暑期成果验收卷 （ 测试范围：二次根式、一元二次方程 ）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

2024年初中数学署期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：二次根式、一元二次方程 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（2020秋•普陀区期中）下列等式中，对于任何实数、都成立的　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•徐汇区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•浦东新区期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 4．（2023秋•浦东新区期中）已知、是两个实数，则方程　　 A．有两个实数根 B．无实数根 C．一定有两个相等的实数根 D．一定有两个不相等的实数根 5．（2023秋•静安区校级期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 6．（2022秋•宝山区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为16.2元，且两次降价的百分比均为，那么可列方程为　　 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（2022秋•嘉定区期中）化简：　　． 8．（2020秋•黄浦区校级期中）当时，二次根式的值是 　　． 9．（2022秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 　　． 10．（2022秋•闵行区校级期中）如果有意义，那么的取值范围是 　　． 11．（2023秋•崇明区期末）的一个有理化因式是 　　． 12．（2022秋•宝山区校级期中）方程的根是　　． 13．（2023秋•长宁区校级期末）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 　　． 14．（2022秋•长宁区校级期中）是方程的一个根，则代数式值是　 　　． 15．（2022秋•闵行区校级期中）不等式的解集是　　． 16．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为米，可列出方程为 　　． 17．（2023秋•金山区期中）如果，则　　． 18．（浦东新区月考）已知，，为三角形的三边，则　　． 三． 解答题：（本大题共8题，19-21题每题6分，22-26题每题8分，满分58分） 19．（2022秋•杨浦区期中）计算：． 20．（徐汇区校级月考）解下列方程： （1）； （2）用配方法解：； （3）； （4）； （5）． 21．（2023秋•金山区期中）已知，求代数式值． 22．（2023秋•闵行区期末）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？ 23．（2022秋•徐汇区校级期末）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 24．（2022秋•浦东新区校级期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 25．（2023秋•杨浦区校级期中）材料阅读：韦达定理：已知，是一元二次方程的两个实数解，则，．已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）请用含的代数式表示　1　；　　． （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． （3）直接写出使的值为整数的实数的整数值． 26．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有 　①③　（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 探究问题： （2）若可配方成 ，为常数），则的值为 　　； （3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数，满足，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中数学署期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：二次根式、一元二次方程 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（2020秋•普陀区期中）下列等式中，对于任何实数、都成立的　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（A）当，，此时与无意义，故错误． （B）当，，此时与无意义，故错误． （C）当，，此时，故错误． （D）由于，，所以，故正确． 故选：． 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，本题属于基础题型． 2．（2022秋•徐汇区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论． 【解答】解：．方程是一元二次方程，选项符合题意； ．方程是分式方程，选项不符合题意； ．原方程整理得，该方程为一元一次方程，选项不符合题意； 是二元一次方程，选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 3．（2023秋•浦东新区期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义作答． 【解答】解：、，被开方数是3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 、，被开方数是2，与的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意． 、，被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 、和的被开方数分别是、，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 4．（2023秋•浦东新区期中）已知、是两个实数，则方程　　 A．有两个实数根 B．无实数根 C．一定有两个相等的实数根 D．一定有两个不相等的实数根 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，可得出，，结合、是两个实数，即可得出结论． 【解答】解：， ， 解得：，， 又、是两个实数， 关于的方程有两个实数根． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法，求出方程的两个根是解题的关键． 5．（2023秋•静安区校级期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 6．（2022秋•宝山区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为16.2元，且两次降价的百分比均为，那么可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分比），即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（2022秋•嘉定区期中）化简：　6　． 【分析】直接把被开方数相乘即可． 【解答】解：原式． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的乘除法则是解题的关键． 8．（2020秋•黄浦区校级期中）当时，二次根式的值是 　　． 【分析】把代入，再进行化简即可． 【解答】解：当时，， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 9．（2022秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 　　． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：，被开方数含分母，不是最简二次根式， ，，被开方数中含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 故答案为：． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 10．（2022秋•闵行区校级期中）如果有意义，那么的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出的范围． 【解答】解：由题意可知：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 11．（2023秋•崇明区期末）的一个有理化因式是 　（答案不唯一）　． 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积为有理数解答即可． 【解答】解：， 是的一个有理化因式． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键． 12．（2022秋•宝山区校级期中）方程的根是　，　． 【分析】先把给出的方程进行整理，找出，，的值，再代入求根公式进行计算即可． 【解答】解：， ， ，，， ， ，． 故答案为：，． 【点评】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根据公式是本题的关键． 13．（2023秋•长宁区校级期末）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 　且　． 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得且△， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 14．（2022秋•长宁区校级期中）是方程的一个根，则代数式值是　 　2020　． 【分析】根据方程的根的定义，把代入方程求出的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：是方程的一个根， ， 整理得，， ． 故答案为：2020． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出的值，然后整体代入是解题的关键． 15．（2022秋•闵行区校级期中）不等式的解集是　　． 【分析】利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握解不等式得方法与二次根式的化简是解决问题的关键． 16．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为米，可列出方程为 　　． 【分析】若设垂直于墙的一段篱笆长为米，则平行于墙的一段篱笆长为米，根据围成的大长方形花圃的面积为24平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若设垂直于墙的一段篱笆长为米，则平行于墙的一段篱笆长为米， 依题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2023秋•金山区期中）如果，则　　． 【分析】利用分母有理化求出，利用完全平方公式、二次根式的性质原式化简，代入计算即可． 【解答】解：， ， ， 则原式， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键． 18．（浦东新区月考）已知，，为三角形的三边，则　　． 【分析】由，，为三角形的三边，根据三角形三边关系，即可得，，，又由，即可求得答案． 【解答】解：，，为三角形的三边， ，，， ，，， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了二次根式的性质．此题难度适中，注意掌握． 三． 解答题：（本大题共8题，19-21题每题6分，22-26题每题8分，满分58分） 19．（2022秋•杨浦区期中）计算：． 【分析】根据二次根式的加减法的法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟记二次根式的加减法的法则是解题的关键． 20．（徐汇区校级月考）解下列方程： （1）； （2）用配方法解：； （3）； （4）； （5）． 【分析】（1）根据配方法即可求出答案． （2）根据配方法即可求出答案． （3）根据配方法即可求出答案． （4）根据因式分解法即可求出答案． （5）根据配方法即可求出答案． 【解答】解：（1）， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ． （3）， ， ， ． （4）， ， ， ， 或． （5）， ， ， ． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 21．（2023秋•金山区期中）已知，求代数式值． 【分析】利用分母有理化把化简，代入计算即可． 【解答】解：， ， 则原式． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． 22．（2023秋•闵行区期末）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？ 【分析】设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，根据面积为90平方米列出方程求解即可． 【解答】解：设垂直于墙的一边为米， 根据题意得：， 整理得：，即， 分解因式得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边为米米， 故米不符合题意，舍去； 当时，平行于墙的一边为米米， 答：仓库的长是15米，宽是6米． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 23．（2022秋•徐汇区校级期末）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 【分析】设人行通道的宽度为米，这每块矩形绿地的长为米、宽为米，根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为56米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设人行通道的宽度为米，这每块矩形绿地的长为米、宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽为2米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（2022秋•浦东新区校级期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 【分析】（1）将3分成，利用完全平方公式即可求出结论； （2）结合（1）将原式变形为，将18分成，利用完全平方公式即可求出结论； （3）将3分成、5分成、7分成、9分成、11分成，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论． 【解答】解：（1）； （2）； （3）原式， ， ， ， ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键． 25．（2023秋•杨浦区校级期中）材料阅读：韦达定理：已知，是一元二次方程的两个实数解，则，．已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）请用含的代数式表示　1　；　　． （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． （3）直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【分析】（1）先根据根的判别式的性质得到且△，则，再根据根与系数的关系得到，，然后利用配方法得到； （2）先利用得到，所以，解得，然后利用的范围可判断不存在实数，使成立； （3）由于，再利用有理数的整除性得到，，，然后结合可确定的值． 【解答】解：（1）根据题意得且△， 解得， ，， ； 故答案为：1，； （2）不存在． 理由如下：， ， ， ， 解得， 经检验为原方程的解， ， 不合题意， 不存在实数，使成立； （3）， 为整数，为整数， ，，， 解得，，1，，3，， ， 的整数值为或或． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 26．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有 　①③　（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 探究问题： （2）若可配方成 ，为常数），则的值为 　　； （3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数，满足，求的最小值． 【分析】（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方式把原式变形，根据“完美数”的定义，即可证明结论； （4）利用配方法和非负数的性质，即可求得的最小值． 【解答】解：（1），，48和28不能表示成两个数的平方和， “完美数”有29和13， 故答案为：①③； （2）， ，， ， ． 故答案为：； （3）当时，是“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， 和也是整数， 当时，是“完美数”； （4）， ， ， ， 的最小值为． 【点评】本题考查了配方法的应用，理解新定义“完美数”并会把算式灵活配方是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$