1.3 有理数的大小（同步课件，新教材）数学沪科版2024七年级上册

1.3 有理数的大小 沪科版（2024）七年级数学上册 第一章有理数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握有理数大小的比较法则； 2.能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的 大小.（重点、难点） 下图表示某一天我国5个旅游区的最低气温. 泰山-4℃ 黄山0℃　 桂林9℃ 张家界5℃ 延吉－5℃ 问题：你能将上述五个城市的最低气温按从低到高的顺序依次排列吗？ 情景导入 延吉 -5℃ 泰山 -4℃ 黄山 0℃ 张家界 5℃ 桂林 9℃ < < < < 根据地理位置，我们可以作出如下猜测： 那么，数学上我们如何比较这些数的大小呢？ 1.借助数轴比较有理数的大小 活动1：将这一天5个旅游区的最低气温在数轴上表示出来： 想一想：这五个数的大小与它们在数轴上的位置有什么关系? 越 来 越 大 新知探究 ● ● ● ● ● 活动2：观察数轴上两个点表示的数，右边的与左边有怎样的大小关系？你发现了什么？ 越来越大 结论： (1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大. (2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数. 解： （1）因为|-2|=2；|-3|=3,2<3,所以-2＞-3. （2）因为 = =0.6;|0.8|=0.8,0.6<0.8, 所以 > -0.8. 例1（课本例题） 比较下列每组数的大小： (1)-2与-3； (2) 与-0.8； 例 2 比较下列每组数的大小： （1）－2和＋6;　（2）0和－1.8; （3）　 解：（1）－2＜＋6 (正数大于负数）； （2）0＞－1.8 (负数小于零）； （1）－2和＋6;　（2）0和－1.8; （3）　 和－4; （3） ＞－4(数轴上， 所对应的点在－4所对应点的右侧） 例 3 m，n两个有理数在数轴上的对应点如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．n＞m B．-m＞|n| C．-n＞|m| D．|n|＜|m| 解析：首先根据n、m的位置可得n＜0，m＞0，再在数轴上标出n、m的相反数-n、-m，进而得-m＜0，-n＞0，然后再根据数轴比较大小即可. D 1. [2023·黄石]有理数 a 与 b 在数轴上对应点的位置如图所 示，则它们的大小关系是(　C　) A. a ＞ b B. a ＝ b C. a ＜ b D. 无法确定 C 练一练 2. [新考法 数形结合法]有理数 a ， b 在数轴上的对应点的位 置如图所示，下列结论中正确的是(　D　) A. a ＜－2 B. b ＜1 C. a ＞ b D. － a ＞ b 【解析】 由数轴可知 a ＞－2， b ＞1， a ＜ b ，故选项A，B， C错误.易知 b ＜－ a ＜2，故选项D正确. D 3.数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、－1的大小关系是(　 　) A．－a<a<－1 B．－a<－1<a C．a<－1<－a D．a<－a<－1 C 练一练 4.把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接各数． －1.5，－0.5，－3.5，－5. 解：将这些数在数轴上表示出来，如图： 从数轴上可看出：－5<－3.5<－1.5<－0.5. 练一练 0 1 2 3 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 ﹣5 4 5 -1.5 -0.5 -3.5 -5 有最小的有理数吗？有最大的有理数吗？结合数轴说说. （1）0是最小的有理数.（ ） （2）-1是最大的负整数（ ） ╳ √ -3 –2–1 0 1 2 3 4 议一议 5. [2023·成都]在3，－7，0， 四个数中，最大的数是 (　A　) A. 3 B. －7 C. 0 D. 【解析】 用数轴比较大小，关键要将数对应的点在数轴上标出 来，利用数轴上左边的数小于右边的数进行大小比较. A 练一练 6.设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为(　　) A．0，－1，1 B．1，0，－1 C．1，－1，0 D．0，1，－1 A 练一练 做一做：在数轴上分别表示下列各对数，比较它们的大小： （1）-1 与 -3； （2）-5 与 -2. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 （1）-3<-1； （2）-5<-2. 解： 2.运用绝对值比较有理数的大小 新知探究 两个负数，绝对值大的反而小． 求出各对数的绝对值，并比较它们的大小. |-1|=1；|-3|=3； |-1|<|-3| |-2|=2； |-5|=5； |-2|<|-5| -5<-2 -3<-1 对比 观察 结论 试一试 7. [2023·宁波]在－2，－1，0，π这四个数中，最小的数是 (　A　) A. －2 B. －1 C. 0 D. π A 练一练 8. [新题型·情境结合法 2023·金华]某一天，哈尔滨、北京、 杭州、金华四个城市的最低气温分别是－20 ℃，－10 ℃，0 ℃，2 ℃，其中气温最低的是(　A　) A. －20 ℃ B. －10 ℃ C. 0 ℃ D. 2 ℃ A 9.比较下列各对数的大小： (1)－(－3)与|－2|； (2)－(－6)与|－6|. 解：∵－(－3)＝3，|－2|＝2， ∴－(－3)>|－2|；　　　　　 解：∵－(－6)＝6，|－6|＝6， ∴－(－6)＝|－6|. 练一练 比较有理数的大小时，应抓住两点： 1.识别数的正负性，直接利用“正数>0>负数”进行比较； 2.两个负数相比较，先比较其绝对值，再根据绝对值大的反而小的原则进行比较； 【注意】带有括号或是绝对值的两个数进行大小比较，需先化简，再比较大小. 最后的结果一定要是原来两数的大小关系. 总结归纳 课本练习 1.填空（填“>”或“<”）： （1）2 12； （2）2 - 3； （3）0 0.25； （4）-15 0. < < > < 2.把下列各数表示在数轴上，并用“>”把它们连接起来： -8，3，-10，-4，2，12. 解：如图，用“>”连接：12>3>2>-4>-8>-10. 课本练习 课本练习 3.比较下列各组数的大小： （1）-0.2与-0.25； （2）-0.1 与-0.01； （3）-9 与-9.1； （4） （5） （ 6） 【解】(1)-0.2>-0.25; (2)-0.1<-0.01; (3)-9>-9.1; （4） （5） （6） 易错点　对绝对值的几何意义理解不透而致错 1.[2023·徐州]如图，数轴上点 A ， B ， C ， D 分别对应 a ， b ， c ， d ，下列各式的值最小的是(　C　) A. ｜ a ｜ B. ｜ b ｜ C. ｜ c ｜ D. ｜ d ｜ 【解析】 由数轴可得点 A 离原点距离最远，其次是点 D ，再是 点 B ，点 C 离原点距离最近，则｜ a ｜＞｜ d ｜＞｜ b ｜ ＞｜ c ｜.所以值最小的是｜ c ｜. C 2. 有理数 a ， b ， c 在数轴上的对应点的位置如图所示. (1)在横线上填上“＞”或“＜”： a 0， b 0， c 0，｜ c ｜ ｜ a ｜； ＜　 ＞　 ＜　 ＞　 (2)在数轴上标出表示－ a ，－ b ，－ c 的点； 【解】如图. (3)用“＜”号将 a ，－ a ， b ，－ b ， c ，－ c ，0连 接起来. c ＜－ b ＜ a ＜0＜－ a ＜ b ＜－ c . 3. [新考法 变式训练法]如图，数轴上的点 A ， B ， C ， D 表 示的数分别是－1.5，－3，2，3.5. (1)将 A ， B ， C ， D 表示的数按从小到大的顺序用 “＜”号连接起来. 【解】－3＜－1.5＜2＜3.5. (2)若将原点改在 C 点，则点 A ， B ， C ， D 所表示的数 分别为多少？将这些数按从小到大的顺序用“＜”号 连接起来. 【解】若将原点改在 C 点，则点 A 表示的数为－3.5，点 B 表示的数为－5，点 C 表示的数为0，点 D 表示的数为1.5.－5＜－3.5＜0＜1.5. (3)改变原点位置后，点 A ， B ， C ， D 所表示的数的大 小顺序改变了吗？这说明了数轴的什么性质？ 【解】改变原点位置后，点 A ， B ， C ， D 所表示的数的大小顺序不会改变，这说明数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大. 1.把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接 起来. -3， ，-1，5， ，0，2，+7. 习题1.3 解：如图所示.-3＜ ＜-1＜0＜ ＜2＜5＜+7. -3 · · -1 · 0 · · 2 · 5 · +7 · 2.下面是某年一月份我国几个城市的平均气温： 北京 -4.5〬C，上海 3.2〬C，广州 15〬C， 长春 -18〬C，合肥 2.8〬C，昆明 12〬C， 把它们按从低到高的次序排列，并指出这年一月份哪个城市的平均气温最高，哪个城市的平均气温最低. 解：-18〬C＜-4.5〬C＜2.8〬C＜3.2〬C＜ 12〬C＜15〬C. 这年一月份长春的平均气温最低，广州的平 均气温最高. 解：（1）没有最大的正整数，有最小的正整数，是1. 3.结合数轴，回答下列问题： （1）有没有最大的正整数？有没有最小的正整数？如果有，是什么？ （2）没有最小的负整数，有最大的负整数，是-1. （2）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，是什么？ 解：如图所示. 4.（1）在数轴上表示：0，-1.4，-3， ； -1.4 · -3 · 0 · · （2）将（1）中各数用“＞”连接起来. 解： ＞0＞-1.4＞-3. 解：0的相反数是0；-1.4的相反数是1.4；-3的 相反数是3； 的相反数是 . 所以 ＜0＜1.4＜3. （3）将（1）中各数的相反数用“＜”连接起来. 解：|0|=0，|-1.4|=1.4，|-3|=|3|，| |= . 所以|0|＜| |＜|-1.4|＜|-3|. （4）将（1）中各数的绝对值用“＜”连接起来. 5.比较下列各组数的大小： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 ； （4） 与 . 解：（1） ＞ ； （2） ＞ ； （3） ＜ ； （4） ＞ . （5） 与 . （6） 与 . （7） 与 . （8） 与 . 解：（5） ＞ . （6） ＞ . （7） ＜ . （8） ＜ . 6.用“＞”或“＜”填空： （1）|+5| |-6|； （2）|-100| -(-101)； （3）|-0.1| |-0.01|；（4）| | ； （5）| | ； ＜ ＜ ＞ ＞ ＜ （6）3的相反数 5的相反数； （7）-2的相反数 -4的相反数； （8）-3的相反数 5的相反数. ＜ ＞ ＞ 解：画出数轴如图所示，则可知绝对值小于5的整数有-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 7.观察数轴，写出绝对值小于5的所有整数. 分层练习-基础 右边的 左边的 C B D 分层练习-基础 正数 负数 负数 小 D A 分层练习-基础 D C 分层练习-基础 ＞ ＝ ＜ ＞ 分层练习-基础 C A 分层练习-巩固 C D 分层练习-巩固 D D 分层练习-巩固 －35% A 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 两个有理数比较大小的“三种情况”： 1. 两数同号 2.两数异号：正数大于负数. 3.一数与0 课堂小结 有理数的大小比较 求绝对值比较有理数的大小 用数轴比较有理数的大小 步骤：画数轴，找点，排列，不等号连接. 正数大于0,0大于负数，正数大于负数. 步骤：求绝对值，比较绝对值，比较负数的大小. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 课堂小结 知识点一：利用数轴比较大小 数轴上不同的两个点表示的数， 点表示的数总比 的表示的数大． 1．(广东中考)如图所示， a与b的大小关系是(　 　) A．a＝b　　　 B．a＞b　　　 C．a＜b　　　 D．b＝2a 2．实数x、y在数轴上的位置如图所示，则(　 　) A．x＞y＞0 B．y＞x＞0 C．x＜y＜0 D．y＜x＜0 3．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB＝BC.如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在(　 　) A．点A的左边 B．点A与点B之间 C．点B与点C之间 D．BC中点与点C之间或点C的右边 知识点二：利用法则比较大小 大于0,0大于 ，正数大于 ．两个负数比较，绝对值大的反而 ． 4．下列四个数中最大的数是(　 　) A．－2　　　　 B．－1　　　 C．0　　　　 D．1 5．下列各数中，比－1小的数是(　 　) A．－2 B．0 C．1 D．2 6．下列比较大小正确的是(　 　) A．－eq \f(1,2)＞－eq \f(1,3) B．－|－1|＝－(－1) C.eq \f(1,2)＜eq \f(1,3) D．|－eq \f(1,2)|＞|－eq \f(1,3)| 7．在有理数－eq \f(22,7)、－3eq \f(1,6)、－3.1、－|－eq \f(25,8)|中，最大的数是(　 　) A．－eq \f(22,7) B．－3eq \f(1,6) C．－3.1 D．－|－eq \f(25,8)| 8．比较下列各对数的大小． (1)－(－3) |－2|； (2)－(－4) |－4|； (3)－eq \f(4,5) －eq \f(2,3)； (4)－(－7) －1. 9．比较－2.4、－0.5、－(－2)、－7的大小，正确的是(　 　) A．－7＞－2.4＞－(－2)＞－0.5 B．－(－2)＞－7＞－2.4＞－0.5 C．－(－2)＞－0.5＞－2.4＞－7 D．－7＞－(－2)＞－2.4＞－0.5 10．五个数，4、－2、0、－|－4|、－[－(＋5)]中，其中比零小的数的个数是(　 　) A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 11．冬季某天我国三个城市的最高气温分别是－10℃，1℃，－7℃.把它们从高到低排列正确的是(　 　) A．－10℃，－7℃，1℃ B．－7℃，－10℃，1℃ C．1℃，－7℃，－10℃ D．1℃，－10℃，－7℃ 12．如图，下列关于数m、n的说法正确的是(　 　) A．m＝n B．m＞n C．m＞－n D．m＝－n 13．有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、1的大小关系正确的是(　 　) A．－a＜a＜1 B．a＜－a＜1 C．1＜－a＜a D．a＜1＜－a 14．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a、－a、b、－b的大小关系是(　 　) A．－b＞a＞－a＞b B．a＞－a＞b＞－b C．b＞a＞－b＞－a D．－b＜a＜－a＜b 15．在数－0.314、－(－eq \f(1,3))、0.3、－35%、－0.3334、|－eq \f(1,4)|中，最大的数是 　 　，最小的数是 . 16．如果把数轴上表示－eq \f(1,2)和－eq \f(3,5)的点分别记为A和B，那么点 离原点的距离较近． 17．将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接： －3、－(－2)、0、|－4|、3eq \f(1,2)、－1.5、－|－5|. －(－eq \f(1,3)) 解：(1)数轴略；　(2)－|－5|＜－3＜－1.5＜0＜－(－2)＜3eq \f(1,2)＜|－4|. 18．点A、B在数轴上的位置如图所示，它们分别表示数a、b. (1)请将a、b、1、－1四个数按从小到大的顺序排列起来； (2)若将点B向右移动3个单位长度，请将a、b、－1三个数按从小到大的顺序排列起来． 解：(1)b＜－1＜a＜1；(2)－1＜a＜b. 利用数轴比较有理数大小． 1.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，试比较a、b、－a、－b的大小，并用“＞”号把它们连接起来． 【思路分析】由相反数和绝对值的定义，可在数轴上把－a、－b表示出来，利用数轴就可以比较它们的大小了． 【规范解答】如图，在数轴上把－a、－b表示出来： 观察数轴，得b＞－a＞a＞－b. 【方法归纳】用字母表示的数比较大小时，通常用数轴的方法，数轴形象直观，这种方法也可快速、准确地解决相反数、绝对值的大小比较． 利用绝对值比较有理数的大小． 2.比较下列有理数的大小： (1)－eq \f(2,3)和－eq \f(1,2)； (2)－8和－6.1. 【思路分析】首先求出它们的绝对值，然后对绝对值进行比较，再利用“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”得出两负数的比较结果． 【规范解答】(1)|－eq \f(2,3)|＝eq \f(2,3)＝eq \f(4,6)， |－eq \f(1,2)|＝eq \f(1,2)＝eq \f(3,6)，因为eq \f(4,6)＞eq \f(3,6)， 所以－eq \f(2,3)＜－eq \f(1,2)；(2)|－8|＝8，|－6.1|＝6.1，因为8＞6.1，所以－8＜－6.1. 先化简符号再比较大小． 3.比较下列每组数的大小： (1)－eq \f(4,5)与－|－eq \f(3,4)|； (2)－π与－|－3.14|. 【思路分析】先化简，再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数”，还是“两个负数”，然后比较． 【规范解答】(1)化简得：－|－eq \f(3,4)|＝－eq \f(3,4)，因为|－eq \f(4,5)|＝eq \f(4,5)＝eq \f(16,20)，|－eq \f(3,4)|＝eq \f(3,4)＝eq \f(15,20)，且eq \f(16,20)＞eq \f(15,20)，所以－eq \f(4,5)＜－|－eq \f(3,4)|； (2)化简得：－|－3.14|＝－3.14，因为|－π|＝π，|－3.14|＝3.14，π＞3.14，所以－π＜－|－3.14|. 【方法归纳】(1)比较大小时，通常需判断数的符号和求数的绝对值；(2)比较大小时，有时需先化简原数，但最后的结果一定是原来两数的大小关系． $$