北京市十一学校2023-2024学年九年级下学期期末数学诊断试卷（一）

2023-2024学年北京市十一学校九年级（下）期末数学诊断试卷（一） 一、选择题（共24分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如果一个正多边形的每一个内角是150°，那么这个正多边形的边数为（　　） A．16 B．12 C．8 D．6 3．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝﹣ax2﹣c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（2，﹣3） 5．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝6，CG＝4，则CE的长为（　　） A． B． C．8 D．9 6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠AOD等于（　　） A．155° B．140° C．130° D．110° 7．（3分）如表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x1＜x2＜1，根据表中信息，当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） x … ﹣5 x1 x2 1 3 … y … m 0 2 0 m … A．≤k＜2 B． C． D．2＜k≤ 8．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为，将△ABC绕点A逆时针旋转，在旋转程中得到两个结论： ①当点C第一次落在⊙O上时，旋转角为45°； ②当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（　　） A．② B．均不正确 C．①② D．① 二、填空题（共24分，每小题3分） 9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣4＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　． 10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）．则关于x的方程ax2＝kx+b的解为 　 　． 11．（3分）若点A（0，y1），B（，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　（用“＞”连接）． 12．（3分）已知点A（a﹣2b，﹣2）与点A′（﹣6，2a+b）关于坐标原点对称，则3a﹣b＝　 　． 13．（3分）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧AB上一点，若∠ACB＝50°，则∠P＝　 　°． 14．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为，那么这个圆锥的侧面积为 　 　cm2． 15．（3分）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 　 　． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（，0）为圆心，1为半径画圆．将⊙A绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到⊙A'，使得⊙A'与y轴相切，则α的度数是 　 　． 三、解答题（共52分，第17-22题每题5分，第23-26题每题4分，第27、28题每题3分） 17．（5分）解下列方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）3x（x﹣4）＝5（x﹣4）． 18．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 8 3 m ﹣1 0 3 … （1）求m的值和这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）； （3）当1＜x≤4时，直接写出y的取值范围． 19．（5分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，射线AB绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE． （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，直接写出AE的长． 20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC． （1）求证：OE＝AC； （2）若点E是OD的中点，⊙O的半径为6，求PB的长． 21．（5分）已知△ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为旋转中心，将线段PC逆时针旋转n°（0＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ． （1）如图1，若PC＝AC，画出n＝60时的图形，直接写出BQ和AP的数量及位置关系； （2）当n＝120时，若点M为线段BQ的中点，连接PM．判断MP和AP的数量关系，并证明． 22．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为 　 　； （2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长． 23．（4分）已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）． 我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）． 例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2． 根据以上信息，解答下列问题： （1）若P（x）＝x2﹣4x，则Q（x）＝　 　； （2）若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝3x的解； （3）已知P（x）＝ax2﹣3x+2是关于x的二次多项式，Q（x）为P（x）的导出多项式，若关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为正整数，求整数a的值． 24．（4分）已知：如图，AB是圆O的直径，＝，过点A作圆O的切线交DO的延长线于E． （1）求证：AC∥ED； （2）若AC＝4，∠E＝30°，直接写出AE的长度． 25．（4分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy． 通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如表所示： 表1直发式 x（dm） 0 2 4 6 8 10 16 20 … y（dm） 3.84 3.96 4 m 3.84 3.64 2.56 1.44 … 表2间发式 x（dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 … y（dm） 3.36 2.52 1.68 n 0 2.00 3.20 3.60 3.20 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中m＝　 　，n＝　 　； （2）直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1　 　d2（填“＞”＝”或“＜”）． 26．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）上． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t≤x1＜t+2，4﹣t＜x2≤6﹣t． ①当t＝1时，直接写出y1，y2的大小关系； ②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围． 27．（3分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 28．（3分）对于平面直角坐标系xOy中的⊙O，点P，点Q，给出如下定义：线段PA为⊙O的弦，点Q是弦PA上任意一点．若PA＝nPQ，则称点Q是点P关于⊙O的n倍关联点． 已知，⊙O的半径为2，点P的坐标为（2，0）． （1）在点B（0，1），C（1，1），中，是点P关于⊙O的2倍关联点的是 　 　； （2）E在直线上，若E是点P关于⊙O的2倍关联点，直接写出b的取值范围； （3）⊙O与y轴正半轴交于点F，对于线段PF上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的n倍关联点，直接写出n的最大值和最小值． 2023-2024学年北京市十一学校九年级（下）期末数学诊断试卷（一） 参考答案与试题解析 一、选择题（共24分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（3分）如果一个正多边形的每一个内角是150°，那么这个正多边形的边数为（　　） A．16 B．12 C．8 D．6 【分析】根据正多边形的一个内角是150°，则知该正多边形的一个外角为30°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数． 【解答】解：∵正多边形的一个内角是150°， ∴该正多边形的一个外角为30°， ∵多边形的外角之和为360°， ∴边数n＝360÷30＝12， ∴该正多边形的边数是12． 故选：B． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大． 3．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝﹣ax2﹣c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象． 【解答】解：∵一次函数经过y轴上的（0，c），二次函数经过y轴上的（0，﹣c）， ∴两个函数图象交于y轴上的两点分布在原点两侧，故B、C、D选项错误； 故选：A． 【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下． 4．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（2，﹣3） 【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案． 【解答】解： ∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， ∴顶点坐标为（2，﹣3）， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 5．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝6，CG＝4，则CE的长为（　　） A． B． C．8 D．9 【分析】连接EG，由正方形ABCD，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，过点A作EF的垂线，BG＝6，CG＝4，得AE＝AF，DE＝BF，得AG垂直平分FE，得EG＝FG，由AB＝BC＝BG+GC＝6+4＝10，设CE＝x，得DE＝10﹣x＝BF，得EG＝FG＝BF+BG＝16﹣x，由CE2+CG2＝EG2，得x2+42＝（16﹣x）2，即可得CE＝x＝7.5． 【解答】解：连接EG， 由正方形ABCD，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，过点A作EF的垂线，BG＝6，CG＝4， 得AE＝AF，DE＝BF， 得AG垂直平分FE， 得EG＝FG， 由AB＝BC＝BG+GC＝6+4＝10，设CE＝x， 得DE＝10﹣x＝BF， 得EG＝FG＝BF+BG＝16﹣x， 由CE2+CG2＝EG2， 得x2+42＝（16﹣x）2， 得CE＝x＝7.5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形的旋转，解题关键是旋转性质的应用． 6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠AOD等于（　　） A．155° B．140° C．130° D．110° 【分析】先根据垂径定理得到＝，再根据圆周角定理得∠BOD＝2∠CAB＝50°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD的度数． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴＝， ∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°． 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 7．（3分）如表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x1＜x2＜1，根据表中信息，当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） x … ﹣5 x1 x2 1 3 … y … m 0 2 0 m … A．≤k＜2 B． C． D．2＜k≤ 【分析】根据表中数据得出对称轴x＝﹣1，进而得到抛物线与x轴的交点，利用交点式得到y＝a（x+3）（x﹣1），从而得到二次函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2，根据当﹣＜x≤0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，可得结论． 【解答】解：由（﹣5，m）、（3，m）可得抛物线对称轴， 又由（x1，0）、（1，0）以及对称轴x＝﹣1可得x1＝﹣3， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）、（1，0），则设抛物线交点式为y＝a（x+3）（x﹣1）， ∵y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a与y＝ax2+bx+2（a≠0）对比可得﹣3a＝2，解得a＝﹣， ∴二次函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2， ∴当x＝﹣时，y＝﹣×﹣×（﹣）+2＝； 当x＝0时，y＝2； 当x＝﹣1时，最大值y＝﹣++2＝， 当﹣＜x≤0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点， ∴2≤k＜， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键． 8．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为，将△ABC绕点A逆时针旋转，在旋转程中得到两个结论： ①当点C第一次落在⊙O上时，旋转角为45°； ②当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（　　） A．② B．均不正确 C．①② D．① 【分析】①当点C第一次落在⊙O上时，连接AO，BO，C'O，可证明△ABO是等腰直角三角形，B、C'、O三点共线，再求出∠CAO＝15°，可得∠CAC'＝30°，②当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，先求出∠OAM＝45°，∠BAC'＝135°，∠BAB'＝75°，即可得当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°． 【解答】解：①当点C第一次落在⊙O上时， 连接AO，BO，C'O，如图1， ∵AO＝BO＝，AB＝2， ∴△ABO是等腰直角三角形， ∴AO⊥BO， ∴B、C'、O三点共线， ∵AB＝AC'， ∴∠ABC'＝∠AC'B＝45°， ∴∠BAC'＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠CAO＝15°， ∴∠CAC'＝30°，故①错误； 当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，如图2， ∵△ABC是正三角形， ∴CM⊥AB， ∵AB＝2， ∴AM＝1， ∵OA＝， ∴OM＝1， ∴∠OAM＝45°， ∵∠OAC'＝90°， ∴∠BAC'＝135°， ∵∠C'AB'＝60°， ∴∠BAB'＝75°， ∴当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°，故②正确， 故选：A． 【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，直线与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质是解题的关键． 二、填空题（共24分，每小题3分） 9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣4＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　8　． 【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣4＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（m﹣4）＝0，然后求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（m﹣4）＝0， 解得m＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确当Δ＝0时一元二次方程有两个相等的实数根． 10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）．则关于x的方程ax2＝kx+b的解为 　x1＝﹣2，x2＝4　． 【分析】直接根据一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的交点即可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）， ∴关于x的方程ax2＝kx+b的解为：x1＝﹣2，x2＝4． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝4． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知直接根据题意得出方程的解是解题的关键． 11．（3分）若点A（0，y1），B（，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　y3＞y1＞y2．　（用“＞”连接）． 【分析】根据对称轴是直线x＝1，判断出A，B，C离对称轴的远近可得结论． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+k的开口向上，且对称轴为直线x＝1， 又∵点C离对称轴最远，点B离对称轴最近， ∴y3＞y1＞y2． 故答案为：y3＞y1＞y2． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数函数值变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对函数值的影响是解题的关键． 12．（3分）已知点A（a﹣2b，﹣2）与点A′（﹣6，2a+b）关于坐标原点对称，则3a﹣b＝　8　． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a﹣2b＝6，2a+b＝2，再解方程即可． 【解答】解：∵点A（a﹣2b，﹣2）与点A′（﹣6，2a+b）关于坐标原点对称， ∴a﹣2b＝6，2a+b＝2， ∴a＝2，b＝﹣2， ∴3a﹣b＝8， 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 13．（3分）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧AB上一点，若∠ACB＝50°，则∠P＝　80　°． 【分析】连接OA，OB，由切线的性质定理得到∠PAO＝∠PBO＝90°，∠AOB＝2∠ACB＝100°，利用∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°解答即可． 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA，PB分别切圆于A、B， ∴半径OA⊥PA，半径OB⊥PB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵∠ACB＝50°， ∴∠AOB＝100°， ∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°， 故答案为：80． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由切线的性质定理得到∠PAO＝∠PBO＝90°，由圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB． 14．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为，那么这个圆锥的侧面积为 　π　cm2． 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解． 【解答】解：∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面圆的周长＝2π•＝5π， ∴圆锥的侧面积＝•5π•5＝π（cm2）． 故答案为：π． 【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S＝•l•R，（l为弧长）． 15．（3分）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 　≤d≤1　． 【分析】由题意以及矩形的性质得OP过矩形ABCD各边的中点时，d最大，OP过矩形ABCD的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案． 【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝PA最小， 如图①：∵AB＝2，AD＝1，中心为O， ∴OE＝，OE⊥AB， ∵OP＝， ∴d＝PE＝1； 如图②：∵AB＝2，AD＝1，中心为O， ∴AE＝1，OE＝，OE⊥AB， ∴OA＝＝， ∵OP＝ ∴d＝PA＝﹣； ∴d的取值范围为≤d≤1． 故答案为：≤d≤1． 【点评】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（，0）为圆心，1为半径画圆．将⊙A绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到⊙A'，使得⊙A'与y轴相切，则α的度数是 　45°或135°　． 【分析】分两种情况，一是点A′在第一象限，设⊙A′与y轴相切于点B，连接OA′、BA′，由切线的性质得∠A′BO＝90°，由旋转的性质得OA′＝OA＝，A′B＝1，根据勾股定理求得OB＝1，则∠BOA′＝∠BA′O＝45°，此时α＝45°；二是点A′在第二象限，设⊙A′与y轴相切于点C，连接OA′、CA′，则∠COA′＝∠CA′O＝45°，此时α＝135°． 【解答】解：如图1，点A′在第一象限，设⊙A′与y轴相切于点B，连接OA′、BA′， ∵OB⊥A′B， ∴∠A′BO＝90°， ∵⊙A的半径为1，A（，0）， ∴OA＝， 由旋转得OA′＝OA＝， ∵⊙A的半径为1， ∴A′B＝1， ∴OB＝＝＝1， ∴A′B＝OB， ∴∠BOA′＝∠BA′O＝45°， ∴α＝∠AOA′＝90°﹣45°＝45°； 如图2，点A′在第二象限，设⊙A′与y轴相切于点C，连接OA′、CA′， ∵OC⊥A′C， ∴∠A′CO＝90°， ∵OA′＝OA＝，AC＝1， ∴OC＝＝＝1， ∴A′C＝OC， ∴∠COA′＝∠CA′O＝45°， ∴α＝∠AOA′＝90°+45°＝135°， 故答案为：45°或135°． 【点评】此题重点考查图形与坐标、直线与圆的位置关系、切线的性质定理、勾股定理、旋转的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共52分，第17-22题每题5分，第23-26题每题4分，第27、28题每题3分） 17．（5分）解下列方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）3x（x﹣4）＝5（x﹣4）． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣； （4）3x（x﹣4）＝5（x﹣4）， 3x（x﹣4）﹣5（x﹣4）＝0， （x﹣4）（3x﹣5）＝0， ∴x﹣4＝0或3x﹣5＝0， ∴x1＝4，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等等． 18．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 8 3 m ﹣1 0 3 … （1）求m的值和这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）； （3）当1＜x≤4时，直接写出y的取值范围． 【分析】（1）由表格中数据可知抛物线的顶点为（2，﹣1），当x＝1和x＝3时，函数值都是0，即m＝0，然后设出顶点式，将（0，3）代入求出a的值即可； （2）根据表格中的数据描点、连线即可； （3）根据函数图象可直接得出答案． 【解答】解：（1）∵当x＝0和x＝4时，y＝3； ∴抛物线的顶点为（2，﹣1），当x＝1和x＝3时，函数值都是0，即m＝0， 设这个二次函数的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0）， 将（0，3）代入得4a﹣1＝3， 解得a＝1， ∴这个二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2﹣1； （2）如图： （3）由函数图象得：当1＜x≤4时，﹣1≤y≤3． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 19．（5分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，射线AB绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE． （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，直接写出AE的长． 【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形得到 S四边形AFCE＝S正方形ABCD，然后利用正方形的面积公式可得AD，再根据勾股定理求得结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°， ∴∠ABF＝90°， 在△ABF与△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE， ∴∠EAF＝∠BAD＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形； （2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE， ∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝36， ∴AD＝6， ∴AE＝． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键． 20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC． （1）求证：OE＝AC； （2）若点E是OD的中点，⊙O的半径为6，求PB的长． 【分析】（1）根据切线的性质得到PB＝PC，∠BPO＝∠CPO．根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）由切线的性质得到∠OBP＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C， ∴PB＝PC，∠BPO＝∠CPO． ∴PO⊥BC，BE＝CE． ∵OB＝OA， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE＝AC； （2）∵PB是⊙O的切线， ∴∠OBP＝90°． 由（1）可得∠BEO＝90°， ∵点E是OD的中点，⊙O的半径为6， ∴OE＝OD＝3， ∵∠OBP＝∠BEO＝90°． ∴tan∠BOE＝＝， 在Rt△BEO中，OE＝3，OB＝6， ∴BE＝3． ∴PB＝6． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 21．（5分）已知△ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为旋转中心，将线段PC逆时针旋转n°（0＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ． （1）如图1，若PC＝AC，画出n＝60时的图形，直接写出BQ和AP的数量及位置关系； （2）当n＝120时，若点M为线段BQ的中点，连接PM．判断MP和AP的数量关系，并证明． 【分析】（1）通过证明四边形ABQP是平行四边形，可得BQ＝AP，BQ∥AP； （2）以CP为边作等边三角形CHP，连接BH，由“SAS”可证△ACP≌△BCH，可得AP＝BH，由旋转的性质和三角形中位线定理可得AP＝2MP． 【解答】解：（1）BQ＝AP，BQ∥AP， 如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC， 又∵PC＝AC， ∴∠PAC＝∠APC， ∵∠ACB＝∠PAC+∠APC＝60°， ∴∠PAC＝∠APC＝30°， ∴∠BAP＝90°， ∵将线段PC逆时针旋转60°得线段PQ， ∴PC＝PQ，∠CPQ＝60°， ∴AB＝AC＝CP＝PQ，∠APQ＝90°， ∴∠BAP+∠APQ＝180°， ∴AB∥PQ， ∴四边形ABQP是平行四边形， ∴BQ＝AP，BQ∥AP； （2）AP＝2MP， 理由如下：如图2，以CP为边作等边三角形CHP，连接BH， ∵△CHP和△CBA都是等边三角形， ∴CB＝CA，CP＝CH，∠ACB＝∠HCP＝∠CPH＝60°， ∴∠BCH＝∠ACP， 在△ACP和△BCH中， ， ∴△ACP≌△BCH（SAS）， ∴AP＝BH， ∵将线段PC逆时针旋转120°得线段PQ， ∴CP＝PQ，∠CPQ＝120°， ∵∠CPH+∠CPQ＝180°， ∴点H，点P，点Q三点共线， ∵BM＝MQ，PQ＝CP＝HP， ∴BH＝2MP， ∴AP＝2MP． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 22．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为 　63°　； （2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝54°，根据旋转的性质得到∠EBF＝∠ABC＝54°，AB＝BF，根据三角形的内角和定理即可得到答案； （2）根据勾股定理得到AB＝10，根据旋转的性质得到BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，根据勾股定理即可得到答案． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝54°， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴∠EBF＝∠ABC＝54°，AB＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA＝＝63°， 故答案为：63°； （2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8， ∴AE＝AB−BE＝4， ∴AF＝＝4． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知旋转的性质是解题的关键． 23．（4分）已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）． 我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）． 例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2． 根据以上信息，解答下列问题： （1）若P（x）＝x2﹣4x，则Q（x）＝　2x﹣4　； （2）若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝3x的解； （3）已知P（x）＝ax2﹣3x+2是关于x的二次多项式，Q（x）为P（x）的导出多项式，若关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为正整数，求整数a的值． 【分析】（1）利用题目已知的规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x），即可解答； （2）根据题目已知的规定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）导出的多项式Q（x），进行计算即可； （3）根据题目已知的规定，求出P（x）＝ax2﹣3x+2导出的多项式Q（x），再根据关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，进行计算即可． 【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣4x， ∴它的导出多项式Q（x）＝2•x+（﹣4）＝2x﹣4， 故答案为：2x﹣4； （2）∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4， ∴它的导出多项式Q（x）＝2•2x+8＝4x+8， ∵Q（x）＝3x， ∴4x+8＝3x， ∴x＝﹣8， ∴关于x的方程Q（x）＝3x的解为：x＝﹣8； （3）∵P（x）＝ax2﹣3x+2， ∴它的导出多项式Q（x）＝2•ax+（﹣3）＝2ax﹣3， ∵Q（x）＝﹣x， ∴2ax﹣3＝﹣x， ∴（2a+1）x＝3， ∵关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为正整数， ∴2a+1≠0， ∴x＝， ∴2a+1的值为：1，3， ∴a的值为：0，1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解，根据题目的已知理解P（x），Q（x）是解题的关键． 24．（4分）已知：如图，AB是圆O的直径，＝，过点A作圆O的切线交DO的延长线于E． （1）求证：AC∥ED； （2）若AC＝4，∠E＝30°，直接写出AE的长度． 【分析】（1）连接AD，利用平行线的判断即可证明； （2）先证明三角形AOC是等边三角形，再利用解直角三角形求出AE即可． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵＝， ∴∠CAD＝∠BAD， 又∵AO＝DO， ∴∠DAB＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADE， ∴AC∥DE． （2）解：连接CO， ∵∠E＝30°，∠OAE＝90°， ∴∠AOE＝60°， ∵AC∥DE， ∴∠CAO＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴AO＝AC＝4， ∴AE＝＝＝4． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，掌握等边三角形的判定及性质和解直角三角形是关键． 25．（4分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy． 通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如表所示： 表1直发式 x（dm） 0 2 4 6 8 10 16 20 … y（dm） 3.84 3.96 4 m 3.84 3.64 2.56 1.44 … 表2间发式 x（dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 … y（dm） 3.36 2.52 1.68 n 0 2.00 3.20 3.60 3.20 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中m＝　3.96　，n＝　3.84　； （2）直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1　＝　d2（填“＞”＝”或“＜”）． 【分析】（1）根据表1数据直接得出m的值；由“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设出抛物线解析式，用待定系数法求出函数解析式，然后把x＝2代入解析式得出y的值即可； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）令（2）中解析式y＝0，解方程求出x的值；设出“间发式“模式下的抛物线解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令y＝0，解方程求出x得值． 【解答】解：（1）由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：m＝3.96； 在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线， 设这条直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，3.36）、（8，0）代入，得， 解得：， ∴这条直线的解析式为y＝﹣0.42x+3.36， 当x＝6时，y＝﹣0.42×6+3.36＝0.84， 表格2中，n＝3.84； 故答案为：3.96，3.84； （2）y＝﹣0.01（x﹣4）2+4；理由如下： 由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：“直发式“模式下，抛物线的顶点为（4，4）， ∴设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a＜0）， 把（0，3.84）代入，得3.84＝a（0﹣4）2+4， 解得：α＝﹣0.01， ∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+4； （3）当y＝0时，0＝﹣0.01（x﹣4）2+4， 解得：x1＝﹣16（舍去），x2＝24， ∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1＝24；“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为（16，3.20）， ∴设这条抛物线的解析式为y＝m（x﹣16）2+3.2 （m＜0）， 把（8，0）代入，得0＝m（8﹣16）2+3.2， 解得：m＝﹣0.05， ∴这条抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2， 当y＝0时，0＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2， 解得：x1＝8，x2＝24， ∴d2＝24dm， ∴d1＝d2， 故答案为：＝． 【点评】本题考查二次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 26．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）上． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t≤x1＜t+2，4﹣t＜x2≤6﹣t． ①当t＝1时，直接写出y1，y2的大小关系； ②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线与y轴交点坐标，再由抛物线经过（4，2）可得抛物线对称轴． （2）①由t＝1可得x1与x2的取值范围，从而可得点P，Q到对称轴的距离大小关系，进而求解；②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），由y1≠y2可得x0≠x2，x1≠x2，通过解不等式求解． 【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+2得y＝2， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2）， 又∵抛物线经过（4，2）， ∴抛物线对称轴为直线x＝2． （2）①∵a＜0， ∴抛物线开口向下， 当t＝1时，点1≤x1＜3，3＜x2≤5． ∴|x1﹣2|＜1，1＜|x2﹣2|＜2， ∴点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离， ∴y1＜y2． ②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1）， 则x0＝4﹣x1， ∵t＜x1＜t+1， ∴3﹣t＜x0＜4﹣t， ∵4﹣t＜x2＜5﹣t， ∴x0≠x2， 当t+1≤4﹣t或5﹣t≤t时，x1≠x2， 解得t≤或t≥． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 27．（3分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）先证明△ADE≌△ABF，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）连接CG，先证明△ADG≌△CDG，得出∠ADG＝∠CDG＝45°，取CE的中点，连接GM，先证明DM＝GM，从而得出结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°， ∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△ADE≌△ABF（ASA）， ∴AF＝AE， ∴△AEF是等腰直角三角形 ∴∠AEF＝45°； （2）CF＝DG．理由如下： 如图2，取CE的中点M，连接GM，GC， ∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF， ∴G是EF的中点， ∴AG＝EF， 同理，在Rt△EFC中，CG＝EF， ∴AG＝CG， ∵AD＝CD，DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SSS）， ∴∠ADG＝∠CDG， ∵∠ADG+∠CDG＝90°， ∴∠ADG＝∠GDC＝45°； ∴GM为△GEC的中位线， ∴GM∥CF，GM＝CF， ∴∠DMG＝∠DCB＝90°， 在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°， ∴△DMG为等腰三角形， ∴DM＝GM， ∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2， ∴DG＝GM， ∵GM＝CF， ∴DG＝CF， ∴2DG＝CF，即CF＝DG． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，综合性强，难度适中． 28．（3分）对于平面直角坐标系xOy中的⊙O，点P，点Q，给出如下定义：线段PA为⊙O的弦，点Q是弦PA上任意一点．若PA＝nPQ，则称点Q是点P关于⊙O的n倍关联点． 已知，⊙O的半径为2，点P的坐标为（2，0）． （1）在点B（0，1），C（1，1），中，是点P关于⊙O的2倍关联点的是 　C、D　； （2）E在直线上，若E是点P关于⊙O的2倍关联点，直接写出b的取值范围； （3）⊙O与y轴正半轴交于点F，对于线段PF上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的n倍关联点，直接写出n的最大值和最小值． 【分析】（1）根据新定义可知，PA＝2PQ，所以Q是PA的中点，连接OQ，根据垂径定理可知，OQ⊥AP，据此判断可得出结果； （2）可推出点E在以OP为直径的圆I上运动，当直线于⊙I相切于点F时，设直线交x轴于H，交y轴于M，解直角三角形IFH求得IH，进而得出OH，解直角三角形MOH求得结果，当直线于⊙I相切于点G时，设直线交x轴于N，交y轴于T，同样的方法得出结果； （3）根据n＝，NM≤NA，可求得n的最小值是1，此时点M在P点或F点处，n＝1，连接AF，PN，可得出△AMF∽△PMN，从而，进而得出AM＝，从而n＝＝1+＝1+，进一步得出结果． 【解答】解：（1）如图一， 图1﹣1中， ∵P（2，0）B（0，1），则A应为（﹣2，2），当时此时A（﹣2，2）不在圆O上，故B点不是点P关于⊙O的2倍关联点， 图1﹣2中， ∵P（2，0），C（1，1），则A（0，2），故点C是点P关于⊙O的2倍关联点， 图1﹣3， 连接OD，作DE⊥OP于E， ∵D（）， ∴DE＝，OE＝， ∴OD＝1， ∵OP＝2， ∴， ∴∠DOP＝∠DOE， ∴△DOE∽△POD， ∴∠ODE＝∠OPD， ∴∠ODE+∠POD＝∠OPD+∠POD， ∴∠OPD+∠POD＝90°， ∴∠PDO＝90°， ∴OD⊥PA， ∴PA＝2PD， ∴点D是点P关于⊙O的2倍关联点， 故答案为C、D； （2）如图2， 连接OE， ∵PA＝2PE， ∴OE⊥PA， ∴∠PEO＝90°， ∴点E在以OP为直径的圆I上运动， 当直线于⊙I相切于点F时，设直线交x轴于H，交y轴于M， 可得∠IFH＝90°，∠FHI＝30°，IF＝1， ∴IH＝2OF＝2， ∴OH＝IH﹣OI＝1， ∴OM＝OH＝， ∴b＝﹣， 当直线于⊙I相切于点G时，设直线交x轴于N，交y轴于T， 连接IG， 可得∠IGN＝90°，∠ING＝30°，IG＝1， ∴IN＝2IG＝2， ∴ON＝3， ∴OT＝ON＝， ∴b＝， ∴； （3）∵n＝，NM≤NA， ∴n的最小值是1， 当点M在P点或F点时，n＝1， 如图3， 连接AF，PN， ∵∠AMF＝∠PMN，∠A＝∠FPN， ∴△AMF∽△PMN， ∴， ∴AM＝， ∴n＝＝1+＝1+， ∵PM•FM＝PM•（PF﹣PM）＝﹣PM2+2PM＝﹣（PM﹣）2+2， ∴当PM＝时，即点M是PF的中点，PM•FM最大，当NA⊥PF，MN最小，此时MN＝ON﹣OM＝2﹣， 此时n最大＝1+＝3+， 综上所述，n的最小值是1，最大值时3+． 【点评】本题考查了圆的有关性质，与圆有关的位置关系，一次函数图象的性质等知识，解决问题的关键是根据新定义转化题意． 学科网（北京）股份有限公司 $$