 18．（2024•青阳县三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的△； （2）画出关于轴对称的△； （3）画出以点为位似中心的位似图形△，使得与△的位似比为，并写出△各顶点的坐标． 【分析】（1）根据平移变换的点的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可； （3）把点、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可． 【解答】解：（1）如图，△为所作； （2）如图，△为所作； （3）如图，为所作，，，． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了平移变换和轴对称变换． 19．（2023秋•包河区月考）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：　1和3　； （2）写出不等式的解集：　　； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围 　　； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：　　． 【分析】（1）根据图象可知和3是方程的两根； （2）找出函数值小于0时的取值范围即可； （3）首先找出对称轴，然后根据图象写出随的增大而减小的自变量的取值范围； （4）若方程有两个不相等的实数根，则必须小于的最大值，据此求出的取值范围． 【解答】解：（1）由图象可知，图象与轴交于和点， 则方程的两个根为和， 故答案为：1和3； （2）由图象可知当或时，不等式； 故答案为或； （3）由图象可知，的图象的对称轴为直线，开口向下， 即当时，随的增大而减小； 故答案为：． （4）由图象可知，二次函数有两个不相等的实数根，则必须小于的最大值， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大． 20．（2023秋•颍州区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，对应的的取值范围． 【分析】（1）反比例函数的图象过点得，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点得，则，根据直线过点，得，进行计算即可得； （2）令一次函数与轴交于点，与轴交于点，在中，令，则，令，即，令，则，计算得，即，根据进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得； 【解答】解：（1）反比例函数的图象过点， ， 反比例函数为， 反比例函数的图象过点， ， ， 直线过点，， ， 解得， 一次函数的解析式； （2）如图所示，令一次函数与轴交于点，与轴交于点， 在中，令，则，令，即， 令，则， ， 即， ； （3）根据函数图象得，当时，或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键． 21．（2022秋•金安区校级期中）如图，在中，，，点从点出发，沿以的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当时，求的值． （2）与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）当时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于，，，的比例关系式，我们可根据，的速度，用时间表示出，，然后根据得出的关系式求出的值； （2）分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和对应成比例以及和对应成比例两种情况． 【解答】解：（1）当时，， ，， ， 解得：； 即当，； （2）能， ①当时，有， 即：， 解得：， ， ②当时，有， 即：， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，当或时，与相似． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 22．（2023秋•庐阳区期末）如图，在中，点，分别在边，上，、的延长线相交于点． （1）如图1，若，，，，求的长； （2）如图2，若，求证． 【分析】（1）证明，然后利用相似比可计算出的长； （2）过点作交于点，如图2，先证明得到，根据比例性质得，由于，所以，再证明，根据相似三角形的性质得到， 然后利用等量代换得到结论． 【解答】（1）解：如图1， ，， ， ，即， 解得， 即的长为10； （2）证明：过点作交于点，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 23．（2024•庐阳区校级四模）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，连接，，点是第一象限内抛物线上的一动点，过点作直线，交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）当点为线段的中点时，求点的坐标； （3）求线段的最大值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由中点坐标公式得，点，由，得到直线的表达式为：，进而求解； （3）由，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）由中点坐标公式得，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：；， 解得：（负值已舍去）， 则点，； （3）由点、的坐标得，直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则点， 则， 由点、、的坐标得，，，， 则， 则为直角三角形，即， ，则， 则， 则，则， 则， 即的最大值为：． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$