专题02 圆（基础类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题02圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆的概念 【解惑】下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．下列说法正确的有（　　） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 2．由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为 ． 3．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接，使； (3)在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧上找一点C，连接，使． 类型二、点与圆的位置关系 【解惑】已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【融会贯通】 1．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 2．已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 . 3．在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 类型三、弧、弦、圆心角关系 【解惑】对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 3．如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 类型四、垂径定理 【解惑】如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 2．如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为 ．    3．如图，，若，，，，求的半径． 类型五、求三角形的外心坐标 【解惑】如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，外接圆的圆心坐标为 ． 3．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的并写出 的坐标 (2)请画出关于原点对称的 (3)连接，则外接圆的圆心 ． (4)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标 ． 类型六、圆周角定理 【解惑】如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 2．在中，，，，则的面积为 ． 3．如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 类型七、直线与圆位置关系 【解惑】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【融会贯通】 1．已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或1 2．已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的公共点的个数为 个． 3．如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为．    (1)判断与的位置关系． (2)求和的数量关系． (3)若，的直径为20，求的长度． 类型八、正多边形与圆 【解惑】如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．边长为3的正六边形的边心距为 3．如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 类型九、弧长与扇形面积 【解惑】如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 2．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 3．如图，Rt中，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交和边于点和，连接． (1)求证：平分； (2)若，求图中阴影部分的面积． 类型十、圆锥侧面积 【解惑】要制作一个高为8cm，底面直径是cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则所需纸板的面积是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为 ． 3．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并连接． (2)请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题： ①的半径为_________（结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是_____． 【一览众山小】 1．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 4．图①所示的是由可随意弯曲的硅胶灯带制成的弧形餐厅灯，图②是工人师傅设计灯带时所画的对应示意图，若此弧形餐厅灯的圆心角为，半径为1.5m，切裁时不计损耗，则制作此灯需要硅胶灯带的长度是 （结果保留）． 5．已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 6．一个圆锥的母线长为，底面半径为，那么这个圆锥的侧面积为 ． 7．如图，，是的两条弦，且，求证：． 8．如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取3.14）    9．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出与关于点对称的； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度． 10．在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为：、、．线段的端点坐标为，． (1)线段先向　　　平移　　　个单位，再向　　　平移　　　个单位与线段重合； (2)将绕点旋转后得到的，使的对应边为，直接写出点的坐标，并画出； (3)求点在旋转过程中所经过的路径的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆的概念 【解惑】下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的相关知识点，利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一概念，所以①正确； ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．所以②正确； ③半径相等的两个圆是等圆；正确； ④能够完全重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以④错误； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，所以⑤正确； ∴符合题意的是①②③⑤，共4个． 故选：D． 【融会贯通】 1．下列说法正确的有（　　） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，逐个判断即可． 【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意； B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意； D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 2．由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意调查到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是半径为5和半径为所组成的环形面积即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：如图， 到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是图中环形， 所以 ． 故答案为：． 3．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接，使； (3)在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧上找一点C，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出符合题意的等腰直角三角形． （1）结合格点图的特点，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，即可求解； （2）结合格点图的特点，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即可求解； （3）结合网格图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，则与圆交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，即为所求； （2）解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即为所求； （3）解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与圆交于点，即为所求． 类型二、点与圆的位置关系 【解惑】已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴点A在外 故选：A 【融会贯通】 1．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】C 【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于5，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论．本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置． 【详解】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆的半径为， 则：， ，圆半径为1， ，即圆的半径等于5， ，， 由勾股定理可知， ，， 点在圆上，点在圆内， 故选：C． 2．已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 . 【答案】外 【分析】根据题意，圆的半径为，结合，解答即可，本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握法则是解题的关键. 【详解】根据题意，得圆的半径为， 因为， 故点P在圆的外部， 故答案为：外. 3．在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【答案】点在上，点在内，点在外 【分析】本题考查了平面内两点之间的距离、点与圆的位置关系，先根据平面内两点之间的距离公式求出、、的长度，再与半径进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，，， ∴点在上，点在内，点在外． 类型三、弧、弦、圆心角关系 【解惑】对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题； ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题了考查圆的有关概念及性质，要判断、选项，根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”进行判断；要判断选项，可利用垂径定理及全等三角形的性质判断；要判断选项，可根据等弧所对应的圆心角相等判断，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意在中，，，， ∴根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”可得：，，， ∴、、正确，错误， 故选：． 2．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 3．如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 类型四、垂径定理 【解惑】如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：是的直径，且， ． 在中， ， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案． 【详解】解：作于M，于N，连接，， 由垂径定理得 勾股定理得：， 弦互相垂直， ， 于M，于N， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 故选：D． 2．如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为 ．    【答案】10 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可． 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为10． 故答案为：10． 3．如图，，若，，，，求的半径． 【答案】 【分析】 本题考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质和判定，过点O分别作于点M，于点N，得矩形，连接．根据垂径定理得M为的中点，N为的中点，推出和的长，再利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】 解：如图，过点O分别作于点M，于点N，连接． ∴， 又， ∴ ∴四边形为矩形， , 根据垂径定理得M为的中点，N为的中点， ，，，， ， ， ， ， ， ． 在中，． 类型五、求三角形的外心坐标 【解惑】如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可． 【详解】方法一、如图，连接，    ∵点是的外心， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 方法二、如图，    ∵点是的外心， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用． 【融会贯通】 1．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点，则满足： ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 2．如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】根据外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，进行解答即可． 【详解】解：如图：外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点， ∵垂直平分线的交点坐标为， ∴外接圆的圆心坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的圆心，熟知三角形外接圆的圆心即为三角形三边的垂直平分线的交点是解本题的关键． 3．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的并写出 的坐标 (2)请画出关于原点对称的 (3)连接，则外接圆的圆心 ． (4)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标 ． 【答案】(1)见解析，的坐标为 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）作出三点旋转后的对应点，依次连接得到三角形； （2）作出三点旋转后的对应点，依次连接得到三角形； （3）由旋转可得，则是外接圆的直径，根据中点坐标解题即可； （4）作点C关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，点P即为所求，求出直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）如图所示，即为所作，的坐标为； （2）如上图，即为所作； （3）由旋转可得，， ∴是外接圆的直径，即的中点是外接圆的圆心， 又∵ ∴， ∴外接圆的圆心坐标为：，即为， 故答案为：； （4）作点C关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，点P即为所求， 由对称可得D点坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ，解得：， ∴， 令，则，解得， ∴点P的坐标为， 故答案为：．    【点睛】本题是基本作图题，考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，三角形的外接圆，熟练掌握基本作图的方法是解答的关键． 类型六、圆周角定理 【解惑】如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键．连接，由圆周角定理可得，，从而可求得，再由圆的内接四边形对角互补得到即可． 【详解】解：如图，连接， ∵同弧所对的圆周角相等，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 故选C 【融会贯通】 1．如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 如图：连接，根据圆周角定理可得，结合直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，再根据“圆内接四边形的对角互补”求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故选：C． 2．在中，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】延长交与H，连接，，利用垂径定理可得出，利用圆周角定理等可得出，，，利用余角的性质、等角对等边等得出，利用含的直角三角形的性质，求出，，在中，利用勾股定理得出，求出，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】解∶延长交与H，连接，， ∵，过圆心， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理圆周角定理，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线是解题的关键． 3．如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． （2）由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 类型七、直线与圆位置关系 【解惑】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键． 设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与圆相离，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， ∵的半径是一元二次方程的一个根， ∴， ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线与相离， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或1 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和相交或相切，然后根据相切与相交的定义对各选项进行判断． 【详解】的半径为，圆心到直线上某点的距离为， 圆心到直线的距离 即圆心到直线的距离圆的半径， 直线和相切或相交， 直线与有个或个公共点． 故选：C． 2．已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的公共点的个数为 个． 【答案】0 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，属于基础题型，掌握判断的方法是关键根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系可判断直线和圆的位置关系，即可得出答案． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的半径为， ∵圆心与直线的距离是，， ∴直线与圆相离，所以直线与圆没有公共点． 故答案为：0． 3．如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为．    (1)判断与的位置关系． (2)求和的数量关系． (3)若，的直径为20，求的长度． 【答案】(1)与的位置关系是相切 (2) (3) 【分析】（1）连接，由可得，由角平分线的定义可得，推出，由得到，从而推出，即，即可得证； （2）连接，由可得，由三角形外角的定义及性质可得，证明，再由平行线的性质即可得出答案； （3）作，垂足为点，设，则，由的直径为20，得到，证明四边形是矩形，得到，，则，由勾股定理可得，求出的值可得的长，即可得到答案． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切， 如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 为的半径， 与的位置关系是相切； （2）解：如图，连接， ， ， ， ，即， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）解：如图，作，垂足为点， 设， ， ， 的直径为20， ， 由（1）得，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，，， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴， ，为半径， ． 【点睛】本题考查了判断直线与圆的位置关系、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 类型八、正多边形与圆 【解惑】如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ，， ， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：正六边形的边，与相切于点，， ， 六边形是正六边形， ， 在五边形中， ， 故选：． 2．边长为3的正六边形的边心距为 【答案】 【分析】此题考查了正多边形和圆，在正六边形中，连接，作于点M，证明是等边三角形，则，由得到，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：在正六边形中，连接，作于点M， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 即边长为3的正六边形的边心距为， 故答案为： 3．如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定理是解题的关键． （1）连接，根据圆内接正六边形性质求出，进而由圆周角定理得出度数； （2）由切线性质得，在中，利用三角函数即可求解； （3）分别表达，再求和即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形为的内接正六边形， 是的直径，， ， ； （2）与相切，是的直径， ， 正六边形为的内接正六边形， ， 在中，， ； （3）正六边形为的内接正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型九、弧长与扇形面积 【解惑】如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 的长为； 故选B． 【融会贯通】 1．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故选：B 2．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 3．如图，Rt中，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交和边于点和，连接． (1)求证：平分； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证，求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，由相切于点D，得到，求得，设，则，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连结， ∵与相切于点D， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵在中，，， ∴， ∵相切于点D， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，（不符合题意的根舍去） ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 类型十、圆锥侧面积 【解惑】要制作一个高为8cm，底面直径是cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则所需纸板的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的求解，求出圆锥的母线长是解题关键． 【详解】解：由题意得：圆锥的半径为， ∵高为， ∴圆锥的母线长为． ∴所需纸板的面积为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算和点、线、面、体，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 可得圆锥的底面半径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长即可得出答案． 【详解】解：圆锥的侧面积为． 故选：． 2．已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 3．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并连接． (2)请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题： ①的半径为_________（结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是_____． 【答案】(1)见解析 (2)建立坐标系见解析，①② 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，涉及了圆的有关性质、勾股定理，圆锥的侧面展开图、全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解决此题的关键． （1）分析可知，圆心必在弦的垂直平分线上，则只需作出弦的垂直平分线即可； （2）①根据题意建立平面直角坐标系即可；观察图形，利用勾股定理求出的半径；②对图形中的点进行标注，证明全等三角形，联系全等三角形的性质证明，联系侧面展开图的弧长是底面周长求解即可． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线的交点即为圆心D，如图所示； （2）解：①建立平面直角坐标系如图所示： 的半径， 故答案为：； ②在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的长， ∴圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 【一览众山小】 1．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 2．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 3．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 4．图①所示的是由可随意弯曲的硅胶灯带制成的弧形餐厅灯，图②是工人师傅设计灯带时所画的对应示意图，若此弧形餐厅灯的圆心角为，半径为1.5m，切裁时不计损耗，则制作此灯需要硅胶灯带的长度是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长公式的应用，直接利用弧长公式计算即可； 【详解】解：由题意可得：的长度为， 故答案为： 5．已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即． 故答案为：. 6．一个圆锥的母线长为，底面半径为，那么这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算；直接利用圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥侧面积为， 故答案为：． 7．如图，，是的两条弦，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可． 【详解】， ， ， ． 8．如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取3.14）    【答案】 【分析】利用可得三角形的面积，在利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：圆的半径为：， ， ， ，解得：， 三角形的高为． 【点睛】本题考查了三角形的面积及扇形的面积，熟练掌握其公式是解题的关键． 9．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出与关于点对称的； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）根据图示，可知各点的坐标，向右平移个单位长度，则各点的坐标的横坐标加，由此得到对应点的坐标，连接各点即为所有图形； （2）由（1）可知各点的坐标，关于原点对称的点，则对称图形的坐标变为原来坐标的相反数，由此得到对应图形点的坐标，连接各点即为所求图形； （3）根据各点坐标的特点与各点的特点，以及旋转的性质，即可求出对应点的弧长． 【详解】（1）解：根据图示可知，，，，向右平移个单位长度得， ∴，，，如图所示，连接点， ∴即为所求图形． （2）解：∵中点，，，关于原点对称得， ∴，，，如图所示，连接， ∴即为所求图形． （3）解：∵中，，，中点，，，如图所示，连接对应点，交于点，如图所示， 当绕点顺时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为； 当绕点逆时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为， ∴， ∴点到点所经过的路径长． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，图形结合，理解并掌握平移，对称，旋转的性质，弧长的计算公式是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为：、、．线段的端点坐标为，． (1)线段先向　　　平移　　　个单位，再向　　　平移　　　个单位与线段重合； (2)将绕点旋转后得到的，使的对应边为，直接写出点的坐标，并画出； (3)求点在旋转过程中所经过的路径的长． 【答案】(1)右，4，下，6 (2)；图见解析 (3)点在旋转过程中所经过的路径长． 【分析】此题主要考查了旋转变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出平移规律即可； （2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用弧长公式进而求出答案． 【详解】（1）解：先向右平移4个单位，再向下平移6个单位与重合； 故答案为：右，4，下，6； （2）解：如图所示：； ； （3）解：， 点在旋转过程中所经过的路径长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$