第02讲 数轴、相反数和绝对值、有理数的大小比较(9个知识点+18个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪科版2024）

第02讲 数轴、相反数和绝对值、有理数的大小比较 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系； 2. 会正确的画出数轴，利用数轴上的点表示有理数. 3. 会进行有理数的大小比较 知识点一 数轴 1. 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注意】原点是数轴的基准点，也是正数和负数的分界点。 2.数轴的画法 （1） 在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. (1)绘制数轴时,它的三个要素缺一不可,另外,标注数轴上的点时，需要注意从原点开始向两侧排列； (2)在同一条数轴上,单位长度的大小必须统一； (3)数轴的正方向可以任意选取,通常规定向右或向上为正.可以选取1cm或2cm为一个单位长度，甚至更长或更短;每位长度可以代表“1”“10”“0.1”“500”“0.02”等等。 3.数轴上的点与有理数的对应关系 数轴上的每一个点都表示一个数，每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数.（如π可以用数轴上的点表示，但π不是有理数.） 【注意】数轴是“数”“形”结合的工具，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示. 例1. 下列图形中，表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、单位长度不一致，故本选项错误； B、负半轴的数据标注错误，故本选项错误； C、没有表示正方向的箭头，故本选项错误； D、数轴表示正确，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题是对数轴的考查，熟记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度以及数轴上的数的特点是解题的关键． 【变式1-1】（2022秋·河北邢台·七年级校考期中）画出数轴并表示下列有理数：，，，3，0.用“>”号把这五个数连接起来. 【答案】图见解析； 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＞”号连接起来即可． 【详解】解：如图所示： 故 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． 【变式1-2】 （1）画出数轴并表示下列有理数：，0，，0.75，，3． （2）在上述六个数中，最小的数是哪个？ （3）表示的点与表示的点相差几个单位长度？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）表示的点与表示的点相差个单位长度． 【分析】（1）在数轴上画出各点即可； （2）根据数轴上所表示的数右边的总比左边的大，即可得出答案； （3）根据数轴上两点之间距离的计算方法计算即可． 【详解】解：（1）在数轴上表示，如图所示； （2）由数轴表示数的特征可知，最小数是； （3）， ∴表示的点与表示的点相差个单位长度． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点之间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 温馨提示： （1）取原点的方法: 画数轴时，直线上的任意一点都可以作为原点，根据实际情况确定.当表示的正数多时,可以把原点设置在靠左的位置;当表示的负数多时，可以把原点设置在靠右的位置;当正、负数分布较均匀时，可以把原点取在中间. （2）单位长度的选取方法: 画数轴时，单位长度的选取要视题目中的数据情况而定.表示数据不能太密，也不能太稀疏. （3）确定数的位置的方法: 画数轴后,通常把表示单位长度的数写在数轴对应位置点的下方，所要表示的数写在数轴对应位置点的上方. 知识点二 相反数的概念 （1） 像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.把其中一个数叫做另一个数的相反数.（符号不同是代数意义） 【拓展】只有符号不同的两个式子叫做互为相反式.把其中一个式子叫做另一个式子的相反式.（整体思想） （2）一般地，a和-a互为相反数.特别地，0的相反数是0. 表示相反数的两个点在数轴上分别位于原点的左、右两边，且到原点的距离相等.如图所示，-3和3，-2.5和2.5分别互为相反数，表示它们的点到原点的距离分别是3，2.5 例2. （2023·湖南湘西·统考中考真题）的相反数是（    ） A． B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义直接求解即可． 【详解】解：的相反数是2023， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数的求解，理解相反数的定义是解题关键． 【变式2-1】 （2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数轴得到A表示的数，再求其相反数即可． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是9，相反数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴和相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 温馨提示： （1）相反数的定义中“只有”指的是除了符号不同外其他完全相同. （2）相反数的定义中“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在. （3）数轴上与原点的距离是a（a＞0）的点有两个，分别在原点左右两边，它们互为相反数. （4）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等. （5）-a不一定是负数，a不一定是正数，字母本身没有符号，它的符号是人为定义的，对字母表示数的时候，一定要看清楚字母的取值范围。例如当a＜0，则-a＞0. 知识点三 相反数的性质 （1）任何一个数都有唯一一个相反数.正数的相反数是负数;负数的相反数是正数;0的相反数是0. （2）若a，b互为相反数，则a＝-b或b＝-a或a+b＝0. 例3. 下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 知识点四 求一个数的相反数的方法 （1）一个具体数，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数. （2）用字母表示数，只需在字母前面加上“-”号，就可以得到对应的相反数. 例4. 填空： （1）的相反数是 ； （2） 是的相反数； （3）是 的相反数； （4） 的相反数是； （5）8.2和 互为相反数． （6）a和 互为相反数． （7） 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【分析】根据相反数的定义逐一解答即可． 【详解】解：（1），相反数是； 故答案为：； （2）100是的相反数； 故答案为：100； （3）是的相反数； 故答案为：； （4）1.1的相反数是； 故答案为：1.1； （5）8.2和互为相反数． 故答案为：； （6）a和互为相反数． 故答案为：； （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身． 故答案为：负数，0． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键． 知识点五 多重符号的化简 多重符号化简的依据是相反数的定义，如表示的相反数，所以. 化简规律:一个具体的数前面有几个正、负号时，化简结果是由“-”号的个数决定的(奇负偶正）. 例5. （2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）的相反数（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得． 【详解】的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键． 知识点六 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 温馨提示： a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 例6. （2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）绝对值最小的有理数是（    ） A．1 B． C．0 D．没有 【答案】C 【分析】熟悉绝对值的性质：正数的绝对值大于0，负数的绝对值也是大于0，0的绝对值是0；根据绝对值的性质进行解答，即可求得答案． 【详解】正数的绝对值大于0，负数的绝对值也是大于0，0的绝对值是0，所以绝对值最小的数是0． 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【变式6-1】如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数． 知识点七 绝对值的性质 （1）一个正数的绝对值是它本身; （2）一个负数的绝对值是它的相反数; （3）0的绝对值是0. 温馨提示： (1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0. (2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数). （3）对于任意有理数都有≥0，即： （4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则＝;绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若＝，则＝或＝-（+＝0）. （5）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大. （6）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 例7. （2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）已知数轴上表示的点到原点的距离为10，表示的点在原点的左侧，求的值． 【答案】2 【分析】根据绝对值的意义以及数轴上点的特性即可求出答案． 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离为10， ， 或， 或． 当时，在原点左侧； 当时，在原点右侧． 表示的点在原点的左侧， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了绝对值的意义和数轴上的点，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义． 知识点八 绝对值非负性的应用 若几个数的绝对值的和为0，则这几个数同时为0. 拓展：若几个非负数的和为 0,则每个非负数都为 0. 解题技巧：若+++…=0，则有=0，=0，=0，…，所以=0，=0，=0，…. 例8.（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 / 5 【分析】根据绝对值的非负性进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，熟知几个非负数相加的结果为0，那么这几个非负数的值都为0是解题的关键． 【变式8-1】若，则 ． 【答案】4 【分析】根据非负数的性质列出方程求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】根据题意得： 解得： 则 故答案为：4． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0． 知识点九 有理数的大小比较 方 法 内 容 利用数轴 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大 利用法则 （1） 正数大于0，0大于负数，正数大于负数; （2） 两个负数，绝对值大的反而小; （3） 两个正数，绝对值大的数大 例9. 比较下列各组数的大小： (1)与1 (2)与 (3)与 (4)与 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正数与负数的特点即可得出结论； （2）先去括号与绝对值符号，再比较大小即可； （3）根据负数比较大小的法则进行比较即可； （4）先去绝对值符号，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：，，且， ∴； （4）解：，，且， ∴． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键． 【变式9-1】（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，， （2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示： ①在数轴上分别表示出数， ， ②把，，，这四个数从小到大用“”号连接． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）先化简各数，再在数轴上表示各数即可； （2）①由，再利用相反数的含义在数轴上描出，即可；②利用数轴比较，，，的大小即可． 【详解】解：（1）∵，，， 在数轴上表示如下图， （2）①∵， ∴， 在数轴上分别表示数，如下图； ②由数轴可得：． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，相反数的含义，绝对值的含义，绝对值的化简，利用数轴比较有理数的大小，掌握以上基础知识是解本题的关键． 考点一：数轴的三要素及其画法 例1．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A．数轴上的点应该越向右越大，与位置颠倒，故此选项不符合题意； B．没有原点，故此选项不符合题意； C．没有正方向，故此选项不符合题意； D．数轴画法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是数轴的定义，数轴是规定了原点，正方向和单位长度的直线；根据上述定义，逐一判断各选项，即可得到结论． 【详解】解：A．没有规定正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B．有了原点，正方向和单位长度，是数轴，故本选项符合题意； C．没有负半轴，且不是直线，故不是数轴，故本选项不符合题意； D．单位长度不均匀，不是数轴，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）下列四个选项中，所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴定义，熟记数轴三要素：原点、单位长度和正方向，逐项验证即可得到答案，熟记构成数轴的三要素是解决问题的关键． 【详解】解：A、没有原点，所画数轴错误，不符合题意； B、单位长度不统一，所画数轴错误，不符合题意； C、数轴上的点表示的数必须是左边小、右边大，所画数轴错误，不符合题意； D、所画数轴正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图各图中，表示的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的三要素，即可解答． 【详解】 解：如上图各图中，表示的数轴正确的是 故选：C． 考点二：用数轴上的点表示有理数 例2.（23-24七年级上·安徽安庆·期中）在数轴上表示和两点之间的整数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，根据题意找出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：在数轴上表示和两点之间的整数有，，，0，1，2，3共7个． 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）一只蚂蚁位于数轴的原点，现在向右爬了4个单位长度到了点A，则点A所表示的数是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上点的表示．根据题意利用题干信息及数轴上原点左侧表示负数，右侧表示正数即可得到本题答案． 【详解】解：∵一只蚂蚁位于数轴的原点，现在向右爬了4个单位长度到了点A， ∴点A所表示的数是：， 故选：A． 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知是数轴上的三个点，且在的右侧，点表示的数分别是1，3，如图所示，若，则点表示的数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了数轴，有理数用数轴上的点表示，掌握有理数与数轴上点的关系是关键．根据题意计算、长度，再计算长度，即可得出答案． 【详解】解：点表示的数分别是1，3， ， ， ， 点表示的数是9． 故答案为：9 【变式2-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴中每个小格表示1个单位长度，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上表示的数，正确根据点A所表示的数求出点B表示的数是解决问题的关键. 【详解】解：点B表示的数是， 故答案为：． 考点三：利用数轴比较有理数的大小 例3.（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若数轴上的点A，B分别与有理数a，b对应，则下列关系正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，数轴．直接观察数轴可得，再逐项判断，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，故B选项错误，不符合题意； ∴，，，故A选项正确，符合题意；C、D选项错误，不符合题意； 故选：A 【变式3-1】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）已知有理数a，b，C在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴确定a，b，c的属性，利用实数的大小比较原则计算即可．本题考查了数轴表示数，实数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键． 【详解】A、∵，∴，错误，不符合题意； B、∵，∴，错误，不符合题意； C、∵，∴，错误，不符合题意； D、∵，∴，正确，符合题意； 故选D． 【变式3-2】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）有理数在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴定义与性质，涉及利用数轴比较有理数的大小，根据数轴左边点对应的数小于右边的点对应的数即可得到答案，理解数轴定义与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，，且， ， 故选：A． 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值、相反数等知识点，能正确在数轴上表示各个数是解此题的关键，且要注意在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【详解】解：，， 在数轴上表示各数如图所示： 它们的大小关系为：． 考点四：数轴上两点之间的距离 例4．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）在数轴上，点M，N分别表示数m，1．若，则点M表示的数是（    ） A．5 B．或5 C．4 D． 【答案】B 【分析】题考查数轴上两点间的距离表示方法，根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵点M，N分别表示数m，1．若， ∴， 解得或， 故选B． 【变式4-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若数轴上有理数a与之间的距离是5，则 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的化简，根据题意可得，当时或者时分别求出a值即可． 【详解】解：根据题意得：， 即：， ∴当时，， 当时，． 综上：或 故答案为：4或． 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（    ） A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 之间距离小于3， ， 原点不在之间， 原点是M或R． 故选：B． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义： 例1：已知求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为___________． (2)已知，则x的值为___________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当___________时，式子有最小值，最小值为___________． 【答案】(1) (2)2或 (3)8 (4)3，7 【分析】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）根据，表示在数轴上与的距离为3的点对应的数，求出答案； （3）表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和，因此当x在2与之间时，这个距离之和最小，最小值为2与之间的距离8， （4），根据问题（3）可知，要使的值最小，x的值只要取到6之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取3，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8， 故有最小值，是8； （4）解：由分析可知，当时式子有最小值，把代入原式， 故答案为：3；7． 考点五：数轴上的动点问题 例5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，若t秒后C、D两点相距5个单位长度，则t的值为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查绝对值的非负性．数轴上点的表示及线段和差表示线段长．先求出的值，再根据运动时间分情况讨论的长，列式求解即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∵若t秒后C、D两点相距5个单位长度，根据题意得： 点到达时运动时间为（秒），点到达时运动时间为（秒）， 点从原点出发反向先到达点所用时间为（秒）， 根据题意分情况讨论： ①当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：， ②当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：（舍）， ③当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：或， 综上所述：秒，秒，秒后C、D两点相距5个单位长度， 【变式5-1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，且满足    （1）求点A、B两点对应的有理数是 ； （2）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过 秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍． 【答案】 ，； 或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）分点P在B点左侧右侧两类讨论，结合距离问题列式求解即可得到答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故答空1答案为：，； （2）当点P在B点左侧时， ，， ∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍， ∴， 即：， 解得：， 当点P在B点右侧时， ，， ∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍， ∴， 即：， 解得：， 故答空2答案为：或； 【点睛】本题考查绝对非负性应用及数轴上动点距离问题，解题的关键是注意分类讨论． 【变式5-2】（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3)当时，的值不变． 【分析】（）根据绝对值的意义解方程即可求解； （）由得到所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离，根据两点间距离公式计算即可求解； （）根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变,分别求出点从点运动到点和到点的时间即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变, 点从点运动到点的时间为秒， 点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，的值不变． 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上，表示数1的点记为O，我们把到O点距离相等的两个不同点M和N，称为基准1的对称点．例如：图中，点M表示数，点N表示数3，它们与表示数1的点O的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准1的对称点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准1的对称点． ①若，则b=__________； ②用含a的式子表示b，则b=__________； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数对应的点沿着数轴向左移动2个单位长度得到点B．若点A与点B互为基准1的对称点，求点A表示的数． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查列代数式以及新定义下的计算，理解题意是解决问题的关键； （1）①根据定义即可解决； 分为和两种情况分别计算即可； （2）设点A表示数a，则B表示的数为：，根据定义计算即可； 【详解】（1）①由题意可得：， ∴； ②当，由题意可得：， ∴， 当，同理可得：， ∴， 综上所述：． （2）设点A表示的数为a，则点B表示的数为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点六：根据点在数轴的位置判断式子的正负 例6．（22-23七年级下·广东河源·阶段练习）数在数轴上所对应点如图所示：化简 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的意义，利用数，，在数轴上所对应点的位置，判断出，的符号是解题的关键． 利用数，，在数轴上所对应点的位置，判断出，的符号，再利用绝对值的意义化简求值即可． 【详解】解：由题意得：，， ，， ． 故答案为：． 【变式6-1】．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴的应用，由数轴确定a、b、c的符号是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，然后运用整式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由图示可得：且，则，即B选项正确，符合题意． 故选：B． 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）有理数在数轴上的位置如图所示．下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，先根据数轴得到，进而得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴，，， ∴四个选项中只有C选项中的式子错误，符合题意， 故选：C． 【变式6-3】 （23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在数轴上点，，对应的有理数分别是，，．下列结论：①；②；③；其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子的正负，掌握相关知识是解题的关键．根据数轴可知，然后分析判断即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴，，， 所以，结论正确的有①②． 故选：D． 考点七：相反数的定义 例7.（2024·安徽六安·一模）相反数是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：相反数是． 故选：A． 【变式7-1】（2024·安徽合肥·二模）的相反数是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是相反数，掌握其定义是解决此题的关键． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可； 【详解】解：的相反数是4． 故选：B． 【变式7-2】（2024·安徽蚌埠·二模）与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的判断和定义，根据相反数的判断和定义得出答案即可，理解“和为零的两数互为相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：∵与数4的和等于0， ∴该数是4的相反数，即为， 故选：B． 【变式7-3】（2024·安徽合肥·一模）的相反数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 【答案】A 【分析】本题考查了化简绝对值以及相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作答． 【详解】解： ∴的相反数是 故选：A 考点八：判断是否互为相反数 例8．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，解题的关键是注意：两个数符号不同，但是绝对值相等，就是互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．与互为相反数，符合题意； B．两个数的绝对值不同，不是互为相反数，不符合题意； C．两个数的绝对值不同，不是互为相反数，不符合题意； D．，即两个数相等，不是互为相反数，不符合题意． 故选：A． 【变式8-1】（23-24七年级上·湖北宜昌·阶段练习）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．3和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，解题的关键是根据相反数的性质化简多重符号． 【详解】解：A、，故不是相反数，不合题意； B、3和不是相反数，不合题意； C、和不是相反数，不合题意； D、，，是相反数，符合题意； 故选：D． 【变式8-2】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各数中，一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】先对各数进行化简，再根据相反数的定义逐项判断． 【详解】解：A.因为，， 所以和不是相反数，不符合题意； B.因为，， 所以和不是相反数，不符合题意； C.因为，， 所以和不是相反数，不符合题意； D.因为， 所以和一定互为相反数，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值，相反数，正确化简各数是解题的关键． 【变式8-3】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（        ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据相反数和绝对值的定义解决此题． 【详解】A．根据绝对值的定义，，，得和不是相反数，选项不符合题意． B．根据相反数的定义，，，得和不是相反数，选项不符合题意． C．根据相反数的定义，，，得和互为相反数，选项符合题意． D．根据相反数的定义，，得和不是相反数，选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相反数和绝对值，熟练掌握相反数以及绝对值的定义是解决本题的关键． 考点九：化简多重符号 例9．（2024·安徽亳州·三模）下列各数中是负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，相反数以及负数的定义，把A、B化简后根据负数的定义判断即可． 【详解】解：A．是正数，不符合题意；     B．是正数，不符合题意；     C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意； D．是负数，符合题意； 故选：D． 【变式9-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中不成立的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则，据此计算，分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、所以A选项的等号成立，本选项不符合题意； B、，，则，所以B选项的等号成立，本选项不符合题意； C、，所以C选项的等号不成立，本选项符合题意； D、，所以D选项的等号成立，本选项不符合题意． 故选：C． 【变式9-2】（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数：①和；②和；③和；④和；⑤和其中互为相反数的有（    ）． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】A 【分析】先求出各式，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：①和，相等，不互为相反数； ②和，互为相反数； ③和，不互为相反数； ④和，相等，不互为相反数； ⑤和，互为相反数； 综上，互为相反数的是②⑤，共2组， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相反数的判断，准确理解相反数的性质是解题的关键． 【变式9-3】（22-23七年级上·安徽滁州·期中） ． 【答案】3 【分析】根据相反数、绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查相反数、绝对值，理解相反数、绝对值的定义是正确解答的前提． 考点十：相反数的应用 例10．（23-24九年级下·山东烟台·期中）数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 根据相反数的几何意义可知：与互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答． 【详解】解：由题意知： 与互为相反数， ， 解得：． 故选：D． 【变式10-1】 （22-23七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 【变式10-2】 （23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）若与互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，绝对值的非负性，直接利用非负数的性质得出，的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式10-3】 （23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相反数的意义，有理数与数轴，根据数轴比较有理数的大小； （1）根据题意确定原点的位置，进而即可求解； （2）先化简，，然后再在数轴上表示各数，即可求解； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“”连接起来． 【详解】（1）解：∵直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数， ∴点表示是数是，点表示的数是 故答案为：． （2）解：，， 如图所示， （3）解：根据数轴可得， 考点十一：相反数的应用 例11．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．负数 B．负数和 C．正数和 D．正数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．根据绝对值的性质解答． 【详解】解：如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数和． 故选：C． 【变式11-1】 （23-24七年级上·安徽黄山·期中）已知，，则b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的几何意义解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 则， 故选：D． 【变式11-2】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示点和绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．利用绝对值的定义得出，求解即可． 【详解】解：∵数轴上表示数x的点与原点的距离不大于3， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-3】（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 考点十二：求一个数的绝对值 例12．（2024·安徽合肥·二模）下列各数中，绝对值大于3的是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，根据题意求出各个选项的绝对值，即可得；解题的关键是掌握绝对值． 【详解】解：A、，选项说法正确，符合题意； B、，选项说法错误，不符合题意； C、0的绝对值是0，选项说法错误，不符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式12-1】（2024·安徽马鞍山·二模）的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据是正数，正数的绝对值是它本身，即可作答． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 【变式12-2】（23-24九年级下·安徽芜湖·阶段练习）等于（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，根据绝对值的意义，求出结果即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式12-3】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）的相反数为（    ） A． B．－ C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数和绝对值，关键是掌握绝对值的意义及相反数的定义． 先化简绝对值，再求出相反数． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 考点十三：化简绝对值 例13．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值是解题的关键． 由数轴可知，，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式13-1】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是（    ） A．0或1 B．0或 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简，分和两种情形计算即可． 【详解】当时，； 当时，； 故选A． 【变式13-2】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如果，那么化简等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据表示数轴上表示m的点到表示有理数3，4的点距离之和解答即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知， 表示数轴上表示m的点到表示有理数3，4的点距离之和， ∵， ∴数轴上表示m的点在表示有理数3，4的点之间， 等于表示有理数3，4的点之间的距离1， 故答案为：1． 【变式13-3】 （23-24七年级上·广西玉林·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．    (1) _______0， _______0， ______0（请用“”或“”填空）； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据各点在数轴上的位置判断出a，b，c的符号，即可判断各式的符号； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可化简求解． 本题考查的是数轴与绝对值相结合的问题，解答此类问题的关键是数值数轴的特点及绝对值的性质． 【详解】（1）由图可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）∵，， ∴=． 考点十四：绝对值非负性 例14．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 【变式14-1】（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质列式求、的值，然后代入计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【变式14-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，直接利用绝对值的非负性得出，的值，进而代入即可得出答案，正确得出，的值是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式14-3】（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据相反数的性质，绝对值的非负性即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相反数的性质，绝对值的性质，掌握两个数互为相反数，则这两个数的和为零，绝对值的性质是解题的关键． 考点十五：绝对值方程 例15．（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 【变式15-1】（22-23七年级上·安徽安庆·期末）若方程无解，方程有一个解，方程有两个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，绝对值的性质，根据解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：， ， 无解， ； 同理方程有一个解，即； 同理方程有两个解，； ， 故选：A． 【变式15-2】（22-23七年级上·安徽池州·期末）若关于的方程有两个解，无解，只有一个解，则的大小关系是 用“”连接）． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义可知，，，即可获得答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个解， ∴， ∵无解， ∴， ∵只有一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题关键． 【变式15-3】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下面例题的解题方法． 解方程：． 解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， 所以原方程的解是或． 请仿照上面例题的解题方法，解方程：． 【答案】或 【分析】根据阅读材料的解题过程结合绝对值的意义即可求解． 【详解】解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， ∴原方程的解是或． 【点睛】本题考查了绝对值方程的解答方法，读懂阅读材料，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 考点十六：绝对值的其他应用 例16.（21-22七年级上·天津和平·期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，． 【变式16-1】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 【变式16-2】（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【答案】(1)7；数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离， (2)2， (3)超市的位置应在B，C两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小 【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论； （2）使成立的所有整数，就是−5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可； （3）由题意可知，，所以超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【详解】（1）如图（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离，    （2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数， ∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，，    （3）由题意可知，且， ∴超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的几何意义是解答此题的关键． 【变式16-3】（21-22七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|，如果表示数a和－1的两点之间的距离是2，那么a＝ ． （2）若数轴上表示数a的点位于－2与4之间，求|a－4|＋|a＋2|的值． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ． （4）当a＝ 时，|a＋3|＋|a－1|＋|a－4|的值最小，最小值是 ． 【答案】（1）5，1或−3；（2）6，（3）12；（4）1，7． 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案； （3）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． （4）根据分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：（1）表示－3和2两点之间的距离是5，|-3−2|＝5；一般地，数轴上表示m和数n的两点之间的距离等于|m−n|．如果表示数a和−1的两点之间的距离是2，则可记为：|a＋1|＝2，那么a＝1或−3； 故答案为： 5，1或−3； （2）∵−2＜a＜4， ∴|a−4|＋|a＋2|＝4−a＋2＋a＝6， （3）当x＞5时，|x＋2|＋|x−5|＝x＋2＋x−5＝2x−3＞7， 当−2≤x≤5时，|x＋2|＋|x−5|＝x＋2＋5−x＝7， 当x＜−2时，|x＋2|＋|x−5|＝−x−2＋5−x＝−2x＋3＞7， ∴使得|x＋2|＋|x−5|＝7的所有整数为：−2，−1，0，1，2，3，4，5， ∵−2＋（−1）＋0＋1＋2＋3＋4＋5＝12， 故答案为：12； （4）当a＞4时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝a＋3＋a−1＋a−4＝3a−2＞10， 当1＜a≤4时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝a＋3＋a−1＋4−a＝6＋a，则7＜6＋a≤10， 当−3＜a≤1时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝a＋3＋1−a＋4−a＝8−a，则7≤8−a＜11， 当a≤−3时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝−a−3＋1−a＋4−a＝−3a＋2≥11， 由上可得，当a＝1时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|的值最小，最小值是7， 故答案为：1，7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答． 考点十七：有理数大小比较 例17.（2024·安徽合肥·模拟预测）下列四个数中，最小的是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值，熟练掌握两个负数比较，绝对值小的反而大是解题的关键．根据两个负数比较，绝对值小的反而大，负数小于0，0小于正数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在这四个数中，， ∴最小的是， 故选：B． 【变式17-1】（2024·安徽合肥·一模）在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．本题考查了有理数的大小比较． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：B． 【变式17-2】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列各数中，最大的数是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式17-3】（2024·安徽淮南·模拟预测）在2，，，3这四个数中，比小的数是（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，负数的绝对值越大的数反而小，据此即可作答． 【详解】解：是正数比负数大， 则， ∴比小的数是， 故选：C． 考点十八：有理数大小比较的实际应用 例18.在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意，根据绝对值的定义，分别计算几个足球的绝对值，再结合有理数大小比较的性质计算，即可得到答案；本题的关键是熟练掌握并运用绝对值的性质. 【详解】∵，，， ∴， ∴0.5最接近标准， 故选：B. 【变式18-1】（2023·安徽合肥·二模）甲、乙、丙、丁四名篮球运动员在同一场比赛中投篮情况如下表： 甲 乙 丙 丁 投篮次数 20 25 25 30 投中次数 13 14 15 18 这四名篮球运动员投篮命中率最高的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】分别计算命中率，然后比较大小即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴甲的命中率高． 故选A． 【点睛】本题考查有理数的比较，能比较有理数的大小是解题的关键． 【变式18-2】该县某几个村子的小龙虾养殖基地2021年第二季度比第一季度的产值增长率统计情况，其中产值增长率最小的养殖基地是（　　） 养殖基地 李洼 王洼 贾庄 吴庄 增长率 3.25% 4.6% A．李洼 B．王洼 C．贾庄 D．吴庄 【答案】B 【分析】比较各个增长率的大小即可作答． 【详解】∵， ∴王洼的产值增长率最小， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，正大于0，0大于负数；负数中，绝对值越大的数其本身越小． 【例1】若，则一定是　　 A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 【分析】已知式子表示绝对值等于其相反数的数，根据正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可进行判断． 【解答】解：正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数也是它的本身，因而绝对值是它本身的数是正数或0，故选． 【点评】本题考查了绝对值的意义，容易出现的问题是忘记0，0的绝对值既是它的本身又是它的相反数． 易错攻克 “0的绝对值为 0”也可以叙述为“0的绝对值是它本身”或“0的绝对值是它的相反数” 【例2】若，为有理数，且，，且，则的值等于　　． 【答案】． 【分析】对，，依据绝对值的性质求出、的值；然后根据，可知、异号，故可对上步所得到的、的值进行分类取值；接下来将、的值代入待求式中进行计算即可得到答案． 【解答】解：因为，， 所以，， 又因为， 所以，或，， 则． 故答案为：． 【点评】本题侧重考查有理数除法的题目，掌握有理数的除法法则是解决本题的关键． 易错攻克 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数， 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）有理数的相反数是（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案． 【详解】解：有理数的相反数是2024， 故选：C． 2．（2014·北京房山·一模）的绝对值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题的关键． 根据绝对值的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的绝对值为， 故选：C． 3．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可． 【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B、正确； C、不正确，错误原因：缺少正方向； D、不正确，错误原因：缺少了原点． 故选：B． 4．（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：； 故选C． 5．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题综合考查了数轴上两点之间的路线，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 在数轴上表示出A点，找到与点A距离2个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点的左侧或右侧． 【详解】如图所示， ∴在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是和． 故选B． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相反数，解题的关键是切记求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，若原数带有符号（不论正负），则应先添括号，根据相反数的定义即可得到答案． 【详解】解： ； 故答案为：． 7．（2023·江苏盐城·模拟预测）在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为 . 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是注意数形结合．根据可得当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，即可求解． 【详解】解：， 当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，最少整数点为个， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 【答案】，，． 【分析】解：本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 75．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 【答案】（1）点表示的数是点表示的数是；（2）图见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查数轴的特点，有理数与数轴的性质，两点之间距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据数轴特点，图形结合即可求解； （2）将有理数在数轴上表示即可； （3）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得，点表示的数是点表示的数是； （2）如图所示，点表示和点表示． （3）设点表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点对应的数是或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴、相反数和绝对值、有理数的大小比较 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系； 2. 会正确的画出数轴，利用数轴上的点表示有理数. 3. 会进行有理数的大小比较 知识点一 数轴 1. 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注意】原点是数轴的基准点，也是正数和负数的分界点。 2.数轴的画法 （1） 在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. (1)绘制数轴时,它的三个要素缺一不可,另外,标注数轴上的点时，需要注意从原点开始向两侧排列； (2)在同一条数轴上,单位长度的大小必须统一； (3)数轴的正方向可以任意选取,通常规定向右或向上为正.可以选取1cm或2cm为一个单位长度，甚至更长或更短;每位长度可以代表“1”“10”“0.1”“500”“0.02”等等。 3.数轴上的点与有理数的对应关系 数轴上的每一个点都表示一个数，每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数.（如π可以用数轴上的点表示，但π不是有理数） 【注意】数轴是“数”“形”结合的工具，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示. 例1. 下列图形中，表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、单位长度不一致，故本选项错误； B、负半轴的数据标注错误，故本选项错误； C、没有表示正方向的箭头，故本选项错误； D、数轴表示正确，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题是对数轴的考查，熟记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度以及数轴上的数的特点是解题的关键． 【变式1-1】画出数轴并表示下列有理数：，，，3，0.用“>”号把这五个数连接起来. 【变式1-2】（1）画出数轴并表示下列有理数：，0，，0.75，，3． （2）在上述六个数中，最小的数是哪个？ （3）表示的点与表示的点相差几个单位长度？ 温馨提示： （1）取原点的方法: 画数轴时，直线上的任意一点都可以作为原点，根据实际情况确定.当表示的正数多时,可以把原点设置在靠左的位置;当表示的负数多时，可以把原点设置在靠右的位置;当正、负数分布较均匀时，可以把原点取在中间. （2）单位长度的选取方法: 画数轴时，单位长度的选取要视题目中的数据情况而定.表示数据不能太密，也不能太稀疏. （3）确定数的位置的方法: 画数轴后,通常把表示单位长度的数写在数轴对应位置点的下方，所要表示的数写在数轴对应位置点的上方. 知识点二 相反数的概念 （1） 像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.把其中一个数叫做另一个数的相反数.（符号不同是代数意义） 【拓展】只有符号不同的两个式子叫做互为相反式.把其中一个式子叫做另一个式子的相反式.（整体思想） （2）一般地，a和-a互为相反数.特别地，0的相反数是0. 表示相反数的两个点在数轴上分别位于原点的左、右两边，且到原点的距离相等.如图所示，-3和3，-2.5和2.5分别互为相反数，表示它们的点到原点的距离分别是3，2.5 例2. 的相反数是（    ） A． B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义直接求解即可． 【详解】解：的相反数是2023， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数的求解，理解相反数的定义是解题关键． 【变式2-1】 （2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A．9 B． C． D． 温馨提示： （1）相反数的定义中“只有”指的是除了符号不同外其他完全相同. （2）相反数的定义中“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在. （3）数轴上与原点的距离是a（a＞0）的点有两个，分别在原点左右两边，它们互为相反数. （4）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等. （5）-a不一定是负数，a不一定是正数，字母本身没有符号，它的符号是人为定义的，对字母表示数的时候，一定要看清楚字母的取值范围。例如当a＜0，则-a＞0. 知识点三 相反数的性质 （1）任何一个数都有唯一一个相反数.正数的相反数是负数;负数的相反数是正数;0的相反数是0. （2）若a，b互为相反数，则a＝-b或b＝-a或a+b＝0. 例3. 下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 知识点四 求一个数的相反数的方法 （1）一个具体数，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数. （2）用字母表示数，只需在字母前面加上“-”号，就可以得到对应的相反数. 例4. 填空： （1）的相反数是 ； （2） 是的相反数； （3）是 的相反数； （4） 的相反数是； （5）8.2和 互为相反数． （6）a和 互为相反数． （7） 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【分析】根据相反数的定义逐一解答即可． 【详解】解：（1），相反数是； 故答案为：； （2）100是的相反数； 故答案为：100； （3）是的相反数； 故答案为：； （4）1.1的相反数是； 故答案为：1.1； （5）8.2和互为相反数． 故答案为：； （6）a和互为相反数． 故答案为：； （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身． 故答案为：负数，0． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键． 知识点五 多重符号的化简 多重符号化简的依据是相反数的定义，如表示的相反数，所以. 化简规律:一个具体的数前面有几个正、负号时，化简结果是由“-”号的个数决定的(奇负偶正）. 例5. （2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）的相反数（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得． 【详解】的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键． 知识点六 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 温馨提示： a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 例6. （2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）绝对值最小的有理数是（    ） A．1 B． C．0 D．没有 【答案】C 【分析】熟悉绝对值的性质：正数的绝对值大于0，负数的绝对值也是大于0，0的绝对值是0；根据绝对值的性质进行解答，即可求得答案． 【详解】正数的绝对值大于0，负数的绝对值也是大于0，0的绝对值是0，所以绝对值最小的数是0． 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【变式6-1】如果，那么 ． 知识点七 绝对值的性质 （1）一个正数的绝对值是它本身; （2）一个负数的绝对值是它的相反数; （3）0的绝对值是0. 温馨提示： (1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0. (2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数). （3）对于任意有理数都有≥0，即： （4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则＝;绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若＝，则＝或＝-（+＝0）. （5）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大. （6）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 例7. （2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）已知数轴上表示的点到原点的距离为10，表示的点在原点的左侧，求的值． 【答案】2 【分析】根据绝对值的意义以及数轴上点的特性即可求出答案． 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离为10， ， 或， 或． 当时，在原点左侧； 当时，在原点右侧． 表示的点在原点的左侧， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了绝对值的意义和数轴上的点，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义． 知识点八 绝对值非负性的应用 若几个数的绝对值的和为0，则这几个数同时为0. 拓展：若几个非负数的和为 0,则每个非负数都为 0. 解题技巧：若+++…=0，则有=0，=0，=0，…，所以=0，=0，=0，…. 例8.（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 / 5 【分析】根据绝对值的非负性进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，熟知几个非负数相加的结果为0，那么这几个非负数的值都为0是解题的关键． 【变式8-1】若，则 ． 知识点九 有理数的大小比较 方 法 内 容 利用数轴 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大 利用法则 （1） 正数大于0，0大于负数，正数大于负数; （2） 两个负数，绝对值大的反而小; （3） 两个正数，绝对值大的数大 例9. 比较下列各组数的大小： (1)与1 (2)与 (3)与 (4)与 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）根据正数与负数的特点即可得出结论； （2）先去括号与绝对值符号，再比较大小即可； （3）根据负数比较大小的法则进行比较即可； （4）先去绝对值符号，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：，，且， ∴； （4）解：，，且， ∴． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键． 【变式9-1】（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，， （2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示： ①在数轴上分别表示出数， ， ②把，，，这四个数从小到大用“”号连接． 考点一：数轴的三要素及其画法 例1．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）下列四个选项中，所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图各图中，表示的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二：用数轴上的点表示有理数 例2.（23-24七年级上·安徽安庆·期中）在数轴上表示和两点之间的整数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）一只蚂蚁位于数轴的原点，现在向右爬了4个单位长度到了点A，则点A所表示的数是（    ） A．4 B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知是数轴上的三个点，且在的右侧，点表示的数分别是1，3，如图所示，若，则点表示的数是 ． 【变式2-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴中每个小格表示1个单位长度，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是 ． 考点三：利用数轴比较有理数的大小 例3.（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若数轴上的点A，B分别与有理数a，b对应，则下列关系正确的是（    ）      A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）已知有理数a，b，C在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）有理数在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 考点四：数轴上两点之间的距离 例4．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）在数轴上，点M，N分别表示数m，1．若，则点M表示的数是（    ） A．5 B．或5 C．4 D． 【变式4-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若数轴上有理数a与之间的距离是5，则 ． 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（    ） A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义： 例1：已知求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为___________． (2)已知，则x的值为___________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当___________时，式子有最小值，最小值为___________． 考点五：数轴上的动点问题 例5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，若t秒后C、D两点相距5个单位长度，则t的值为 ． 【变式5-1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，且满足    （1）求点A、B两点对应的有理数是 ； （2）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过 秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍． 【变式5-2】（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上，表示数1的点记为O，我们把到O点距离相等的两个不同点M和N，称为基准1的对称点．例如：图中，点M表示数，点N表示数3，它们与表示数1的点O的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准1的对称点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准1的对称点． ①若，则b=__________； ②用含a的式子表示b，则b=__________； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数对应的点沿着数轴向左移动2个单位长度得到点B．若点A与点B互为基准1的对称点，求点A表示的数． 考点六：根据点在数轴的位置判断式子的正负 例6．（22-23七年级下·广东河源·阶段练习）数在数轴上所对应点如图所示：化简 ． 【变式6-1】．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）有理数在数轴上的位置如图所示．下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】 （23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在数轴上点，，对应的有理数分别是，，．下列结论：①；②；③；其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 考点七：相反数的定义 例7.（2024·安徽六安·一模）相反数是（    ） A． B． C．7 D． 【变式7-1】（2024·安徽合肥·二模）的相反数是（　　） A． B．4 C． D． 【变式7-2】（2024·安徽蚌埠·二模）与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 【变式7-3】（2024·安徽合肥·一模）的相反数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 考点八：判断是否互为相反数 例8．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式8-1】（23-24七年级上·湖北宜昌·阶段练习）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．3和 C．和 D．和 【变式8-2】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各数中，一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式8-3】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（        ） A．和 B．和 C．和 D．和 考点九：化简多重符号 例9．（2024·安徽亳州·三模）下列各数中是负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【变式9-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中不成立的是（     ）． A． B． C． D． 【变式9-2】（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数：①和；②和；③和；④和；⑤和其中互为相反数的有（    ）． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【变式9-3】（22-23七年级上·安徽滁州·期中） ． 考点十：相反数的应用 例10．（23-24九年级下·山东烟台·期中）数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【变式10-1】 （22-23七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】 （23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）若与互为相反数，求的值 【变式10-3】 （23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 考点十一：相反数的应用 例11．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．负数 B．负数和 C．正数和 D．正数 【变式11-1】 （23-24七年级上·安徽黄山·期中）已知，，则b的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数x的取值范围为 ． 【变式11-3】（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 考点十二：求一个数的绝对值 例12．（2024·安徽合肥·二模）下列各数中，绝对值大于3的是（    ） A． B． C．0 D．2 【变式12-1】（2024·安徽马鞍山·二模）的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． 【变式12-2】（23-24九年级下·安徽芜湖·阶段练习）等于（    ） A．3 B． C． D． 【变式12-3】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）的相反数为（    ） A． B．－ C． D． 考点十三：化简绝对值 例13．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【变式13-1】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是（    ） A．0或1 B．0或 C．0 D．1 【变式13-2】（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如果，那么化简等于 ． 【变式13-3】 （23-24七年级上·广西玉林·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．    (1) _______0， _______0， ______0（请用“”或“”填空）； (2)化简：． 考点十四：绝对值非负性 例14．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【变式14-1】（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式14-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）若，则 ． 【变式14-3】（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 考点十五：绝对值方程 例15．（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【变式15-1】（22-23七年级上·安徽安庆·期末）若方程无解，方程有一个解，方程有两个解，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（22-23七年级上·安徽池州·期末）若关于的方程有两个解，无解，只有一个解，则的大小关系是 用“”连接）． 【变式15-3】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下面例题的解题方法． 解方程：． 解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， 所以原方程的解是或． 请仿照上面例题的解题方法，解方程：． 考点十六：绝对值的其他应用 例16.（21-22七年级上·天津和平·期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【变式16-1】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【变式16-2】（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【变式16-3】（21-22七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|，如果表示数a和－1的两点之间的距离是2，那么a＝ ． （2）若数轴上表示数a的点位于－2与4之间，求|a－4|＋|a＋2|的值． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ． （4）当a＝ 时，|a＋3|＋|a－1|＋|a－4|的值最小，最小值是 ． 考点十七：有理数大小比较 例17.（2024·安徽合肥·模拟预测）下列四个数中，最小的是（　　） A． B． C．0 D． 【变式17-1】（2024·安徽合肥·一模）在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式17-2】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列各数中，最大的数是（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式17-3】（2024·安徽淮南·模拟预测）在2，，，3这四个数中，比小的数是（    ）． A．2 B． C． D．3 考点十八：有理数大小比较的实际应用 例18.在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】（2023·安徽合肥·二模）甲、乙、丙、丁四名篮球运动员在同一场比赛中投篮情况如下表： 甲 乙 丙 丁 投篮次数 20 25 25 30 投中次数 13 14 15 18 这四名篮球运动员投篮命中率最高的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式18-2】该县某几个村子的小龙虾养殖基地2021年第二季度比第一季度的产值增长率统计情况，其中产值增长率最小的养殖基地是（　　） 养殖基地 李洼 王洼 贾庄 吴庄 增长率 3.25% 4.6% A． 李洼 B．王洼 C．贾庄 D．吴庄 B． 【例1】若，则一定是　　 A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 易错攻克 “0的绝对值为 0”也可以叙述为“0的绝对值是它本身”或“0的绝对值是它的相反数” 【例2】若，为有理数，且，，且，则的值等于　　． 易错攻克 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数， 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）有理数的相反数是（    ） A． B． C．2024 D． 2．（2014·北京房山·一模）的绝对值为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简 ． 7．（2023·江苏盐城·模拟预测）在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为 . 8．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 9．（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 10．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$