专题02 圆 几何拓展之最值篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题02圆几何拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点运动路径 【解惑】如图，的弦，在圆心O的两侧，的直径为4，弦，为上一动点，，若于点E，当点D从点C运动到点A的过程中，点E运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，边，点，分别是边，的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到正方形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ． 3．如图，在矩形中，点为边上一点，且，，连接，将绕点逆时针旋转，当点的对应点落在直线上时，点的运动路径的长为 ．（结果保留π） 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，，点C在上，，D为的中点，E是直径上一动点，则最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．在中，AB是的直径，，，M是上一动点，的最小值是 ． 3．如图，已知正六边形ABCDEF的边长是5，点P是AD上的一动点，则PE+PF的最小值是 ． 类型三、两动一定 【解惑】如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 2．如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为 ．    3．在矩形中，，，点P、E、F分别是边、、上的动点，且，点M是的中点，点Q是的中点，连接、，则的最小值为 ． 类型四、折叠圆 【解惑】如图，矩形中，，，P是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 3．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，连接CE，把△BCE沿直线CE翻折得到△B’CE，连接AB’，若AB＝12，BC＝8．则线段AB’的最小值为 ；连接B’D，取B’D的中点F，连接AF，则线段AF的最小值为 ． 类型五、直角圆 【解惑】在等腰直角三角形中，，D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E，则长的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 3．如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是 ．    类型六、切线与勾股定理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在等边中，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，过点作与相切于点，则线段的最小值为 3．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ．    类型七、中位线与瓜斗原理 【解惑】如图，的半径为2，是直径，点C，M在上，，取弦的中点N，连接，当点M在上运动时，线段的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 2．（1）如图①，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、2为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最小值为 ． （2）如图②，点A、B的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    3．如图，等边中，，点是以为圆心，半径为1的圆上一动点，连接，取的中点E，连接，则线段的最小值为 ． 类型八、其他最值 【解惑】如图，在半圆O中，直径，C是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于D，点E是的中点．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 2．如图，在矩形中，，，M是直线上的一个动点，以为直径作半圆O，连接与半圆O交于点F，E为的中点，连接，则的最小值为 ．    3．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    类型九、费马距离 【解惑】背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 【融会贯通】 1．（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 2．【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 3．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    类型十、阿氏圆 【解惑】【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【融会贯通】 1．数学概念 如图①，AE是△ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DA＝DE，那么点D叫做△ABC的边BC上的“阿氏点”． 概念理解 （1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边BC上的“阿氏点”，用字母D表示（不写作法，保留作图痕迹）； 性质探究 （2）在（1）中，求证：△DAB∽△DCA； 知识运用 （3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，以D为圆心，DA为半径的圆恰好经过点C，且与BD交于点F． ①求证：点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”； ②若BE，DE＝2，AE＝3，则⊙D和⊙O的半径长分别为 ， ． 2．阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”． 如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆． 下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）： 过点作交的延长线于点． ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，…… 任务： （1）判断是否平分，并说明理由； （2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分； （3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________． 3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似. 【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值. 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在上取点，使得； 第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)： 解：在上取点，使得， 又. 任务： 将以上解答过程补充完整. 如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值. 【一览众山小】 1．如图，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点为圆心的扇形，已知雨刮器的总长为，其中橡胶部分的长为．若其中一个雨刮器在车窗上从位置摆动至位置，则橡胶部分扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以为直径的与相切于点，且、、三点在同一直线上，过点作弦交圆于点，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 4．如图，点为正方形的对称中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为 ． 5．如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    6．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在直线上，点在线段上，且，点为边上一动点，则的最小值为 ． 7．（1）如图1，已知半径是4，A是上一动点，，则的最大值是　　　　． （2）如图2，在中，，，，点D是边上一动点，连接DB，过点A作于点F，连接，求的最小值． （3）如图3，日月岛景区有一片圆形人工湖，湖上有一座木桥供游客行走，其中长为米，为了方便游客游览，景区计划增加两座木桥，根据设计要求，在湖边确定一点A，沿，修建木桥，使，并在AC中点P处修建一个凉亭，沿修建水上文化长廊，由于文化长廊造价高达10000元/米，为了控制成本，景区要求文化长廊的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造文化长廊的最低费用． 8．阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． ②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵，∴，∵，∴， ∴______，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 9．【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 10．问题提出 （1）如图1，为⊙O的弦，，点是⊙O上的一个动点，且，则的最大值为 ； 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，求的最大值； 问题解决 （3）如图3，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02圆几何拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点运动路径 【解惑】如图，的弦，在圆心O的两侧，的直径为4，弦，为上一动点，，若于点E，当点D从点C运动到点A的过程中，点E运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，从而证明是等腰直角三角形，作于点N，由垂径定理求出，根据的值求出的度数，利用角度关系求出，根据于点可知，点在为直径的圆上运动，然后由的位置确定的起点和终点，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解： ，直径为4， 如图，连接，， ， ，是等腰直角三角形，由勾股定理有， 取的中点M， ， 点O经过以M为圆心，以为半径的圆上， 作半圆，当点D从点C运动到点A时，点E的起点为点，终点为点A，即点E的运动轨迹为，， 作于点N， 则， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题是圆的轨迹问题，考查了垂径定理，圆周角定理的推论，弧长公式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据锐角三角函数值求角度等，确定点的运动路径是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，由是上半圆的中点可得，利用勾股定理得到，由可得点在以为直径的圆上运动，点的运动轨迹为一个半圆，求出半圆的弧长即可求解，根据圆周角定理确定出点运动轨迹为一个半圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是上半圆的中点， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∵点从点运动到点， ∴点的运动轨迹为一个半圆， ∴点运动的路径长是， 故选：． 2．如图，在正方形中，边，点，分别是边，的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到正方形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】连接交于P，连接，根据正方形的判定与性质证明四边形是矩形，求得，再证明求得，进而利用勾股定理求得，由得知点H在为直径的圆上，设圆心为O，当点E与M重合时，点H在点N处，当点E与A重合时，点H在点P处，可得点H的运动轨迹为， 利用等腰直角三角形性质和圆周角定理求得，进而利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接交于P，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点M、N分别是边、的中点，， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴， 动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动， ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，则， ∴点H在为直径的圆上，设圆心为O， 当当点E与M重合时，点H在点N处，当点E与A重合时，点H在点P处，则点H的运动轨迹为， ， ， ∴， 则点H所经过的路径长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，得到点H的运动轨迹是解答的关键． 3．如图，在矩形中，点为边上一点，且，，连接，将绕点逆时针旋转，当点的对应点落在直线上时，点的运动路径的长为 ．（结果保留π） 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质、弧长的计算以及旋转的性质，解答本题的关键是分类讨论，在中，由勾股定理得到：，再由题意分类讨论：当点落在线段上时、当点落在线段的延长线上时，分别求出的长即可． 【详解】解：矩形中，， 在中，，， ， 将绕点逆时针旋转得到，当点落在线段上时，， ，   的长为； 当点落在线段的延长线上时， 则， ， 的长为， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即，连接，根据点在上，，为弧的中点，可得，根据圆周角定理可得，可得是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即， 连接， ∵点在上，，为弧的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的半径，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，对称图形求对短路径，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，，点C在上，，D为的中点，E是直径上一动点，则最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等．作点D关于的对称点，则的最小值是，再根据的边角关系求出解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，．    可知，根据“两点之间线段最短”得当C，E，三点共线时，最小，即． ∵点C在上，，点D是的中点，即， ∴， ∴， ∴，则， 作于点， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 2．在中，AB是的直径，，，M是上一动点，的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．作点C关于的对称点，连接与相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M， 此时，点M为的最小值时的位置，即点M与点O重合 由垂径定理，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径， 即 ∴的最小值是． 故答案为：8． 3．如图，已知正六边形ABCDEF的边长是5，点P是AD上的一动点，则PE+PF的最小值是 ． 【答案】10 【分析】易知点B关于AD的对称点为点F，连接BE交AD于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：利用正多边形的性质可得点B关于AD的对称点为点F，连接BE交AD于点P，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小． ∵六边形ABCDEF是正六边形，对角线BE、AD交于P， ∴△APB、△APF、△EPF都是等边三角形， 所以AP=PB=PE=5， 可得：BE=10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，轴对称的性质，掌握正六边形的性质以及轴对称路线最短问题的解题方法是正确解答的关键． 类型三、两动一定 【解惑】如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，由轴对称的性质及的圆周角所对的弦是直径，可知线段的最小值为的值减去以为直径的圆的半径，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图： 动点在边长为的正方形内，且， 点在以为直径的圆上，， 正方形的边长为， ，， 是的中点， ， 点与点关于对称， ，， ， 在中，， 当共线时，最小 线段的最小值为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 2．如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】45 【分析】因为，点G为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以G是以B为圆心，以5为半径的圆弧上的点，作C关于的对称点，连接，交于H，交以B为圆心，以5为半径的圆于G，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求． 【详解】解：连接，    ∵矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动， 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以5为半径的圆于， 由两点之间线段最短，此时的值最小， ∴最小值为， 即：的最小值为， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题． 3．在矩形中，，，点P、E、F分别是边、、上的动点，且，点M是的中点，点Q是的中点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点Q关于的对称点N，连接，交于点P，则，可得，即当点M、P、N三点共线时，的值最小，最小值为，此时点M是在以点C为圆心，以为半径的圆弧上运动，可得圆外一点N到圆上一点M距离的最小值为，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：作点Q关于的对称点N，连接，交于点P，则， ∴， 即当点M、P、N三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，，点M是的中点， ∴， ∴点M是在以点C为圆心，以为半径的圆弧上运动， ∴圆外一点N到圆上一点M距离的最小值为， 在矩形中，，，点Q是的中点， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称−最短路线问题、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，圆的基本性质，得出点M的轨迹是圆是解题的关键． 类型四、折叠圆 【解惑】如图，矩形中，，，P是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键． 由翻折的性质可得，得点F在以E为圆心，为半径的圆上运动，连接，作于G，然后运用勾股定理求出，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：连接，作于G， ∵P是直线上的一个动点，， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的圆上运动， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故选D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可． 【详解】解：连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值， ∵点D是边的中点， ∴, 在Rt△ACD中， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F的运动轨迹是解题的关键． 2．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，矩形与折叠问题，勾股定理，三角形中位数定理，取中点H，连接，先由矩形的性质得到，再由折叠的性质可得，证明是的中位线，得到，则点G在以H为圆心，半径为2的圆上运动，故当在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，取中点H，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点G为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点G在以H为圆心，半径为2的圆上运动， ∴当在线段上时，有最小值， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，连接CE，把△BCE沿直线CE翻折得到△B’CE，连接AB’，若AB＝12，BC＝8．则线段AB’的最小值为 ；连接B’D，取B’D的中点F，连接AF，则线段AF的最小值为 ． 【答案】 6 【分析】连接AC，根据△BCE沿直线CE翻折得到△CE，知C＝BC＝8，即的轨迹是以C为圆心，8为半径的弧，故当与A、C共线时，线段A最小，由AB＝12，BC＝8，即可得到A最小值为AC−C＝4−8，取CD的中点G，连接GF、AG，由G是CD中点，F为D的中点，知FG＝C＝BC＝4，故F点的轨迹是以G为圆心，4为半径的弧，即得F与A、G共线时，AF最小，而AG＝＝10，即得AF最小为AG−FG＝10−4＝6． 【详解】解：连接AC，如图： ∵△BCE沿直线CE翻折得到△CE， ∴B’C＝BC＝8， ∴的轨迹是以C为圆心，8为半径的弧， ∴当与A、C共线时，线段A最小， ∵AB＝12，BC＝8，四边形ABCD是矩形， ∴AC＝， ∴A最小值为AC−C， 取CD的中点G，连接GF、AG，如图： ∵G是CD中点，F为D的中点， ∴FG是△CD的中位线， ∴FG＝C＝BC＝4， ∴F点的轨迹是以G为圆心，4为半径的弧， ∴F与A、G共线时，AF最小， ∵AG＝＝10， ∴AF最小为AG−FG＝10−4＝6， 故答案为：，6． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，勾股定理，根据点与圆的位置关系求最值，解题的关键是掌握折叠的性质，找到和F的轨迹． 类型五、直角圆 【解惑】在等腰直角三角形中，，D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E，则长的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理，由为直径得到，接着由得到点E在以为直径的圆O上，于是当点O、E、C共线时，最小，在中利用勾股定理计算出，从而得到的最小值． 【详解】解：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆O上， ∵ ∴圆O的半径为2， ∴当点O、E、 C共线时，最小， 在中， ∵， ∴， ∴， 即线段长度的最小值为． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题关键在于结合实际运用圆的相关性质． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，连接，取的中点，连接， ，根据圆周角的性质可知点在正方形 内以为直径的上，可推出 ，由勾股定理可得 ，再结合三角形三边关系得出当且仅当、、三点共线时，线段取得最小值，解题的关键是判断出点的运动轨迹，找到使线段取最小值的位置． 【详解】解：连接，取的中点，连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵正方形的边长是，点是边的中点， ∴，， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴当且仅当三点共线时，线段取得最小值， ∴线段的最小值为， 故选：． 2．如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，如图所示，由圆周角定理的推论得到，从而确定动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示，由点到圆周上动点距离最值的求法转化为，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 以为直径作， ，则， ， 动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示： 连接，在中，由三角形三边关系可得，从而当三点共线时，可取到最小值，为， 已知中，，， 在中，，则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及圆的性质、圆周角定理的推论、动点最值问题-圆弧型、三角形三边关系、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-圆弧型的解法步骤是解决问题的关键． 3．如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质，确定点的运动轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题是解答本题的关键． 连接，根据圆周角定理，由为直径，得到，由得到点在以为直径的⊙上，当点、、共线时，最小，利用勾股定理求出，进而求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，连接，   为直径， ， ， 点在以为直径的⊙上， ⊙的半径为， 当点、、共线时，最小， 在中，，， ， ， 即线段长度的最小值为． 故答案为：． 类型六、切线与勾股定理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接．    ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接、，作交于，则，由切线的性质可得，由勾股定理可得，则当时，最小，也取得最小值，由等边三角形的性质和勾股定理可得，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、，作交于，则，   , 是的切线， ， ， 当时，最小，也取得最小值， 为等边三角形，，边长为4， ，， ， 的最小值为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．如图，在等边中，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，过点作与相切于点，则线段的最小值为 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理、切线的性质定理、垂线段最短等知识，连接，，作于点，则勾股定理求得，，且当的值最小时，的值最小，进而即可求解． 【详解】如图，连接，，作于点，则 在等边中，， ， ． 与相切于点 ， ，且当的值最小时，的值最小， 当时，最小为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、切线的性质、勾股定理、三角形面积公式，连接，，求出，，由勾股定理得出，由切线的性质结合勾股定理得出，当最小时，的值最小，当时，的值最小，此时的值最小，由等面积法得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，，    在中，令，则，故，， 令，则，解得：，故，， ， 是的切线， ， ， 的长度为不变， 当最小时，的值最小， 当时，的值最小，此时的值最小， ， ，此时， 长度的最小值为， 故答案为：． 类型七、中位线与瓜斗原理 【解惑】如图，的半径为2，是直径，点C，M在上，，取弦的中点N，连接，当点M在上运动时，线段的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据点N是的中点，得出，得出点N在以为直径的圆上，设为，得出，连接，与的交点即为N点，此时有最小值，最小值为，作于P，于H，求出这个最小值即可． 【详解】解：连接，， ∵点N是的中点， ∴， ∴点N在以为直径的圆上，设为， ∴， 连接，与的交点即为N点，此时有最小值，最小值为， 作于P，于H， ∵， ∴P是的中点， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，确定圆的调节，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取最小值时的位置． 【融会贯通】 1．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在与圆B的交点时，最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：直线， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为1， 如图，在x轴上取，连接， ∵M为线段的中点，， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，即最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段上时，最小， ∵，， ∴由勾股定理， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，掌握一次函数与坐标轴交点坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最小值时点C的位置是关键． 2．（1）如图①，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、2为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最小值为 ． （2）如图②，点A、B的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】（1）连结，取的中点D，连结，，根据三角形的中位线定理得，则点C在以定点D为圆心，1为半径的圆上运动，所以当点C运动到线段上时，的值最小，求出的长，即得的最小值； （2）连结，取的中点D，连结，，根据三角形的中位线定理得，则点M在以定点D为圆心，为半径的圆上运动，所以当点M运动到线段的延长线上时，的值最大，求出的长，即得的最大值． 【详解】（1）连结，取的中点D，连结，，    为的中点， ， 所以点C在以定点D为圆心，1为半径的圆上运动， ，，， ， ， 所以当点C在线段上时，的值最小，最小值为； 故答案为：． （2）连结，取的中点D，连结，，    为的中点， ， 所以点M在以定点D为圆心，为半径的圆上运动， ，，， ， ， 所以当点M运动到线段的延长线上时，的值最大，最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形与坐标，圆的定义，三角形中位线定理，求圆外一点到圆上点的距离的最值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 3．如图，等边中，，点是以为圆心，半径为1的圆上一动点，连接，取的中点E，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接，根据中位线的性质得出，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∵ ∴当三点共线时， 此时如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 线段的最小值=， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆与动点问题，圆的性质，圆的切线的性质定理，等边三角形的性质，勾股定理，得出点的运动轨迹是解题的关键． 类型八、其他最值 【解惑】如图，在半圆O中，直径，C是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于D，点E是的中点．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，连接，，设的弧度为，求出的弧度为，求出，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时最小，则．图形折叠及三角形边关系的性质是解题关键． 【详解】解：连接，，    设的弧度为， ∴的弧度为：， ∵， ∴的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， ∴的弧度为：， 点为的中点， ∴的弧度为：， ∴的弧度为：， 即所对圆心角为，是等腰直角三角形的斜边，直角边为半径， ∵， 半径为1， ∴， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时最小， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为3， 故选A．    【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，，M是直线上的一个动点，以为直径作半圆O，连接与半圆O交于点F，E为的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据是直径，可得，由此可知点在以为直径的圆上运动，再找到圆上一点到的最小距离为，由此即可解答． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴设的中点为，点在以为直径的圆上运动， 过点F作，，垂足分别为、H，交圆于，   ， ∵， ∴当点与H点重合时，的边高最小，的面积最小，此时， ∵，， ∴，， ∴， 连接、， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的运动轨迹，矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角所对的圆周角是直角等知识，解题关键是发现点在以为直径的圆上运动， 3．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判断出点M的运动轨迹，属于中考常考题型． 如图，设的中点为O，连接，判断出点M的运动轨迹，利用勾股定理求出进而求解． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，作于H，    ， 是的中点， ， ， ， ∴点M的运动轨迹是以为直径的⊙T， 设⊙T交于点E，交于点F，连接，则是直径， ∴点M的运动轨迹在以为直径的上（即上），， ， ， 连接，与交于点M，    在中， ， ， 当时，此时最小， ， 故答案为：． 类型九、费马距离 【解惑】背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 【答案】(1)150 (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，，勾股定理定理逆定理，得到，进而推出的度数，即可得解； （2）①将绕点逆时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质和等边对等角，得到，为直角三角形，进而得到，证明，得到，即可得出结论； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，易得为等边三角形，，推出，得到当且仅当四点共线时，的值最小为的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵将绕顶点A逆时针旋转60°到 ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：150； （2）①由图可知：， ∵， ∴， 将将绕点逆时针旋转，得到，连接，    则：， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 又，， ∴， ∴， ∴； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，    则：，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形和特殊三角形．本题考查半角模型，费马点问题，难度较大，属于压轴题． 【融会贯通】 1．（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短 （2）5 （3） 【分析】（1）根据推论过程填写根据即可；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可． 【详解】（1），， 为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值． 故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 根据旋转的性质可知：， ， 即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中， ， ， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转的性质得，即可求解； （2）同理将绕点逆时针旋转得到，当四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于，同理可得，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 是等边三角形， ， 四点在同一直线上， ， ， 由旋转得： ， ， ； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中 ， 故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时 ， 由旋转得：， ， ， 设正方形的边长为，则有 ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：，（舍去）， ， 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，正方形的性质；掌握“费马点”典型模型的解法是解题的关键． 3．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析 (2)7 (3) 【分析】（1）①根据题目所给的推理步骤即可解答；②当时，根据大边对大角得出，进而求出顶点A到另两个顶点距离和最小，即可求证； （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， 求出，则，根据勾股定理可得：，最后根据勾股定理得出即可求解； （3）根据题意可得：总的铺设成本为万元，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求出，则当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，用和（2）同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由几何公理：两点之间选的最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．    ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵， ∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值， 即此时的A点为该三角形的“费马点”．    （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，    由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则 根据勾股定理可得：， ∴； （3）解：根据题意可得： 总的铺设成本为万元， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，则， 当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 即最小值为， ∴总铺设成本最少为万元． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 类型十、阿氏圆 【解惑】【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 【融会贯通】 1．数学概念 如图①，AE是△ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DA＝DE，那么点D叫做△ABC的边BC上的“阿氏点”． 概念理解 （1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边BC上的“阿氏点”，用字母D表示（不写作法，保留作图痕迹）； 性质探究 （2）在（1）中，求证：△DAB∽△DCA； 知识运用 （3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，以D为圆心，DA为半径的圆恰好经过点C，且与BD交于点F． ①求证：点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”； ②若BE，DE＝2，AE＝3，则⊙D和⊙O的半径长分别为 ， ． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）①见详解；②3；． 【分析】（1）根据题意，作∠BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD，即可得到答案． （2）由DA＝DE，得到∠AED=∠EAD，然后证明∠B=∠CAD，即可得到结论成立； （3）①连接AF，由DA=DF=DC，则∠AFD=∠FAD，∠ABD=∠CAD，然后得到∠BAF=∠FAC，即可得到结论成立； ②由（2）可知，易证△DAB∽△DEA，则，即可求出DA的长度；作DG⊥AC，则点G是AC的中点，连接OG，OA，由垂径定理，得到OG⊥AC，然后求出AC的长度，然后得到DG的长度，利用勾股定理，即可求出OA的长度． 【详解】解：（1）如图：根据题意，作∠BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD． （2）如（1）图， ∵DA＝DE， ∴∠AED=∠EAD， ∵∠AED=∠B+∠BAE，∠EAD=∠EAC+∠CAD， 又AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠EAC， ∴∠B=∠CAD， ∵∠ADC=∠CDA， ∴△DAB∽△DCA； （3）证明：①连接AF，如图： ∵DA=DF=DC， ∴∠AFD=∠FAD，∠ABD=∠CAD， ∵∠AFD=∠ABD+∠BAF，∠FAD=∠CAD+∠FAC， ∴∠BAF=∠FAC， ∴AF平分∠BAE， 在△ABE中，AF平分∠BAE，DF=DA， ∴点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”； ②由（2）可知， ∵∠ABD=∠CAD，∠ADE=∠EDA， ∴△DAB∽△DEA， ∴，即， ∴（负值已舍去）； 如图，作DG⊥AC，连接OG，OA， ∵DA=DC， ∴点G是AC的中点， 由垂径定理，则OG⊥AC， 易证△AED∽△BEC， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在△ADG中，利用勾股定理，则 ， 在Rt△AOG中，设OA=OD=r，则OG=， 由勾股定理，得， ∴， 解得： ∴⊙D和⊙O的半径长分别为3和； 故答案为：3；． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，以及作图的基本步骤，解题的关键是熟练掌握题意，掌握所学的知识对题目进行分析，正确作出辅助线，从而进行解题． 2．阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”． 如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆． 下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）： 过点作交的延长线于点． ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，…… 任务： （1）判断是否平分，并说明理由； （2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分； （3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________． 【答案】（1）平分．理由见解析；（2）点的运动轨迹是以为直径的圆，见解析；（3） 【分析】（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证； （2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点的运动轨迹是以为直径的圆； （3）结合题目所给的材料分别求得AB的内分点和外分点的坐标，进而可求得点所在圆的圆心坐标． 【详解】解：（1）平分．理由如下： ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴， 即平分． （2）∵，， 且， ∴． ∴为直径． ∴点的运动轨迹是以为直径的圆． （3）∵，， ∴AB＝3，且AO＝2OB， ∵， ∴点O为AB的内分点， 当点C为AB的外分点时，CA＝2CB， ∴CB＝AB＝3， ∴OC＝OB+BC＝4， ∴点C的坐标为（4，0）， ∴点所在圆的圆心坐标为（2，0）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似. 【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值. 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在上取点，使得； 第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)： 解：在上取点，使得， 又. 任务： 将以上解答过程补充完整. 如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值. 【答案】（1）（2）. 【分析】         ⑴    将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可； ⑵    根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P，A对应C，B对应M，当D在AB上时为最小值，所以= = 【详解】解， ，当取最小值时，有最小值，即三点共线时有最小值，利用勾股定理得 的最小值为， 提示：，， 的最小值为. 【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键. 【一览众山小】 1．如图，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点为圆心的扇形，已知雨刮器的总长为，其中橡胶部分的长为．若其中一个雨刮器在车窗上从位置摆动至位置，则橡胶部分扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据、求出，结合扇形的面积公式，根据橡胶部分扫过的图形面积计算即可． 【详解】解：，， ， ， 橡胶部分扫过的图形面积 ． 故选：D． 2．如图，以为直径的与相切于点，且、、三点在同一直线上，过点作弦交圆于点，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，连接，设与的交点为，由切线的性质得，进而由得，，根据，可得，再由垂径定理得，，由得到，最后可由勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与的交点为， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质及动点轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用圆周角定理确定P点的轨迹．连接，由，可得点P是在以为直径的弧上运动，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长，据此求解即可． 【详解】如图，连接， 是的直径， ， 点P是在以为直径的弧上运动， 当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长， ， 中，， ， 故选：C 4．如图，点为正方形的对称中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意知，，由，得，，证明，则，是等腰直角三角形，由是中点，则，，，如图，过作于，过作于，由，可知四点共圆，由，可得，进而可得在线段上运动，如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，由题意知，，且，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，，计算求解的值即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是中点， ∴， ∴，， 如图，过作于，过作于， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴在线段上运动， 如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接， 由题意知，， ∴， ∴三点共线时，值最小， ∵， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点的运动轨迹． 5．如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在直线上，点在线段上，且，点为边上一动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】证明可知点在以为直径的上，作点关于的对称点，连接，与交于点，与交于点，当点分别位于点时，根据两点之间线段最短，可知的最小值，即为线段的长度，利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上，作点关于的对称点，连接，与交于点，与交于点，当点分别位于点时，根据两点之间线段最短，可知的最小值，即为线段的长度， ∵，，点为的中点， ∴，的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，确定出点的位置是解题的关键． 7．（1）如图1，已知半径是4，A是上一动点，，则的最大值是　　　　． （2）如图2，在中，，，，点D是边上一动点，连接DB，过点A作于点F，连接，求的最小值． （3）如图3，日月岛景区有一片圆形人工湖，湖上有一座木桥供游客行走，其中长为米，为了方便游客游览，景区计划增加两座木桥，根据设计要求，在湖边确定一点A，沿，修建木桥，使，并在AC中点P处修建一个凉亭，沿修建水上文化长廊，由于文化长廊造价高达10000元/米，为了控制成本，景区要求文化长廊的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造文化长廊的最低费用． 【答案】（1）13；（2）；（3）元 【分析】（1）点A位于直线与的左侧交点时，取最大值； （2）根据可得点F在以为直径的半圆上，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值； （3）根据题意可知点在以点为圆心，弦的圆上，连接，，进而求得，，连接，，可知，则点在以为直径的圆上，取的中点，连接，交于，则即为的最小值，再根据勾股定理即可求得，得，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，当点A位于直线与的左侧交点时，取最大值，最大值为：， 故答案为：13； （2）， ， 点F在以为直径的半圆上， 如图，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． ，中点为E， ， 又，， ， ， 即的最小值为． （3）∵，， ∴点在以点为圆心，弦的圆上， 连接，，则，，则， ∴， 连接，， ∵点为的中点， ∴， 则点在以为直径的圆上，取的中点，连接，交于， 则即为的最小值， ∵，， ∴， ∴， 则建造文化长廊的最低费用为元． 【点睛】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质等，通过作辅助线判断出点的运动轨迹是解题的关键． 8．阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． ②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵，∴，∵，∴， ∴______，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 【答案】(1)① ②，后面过程见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）①根据得到点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，再根据圆周角定理求出答案； ②根据图形结合推理过程直接解答即可； （2）连接，由对称性得到，得到点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的最小值； （3）连接交于点O，证明，得到，推出，得到点P的运动路径是以为直径的圆弧，根据弧长公式求出点P的运动路径长为． 【详解】（1）解：①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，∴，故答案为：； ②∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴，∴． ∴最小值为2，故答案为：； （2）解：如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称，∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵，，∴， ∴的最小值为，故答案为：4； （3）解：如图4，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴点P的运动路径是以为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键． 9．【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用： 【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解； 构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用 勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解． 【详解】解：问题情境∶小红的说法正确， 在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，>， ∴>，即>． ∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 构造运用：由折叠知， ∵是的中点， ∴， ∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为的菱形中， ，为中点， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴， ； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键． 10．问题提出 （1）如图1，为⊙O的弦，，点是⊙O上的一个动点，且，则的最大值为 ； 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，求的最大值； 问题解决 （3）如图3，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的最大值；（3）存在，的最小值为米 【分析】（1）经过点时，取最大值，连接，由圆周角定理得到，再得出是等边三角形，即可求解； （2）取的中点，连接，，，再利用勾股定理即可求解； （3）取的中点，连接，，分别证明，，得到，再利用勾股定理求出当点共线时， 的最小值即可求解． 【详解】解：由题意知，圆上两点直径最长，则经过点时，取最大值，连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取的中点，连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵点是的斜边的中点， ∴， ∵根据三角形三边关系可得： ， ∴当点，点，点共线时，最大值为：， ∴的最大值； （3）存在；取的中点，连接，，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，是的中点，， ∴， 在中， ， 在中， ， 当点共线时， 有最小值， ， ∴的最小值为：米． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，正方形与矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$