专题02 圆（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题02圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆的平移 【解惑】如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，与边交于点，延长交于点，延长交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，若将沿轴向右平移，使得与轴相切，则向右平移的距离为（   ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 2．如图，扇形圆心角为，将扇形沿着射线方向平移，当点落到线段中点时平移停止，若的长为，则图中阴影部分的面积是 ． 3．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，为正方形外两点，．给出如下定义： 如果线段平移m个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称m的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为d．    (1)如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是_________；在点中，连接点M与点________的线段的长度等于d． (2)若点都在直线上，求d的值； (3)若点M的坐标为，直接写出d的取值范围． 类型二、圆的折叠 【解惑】方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是半圆上一点，是直径，将弓形沿翻折交于点，若，，则的长为 ． 3．如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．    (1)当点D刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长； (3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______． 类型三、圆的旋转 【解惑】如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【融会贯通】 1．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转得扇形，点O，B的对应点分别为点C，D．当点C落在上时旋转停止，则阴影部分的面积为 ． 3．定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的旋转点．    (1)已知点，点，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是________． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． 类型四、圆锥侧面积的最短路径 【解惑】如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【融会贯通】 1．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 2．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 3．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍， （1）求它的侧面展开图的圆心角． （2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长 类型五、三角形的内切圆与外接圆综合 【解惑】如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 2．如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为 ． 3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr . 下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）： 延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN. ∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等）， ∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ① 如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°. ∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°， ∴∠DBE=∠IFA． ∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等）， ∴△AIF∽△EDB． ∴，∴②， 由（2）知：， ∴ 又∵， ∴ 2Rr(R d )(R d ) ， ∴ R d 2Rr ∴ d R 2Rr 任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）； （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明） （3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 　　cm． 类型六、秦九韶与海伦公式 【解惑】【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九铝公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【融会贯通】 1．【阅读发现】 小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考： 两个公式： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积； 【尝试应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积． （2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示） 【发现关联】 思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，． 2．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． 3．阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 (1)阅读材料中的解方程组得①______． (2)[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． (3)[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 类型七、圆的无刻度尺作图 【解惑】如图，在的网格中，，，三点均为格点（点，，均在圆上）．请仅用无刻度的直尺作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．    (1)在图中，画的中点，再作的高； (2)在图中，在上画点，使，再在上画点，使． 【融会贯通】 1．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点在格线上，为圆的直径． （）的度数为 ； （）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 2．如图，矩形内接于．请仅用无刻度的直尺完成画图，并回答问题． (1)如图（1），画出圆心O； (2)如图（2），E为上一点，，画出弧的中点P； (3)如图（3），E为上一点，四边形是菱形． ①试判断直线是否经过点O，并简要说明理由； ②与相交于点G，在上画点M，使． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在下列所给定的网格中完成画图． (1)在图1中，，，三点是格点，是经过，，的圆上一点，请画出的中点，再在上画点，使； (2)在图2中，，都在格点上，为经过，的圆上一点，请先画出该圆的圆心，再在上画点，使得． 类型八、圆的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”． (1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，． ①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ； ②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围； (2)已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”． (1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ； (2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围； (3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值． 2．【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，对于坐标平面内的一点，给出如下定义：若，则称点为线段的“亲近点”．    (1)当时 ①在点，，，中，线段的“亲近点”的是______； ②点在直线上，若点为线段的“亲近点”，求点的坐标． (2)若直线上总存在线段的“亲近点”，则的取值范围是 ．（直接写出答案） 类型九、动圆相切 【解惑】探究与推理 如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒； (1)用含有的式子表示． (2)当为何值时，点恰好落在线段上； (3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由． 【融会贯通】 1．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒（），回答下列问题：    (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出的取值范围． 2．如图1，在菱形中，，．动点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到点时停止，连接，点与点关于直线对称，连接，．设运动时间为（秒）． (1)菱形对角线的长为___________； (2)如图2，当点恰在上时，求的值； (3)当时，求的周长； (4)直接写出在整个运动过程中，线段扫过的面积． 3．如图，矩形，点在上，，点从点出发，沿轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为秒．    (1)求点的坐标； (2)当时，求的值； (3)以点为圆心，为半径的随点的运动而变化，当与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值． 类型十、阿基米德折弦定理 【解惑】【了解概念】 折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， …… （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 【融会贯通】 1．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿基米德折弦定理 从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦，如图1．古希腊数学家阿基米德发现，若，是的折弦．是的中点，于点，则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”． 证明如下：如图2，在上截取，连接，，，． 则（依据1）． ∵是的中点，∴， ∴． 在和中， ∴，∴． ∵于点，∴（依据2）． ∴．      任务： (1)填空：材料中的依据1是指________________；依据2是指________________． (2)如图3，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，求的长． 2．有关阿基米德折弦定理的探讨与应用 【问题呈现】 （1）阿基米德折弦定理：如图①，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向作垂线，垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图②，在上截取，连接、、和． ∵M是的中点，． …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【理解运用】 （2）如图③，内接于，过点O作于点D，延长交于点E，过点E作于点F．若，，则的长为______． 【实践应用】 （3）如图④，等边内接于，点D是上一点，且，连接．若，则的周长为______．          3．（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， 是的中点， ∴， ∴①， 又∵②， ， ， 又， ， ，即， 根据证明过程，完成下列步骤： ① ，② ． （2）【理解运用】如图1，是的两条弦，， 点是的中点，于点，则的长为_____． （3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．    【一览众山小】 1．每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 2．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，若是这个网格中的格点，连接，则所有满足的中，边的长的最大值是（    ） A． B．6 C． D． 3．如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，小珍同学用半径为， 圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ． 5．如图①，是半圆的直径，是半圆上的一点，连接．点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，若的周长为6，则 ． 6．如图，扇形圆心角为，半径为2．作半径的垂直平分线，分别交，，于点D，F，E，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）    7．如图，是等边的外接圆． 【问题原型】如图①，连结，延长交弦于点M，交于点P，连结、．求证：； 【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下． ∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ∴，， ∴，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ∴． 【方法应用】如图2，若P为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】如图③，若的半径为2，且P为上一点，且，则四边形的面积的是 ． 8．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 9．在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． (1)如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； (3)如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 10．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆的平移 【解惑】如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，与边交于点，延长交于点，延长交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内心、正方形的判定与性质、勾股定理逆定理、平移的性质，连接，，由三角形内心的性质得出，由平移可得，，得到，从而得出，推出，同理可得：，即可得出的周长，由勾股定理逆定理得出，证明出四边形是正方形，求出的长即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ，点为的内心， 平分， ， 由平移可得：，， ，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得：， 的周长为， ， 为直角三角形， ， 四边形是矩形， 点为的内心， ， 四边形是正方形， ， 正方形的周长为， 图中阴影部分的周长为， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，若将沿轴向右平移，使得与轴相切，则向右平移的距离为（   ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论．分圆在轴的左侧与轴相切、圆在轴的右侧与轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答． 【详解】解：当圆在轴的左侧与轴相切时，平移的距离为， 当圆在轴的右侧与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向右平移的距离为1或5； 故选：D 2．如图，扇形圆心角为，将扇形沿着射线方向平移，当点落到线段中点时平移停止，若的长为，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，由图形可得，利用求出扇形的半径即可求解，通过图形得到是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， 设扇形的半径为， ∵，的长为， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，为正方形外两点，．给出如下定义： 如果线段平移m个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称m的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为d．    (1)如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是_________；在点中，连接点M与点________的线段的长度等于d． (2)若点都在直线上，求d的值； (3)若点M的坐标为，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)平行； (2) (3) 【分析】（1）由平移的性质可得：，由平移的距离的含义结合新定义可得：连接点M与点的线段的长度等于d． （2）如图，在正方形的边上取，可得，再结合一次函数的性质与垂线段最短可得答案； （3）如图，当平行于正方形的边时，不妨设当，且，在上（或在上）时，此时平移距离最短，如图，当与正方形的边不平行时，此时越接近时，平移距离最大，再利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，， ∴， 由平移的距离的含义结合新定义可得：连接点M与点的线段的长度等于d． （2）如图，在正方形的边上取，则，    ∵， ∴，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴直线， 当直线时，， 记直线的交点为，过作直线于，则， 当时，则， ∴， 记直线与轴的交点为， ∴， 同理可得：， ∴， ∴； （3）如图，当平行于正方形的边时， 不妨设当，且，在上（或在上）时， 此时平移距离最短，    ∵， ∴， 如图，当与正方形的边不平行时，    此时越接近时，平移距离最大， ∵， ∴； ∴； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，正方形的性质，一次函数的性质，圆的基本性质，本题难度大，理解题意是关键． 类型二、圆的折叠 【解惑】方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、圆周角的知识，根据折叠和圆的相关知识得出，再利用圆周角知识求值，掌握圆的相关知识是解此题的关键． 【详解】解：如图，设圆的半径为，连接，可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴如图④：， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连结，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 2．如图，是半圆上一点，是直径，将弓形沿翻折交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，相等弧对的圆周角相等，勾股定理；连接，过点C作于点E；由折叠性质及相等弧对的圆周角相等可得，则E为中点且，设，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点E； 由折叠性质得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设， 一方面，，， 另一方面，在中，， ∴， 解得：； 故答案为：． 3．如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．    (1)当点D刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长； (3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，三角形全等的判定和性质．熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，通过证明为等边三角形，得出，进而得出，根据弧长公式即可求解； （2）过点O作于点G，通过证明，得出，再根据垂径定理即可求解； （3）根据题意补全图形，过点O作于点H，通过证明，得出，再根据垂径定理即可得出． 【详解】（1）解：连接， ∵沿翻折得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．    （2）解：过点O作于点G， ∵沿翻折得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．    （3）解：如图：过点O作于点H， ∵沿翻折得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：．    类型三、圆的旋转 【解惑】如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点． 连接，延长交于点，由垂径定理可得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得出，解得，则得出答案． 【详解】解：连接，延长交于点， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 2．如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转得扇形，点O，B的对应点分别为点C，D．当点C落在上时旋转停止，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，先判定为等边三角形，根据求解即可 【详解】解：如图，连接，作于点E， 由题意：， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的旋转点．    (1)已知点，点，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是________． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角旋转点的定义，圆的知识，解题的关键是学会找特殊点，特殊位置解决问题． （1）根据锐角旋转点的定义，进行解答，即可； （2）以原点为圆心，为半径，作，交正半轴于点，当经过点时，；求出的值；当经过点时，则，则点；当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定落在某条直线上， 当与相切且切点在第四象限时，连接，此时时，有最小值，根据勾股定理，求出，再根据等面积法，即可． 【详解】（1）∵点，点， ∴， ∵点，，， ∴，，， ∴， 如图：， ∴是点关于点的锐角旋转点． 故答案为：．    （2）以原点为圆心，为半径，作，交正半轴于点， ∵点， ∴， 当经过点时，； ∴， 当经过点时，则 ∴点； 当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定落在某条直线上， 当与相切且切点在第四象限时，连接，此时时，有最小值， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为：．    类型四、圆锥侧面积的最短路径 【解惑】如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 【融会贯通】 1．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 2．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 3．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍， （1）求它的侧面展开图的圆心角． （2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长 【答案】（1）它的侧面展开图的圆心角为90°；（2）BB′＝8． 【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后求出n的值即可； （2）连接BB′，如图，根据两点之间线段对短得到BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，然后利用△ABB′为等腰直角三角形得到BB′的长． 【详解】解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2πr＝， 而l＝2r， 所以2πr＝，解得n＝90， 所以它的侧面展开图的圆心角为90°； （2）连接BB′，如图， 此时BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径， ∵r＝4， ∴l＝2r＝8， ∵∠BAB′＝90°， ∴△ABB′为等腰直角三角形， ∴BB′＝AB＝8． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决． 类型五、三角形的内切圆与外接圆综合 【解惑】如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 2．如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为 ． 【答案】 【分析】作于点D，作于点F，连接和，可得平分，且垂直平分，及和，点A、点P、点Q、和点共线，进一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案． 【详解】解：作于点D，作于点F，连接和，如图， 则， ∵， ∴平分，且垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵、分别是的内心和外心， ∴点P、点Q、线段都在线段上， 则，，， 在中，，得，解得， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵， ∴，解得， 则． 故答案为∶． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr . 下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）： 延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN. ∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等）， ∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ① 如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°. ∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°， ∴∠DBE=∠IFA． ∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等）， ∴△AIF∽△EDB． ∴，∴②， 由（2）知：， ∴ 又∵， ∴ 2Rr(R d )(R d ) ， ∴ R d 2Rr ∴ d R 2Rr 任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）； （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明） （3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 　　cm． 【答案】（1）   （2），证明见解析   （3） 【分析】（1）根据线段的差求解即可； （2）根据点I是△ABC的内心，推出，进而根据外角性质以及圆周角定理得到，即可得证； （3）利用（1）和（2）的结论可得，进而得出，再代入求值即可． 【详解】（1）∵IM R d ∴； （2） ∵点I是△ABC的内心 ∴ ∵ ∴ ∴； （3）由（2）知 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握线段的和差关系、内心的性质、外角的性质、圆周角定理是解题的关键． 类型六、秦九韶与海伦公式 【解惑】【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九铝公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)过程见解析，面积 (2)见解析 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）过C作于H，设，则，利用勾股定理表示出，用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7， ∴ ∴ （2）解：过C作于H，设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：． 在中，， ∴． 【融会贯通】 1．【阅读发现】 小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考： 两个公式： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积； 【尝试应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积． （2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示） 【发现关联】 思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，． 【答案】【尝试应用】（1）；见解析；（2）；【发现关联】见解析 【分析】尝试应用：（1）代入；过点作，设，则，在和中，应用勾股定理，可求出，，代入面积公式即可求解， （2）过点作，设，，则，根据勾股定理得到，，联立得：，解得：，由面积公式得到：，代入即可求解， 发现关联：将应用平方差公式进行展开，即可求解， 本题考查了，勾股定理，平方差公式的运用，二次根式的应用，解题的关键是：熟练掌握勾股定理，平方差公式进行运算． 【详解】解：尝试应用（1） ， 过点作， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴这个三角形的面积为：， （2）过点作， 设，，则， 则：，， ∴，解得：， ∴ ； 发现关联： ；其中． 2．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． 【答案】(1)的面积是 (2)边的高是 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． 3．阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 (1)阅读材料中的解方程组得①______． (2)[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． (3)[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题题型属于阅读理解型分式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可． （1）将代入求解即可； （2）仿照②的运算方法求解即可； （3）根据海伦秦九韶公式求解即可． 【详解】（1）将代入得， ； （2） 于是 ； （3）∵，，， ∴ ∴的面积． 类型七、圆的无刻度尺作图 【解惑】如图，在的网格中，，，三点均为格点（点，，均在圆上）．请仅用无刻度的直尺作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．    (1)在图中，画的中点，再作的高； (2)在图中，在上画点，使，再在上画点，使． 【答案】(1)图形见解析； (2)图形见解析； 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接，延长交的外接圆于点，由，则，过圆心，再取格点，连接交于点，则，结合全等三角形的性质可得：，则点，点即为所求； （2）取网格线的中点，连接，延长交于点，由∽，推出，可得，利用网格特征作出线段的垂直平分线交网格线一点，连接交于点，连接，点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点，线段即为所求； （2）如图中，点，点即为所求．    取网格线的中点，连接，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，由网格特点可得：为的垂直平分线，是的垂直平分线，其交点为圆心，取与格线的交点，连接并延长与格线交于点， 则为线段的垂直平分线，连接交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定与性质，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆的圆心的确定等知识，解题的关键是善于利用网格特征解决问题． 【融会贯通】 1．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点在格线上，为圆的直径． （）的度数为 ； （）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 ； 取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出D的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求； 本题考查了圆周角的性质，矩形的性质，正方形的性质，垂径定理，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵为圆的直径， ∴， 故答案为：； （）如图，取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求， 故答案为：取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求． 2．如图，矩形内接于．请仅用无刻度的直尺完成画图，并回答问题． (1)如图（1），画出圆心O； (2)如图（2），E为上一点，，画出弧的中点P； (3)如图（3），E为上一点，四边形是菱形． ①试判断直线是否经过点O，并简要说明理由； ②与相交于点G，在上画点M，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，的交点即为圆心O； （2）连接交于点Q，连接并延长交圆O于点P，点P即为所作； （3）①根据垂径定理的推论即可解题；②延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所作． 【详解】（1）解：连接，的交点即为圆心O； （2）解：连接交于点Q，连接并延长交圆O于点P，点P即为所作； 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）①直线必经过点O，理由为： 连接，， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴直线必经过点O； ②延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所作． 则，为矩形， ∴，，， ∴， ∵为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，掌握角所对的弦是直径，圆的轴对称性，矩形的中心对称，垂径定理的推论，掌握几何图形的对称性是解题的关键． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在下列所给定的网格中完成画图． (1)在图1中，，，三点是格点，是经过，，的圆上一点，请画出的中点，再在上画点，使； (2)在图2中，，都在格点上，为经过，的圆上一点，请先画出该圆的圆心，再在上画点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，作的垂直平分线，取点，连接，使，则为直径，的交点为圆心，取点，连接，使，则，与的交点即为，由垂径定理得，点为的中点，连接交于，连接交于，由可得，，则点即为所求； （2）如图2，作的垂直平分线，作，交圆于点，连接，则，为直径，交于点，则点即为圆心，点向左2个单位，向上2个单位为点，连接并延长交于点，则，连接，则，即点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线，格点向右3个单位，向上1个单位为点，连接， ∴， ∴为直径， 如图1，记的交点为，则为圆心，格点向左3个单位，向下1个单位为点，连接， ∴， ∴， 记与的交点即为， 由垂径定理得，点为的中点， 连接交于，连接交于， ∴， ∴，则点即为所求； （2）解：如图2，作的垂直平分线，作，交圆于点，连接， ∴， ∴为直径， 记交于点，则点即为圆心，点向左2个单位，向上2个单位为点，连接并延长交于点， ∴， 连接， ∵， ∴，即点即为所求． 【点睛】本题考查了直角所对的弦为直径，垂径定理，同圆中相等的圆周角所对应的弧相等，同弧所对的圆周角相等，作等腰三角形等知识．熟练掌握直角所对的弦为直径，垂径定理，同圆中相等的圆周角所对应的弧相等，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 类型八、圆的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”． (1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，． ①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ； ②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围； (2)已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)或． 【分析】（）根据新定义即可求解； 找到关键点先求出此时的值，然后即可求解； （）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可； 本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图， 根据题意，直线与以为半径的相切， 由图可知，等边三角形的“相关切点”是， 故答案为：； 根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图， 若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图， 由，是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， 此时， ∴的取值范围为； （2）如图，此时中，，， 此时，， 解得：（负值舍去）， 如图，此时中，，， 此时，， 解得：（正值舍去）， 如图， 此时，， 解得：或（舍去）， 如图， 此时，， 解得：（舍去）或， 综上可知：或． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”． (1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ； (2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围； (3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解； （2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解； （3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴，，，， ∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是， 故答案为：． （2）解：依题意，， 由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则， ∵为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． ∴， ∴当线段上存在一个点到原点的距离为时， 当时，如图所示， 当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则 则（除端点外）上所有的点到的距离都， ∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意， ∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”， ∴， 当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”， ∴； 根据对称性，当时，可得； 综上所述，或 （3）∵时 ∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上， 如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心， ①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则， 根据新定义可得， ∴， ②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则， 则对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 当在轴上时，两条边界线的正中间，则的最小值为， ∴即 综上所述，． 【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键． 2．【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①60；②（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明即可． 【详解】（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径,连接, 则 ∵圆的半径为5， ∴, ∵， ∴. ∴． （2）关系为：，理由如下： 如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， ∴, ∵平分， ∴, ∴是等边三角形， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，对于坐标平面内的一点，给出如下定义：若，则称点为线段的“亲近点”．    (1)当时 ①在点，，，中，线段的“亲近点”的是______； ②点在直线上，若点为线段的“亲近点”，求点的坐标． (2)若直线上总存在线段的“亲近点”，则的取值范围是 ．（直接写出答案） 【答案】(1)①A，C；②或 (2) 【分析】（1）①A、C是线段的“亲近点”，只要证明即可；②根据点P在直线上画图，作的外接圆C，连接，可知，的半径为2，最后计算的长可得点P的坐标； （2）当的外接圆与直线相切时，直线上开始存在线段的“亲近点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围． 【详解】（1）解：①如图1中，线段的“亲近点”是A、C．    当时，点， 由点中， 在中，，， ∴， ∴， ∴，故A是线段的“亲近点”， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，故C是线段的“亲近点”， 故答案为：A、C． ②如图2，作的外接圆C，连接，    ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得， 故答案为：或； （2）解：如图3，作的外接圆C，过C点作轴于点E，交直线于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线与x轴、y轴的交点分别为A、B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， 如图4，作的外接圆C，过C点作轴于点E，交直线于点F，    同理得，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴时，直线上总存在线段的“亲近点”． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点，特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 类型九、动圆相切 【解惑】探究与推理 如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒； (1)用含有的式子表示． (2)当为何值时，点恰好落在线段上； (3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当或时，与矩形的边相切，理由见解析． 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质以及勾股定理，可求出，再由，可得，即可求解； （2）根据折叠的性质可得垂直平分，从而得到，再由，即可求解； （3）连接，先求出，，然后分两种情况：当与边相切于时，当与边相切于时，即可求解． 【详解】（1）解：依题可知，由折叠可知 在矩形中，，， ， 又， ， ． （2）解：由折叠可知垂直平分， ， ， 点恰好落在线段上， ， ， ； （3）解：当或时，与矩形的边相切，理由如下： 连接， 依题可知，为的中点，为的中点，，，即半径为， ， 在矩形中，， 又，，， ， ，， ①当与边相切于时，如图①所示， 连接， 又， 、、三点共线 过作于 四边形为矩形， 解得； ②当与边相切于时，如图②所示 连接，并延长交于， ，， 四边形为矩形， ， 又，， 四边形为矩形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒（），回答下列问题：    (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)的形状是直角三角形，理由见解析 (3)①或② 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积等于列方程求解即可； （2）根据勾股定理逆定理进行求解即可； （3）①当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与相切；当正好与四边形的边相切时，由圆的性质可知，然后依据勾股定理列方程求解即可；②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，， ∴，， ∵的面积等于， ∴， ∴， 解得，， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于 （2）解：的形状是直角三角形，理由如下： ∵当秒时，，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 同理，在和中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 所以，的形状是直角三角形， （3）解：①（i）由题意可知与 、 不相切； （ii）如图1，当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，    ∵ ∴， ∴， ∴为的切线 （iii）当正好与四边形的边相切时，如图2所示，    由题意可知：，，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，，（舍去）， 综上，当或时，与四边形的一边相切； ②（i）当时，与四边形有两个公共点； （ii）如图3，当经过点D时，与四边形有两个公共点；    由题意知：，，，， 由勾股定理得，，， ∵ ∴， 即：， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴当时，与四边形有三个公共点 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理及逆定理以及解一元二次方程，根据题意画出图形，求得与四边形有两个公共点时t的值，从而确定出与四边形有三个公共点时t的取值范围是解题的关键． 2．如图1，在菱形中，，．动点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到点时停止，连接，点与点关于直线对称，连接，．设运动时间为（秒）． (1)菱形对角线的长为___________； (2)如图2，当点恰在上时，求的值； (3)当时，求的周长； (4)直接写出在整个运动过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】 （1）连接交于，依据菱形中，，，即可得到菱形对角线的长； （2）依据点与点关于直线对称，可得，进而得出，，，依据，，即可得到的值； （3）当时，有两种情况：点是的中点；点是的中点．分别依据的周长的周长，进行计算即可； （4）点运动路径为以点为圆心，6为半径，圆心角为的弧，从而得到线段扫过的部分为扇形，再利用扇形面积计算即可． 【详解】（1） 解：如图，连接交于， 菱形中，，． ， ，， ， 故答案为：； （2） 如图，菱形中，， ， 又是菱形的对角线， ， 点与点关于直线对称， ， ，，， ，， 即， 解得； （3） 当时，有两种情况：点是的中点；点是的中点． ①当点是的中点时，如图，过作于， 在中，， ，， 在中，，， ． 的周长的周长； ②当点是的中点时，如图，连接，则是等边三角形， ， 在中，， 与①同理，得， 的周长的周长； （4） 由题可得，点运动路径为以点为圆心，6为半径，圆心角为的弧， ∴线段扫过的部分为扇形， ∴线段扫过的面积为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的综合运用；解决此类问题的关键是能分析出各种情况的位置，分类讨论做到不重不漏，严密思考． 3．如图，矩形，点在上，，点从点出发，沿轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为秒．    (1)求点的坐标； (2)当时，求的值； (3)以点为圆心，为半径的随点的运动而变化，当与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)1或4或 【分析】（1）证明，利用等角对等边可得，即可得出点E的坐标； （2）分点P在E的左侧和右侧讨论即可； （3）分与、、相切，讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点P在E的左侧时，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在E的右侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或； （3）解：当与相切时，如图，   ， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 当与相切时，此时P和O重合，如图，    ∴， ∴； 当与相切时，如图，    此时， 在中，，，，， ∵， ∴， 解得， 综上，当t的值为1或4或时，以点为圆心，为半径圆与四边形的边（或边所在的直线）相切． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆与直线的位置关系、等腰直角三角形的判定与性质及外角的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决． 类型十、阿基米德折弦定理 【解惑】【了解概念】 折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， …… （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． （1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出再由所给的定义求出的长即可; （2）在上截取连接，，和，可证明 得到则可证明； （3）先证明为等腰直角三角形，得到，再求出，由（2）同理得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线，为切点， ∵是折线段的中点， ． （2）证明：如图,在上截取连接，，和， 是的中点， 在和中， ， ； （3）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可得，， ∴的周长 ． 【融会贯通】 1．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿基米德折弦定理 从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦，如图1．古希腊数学家阿基米德发现，若，是的折弦．是的中点，于点，则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”． 证明如下：如图2，在上截取，连接，，，． 则（依据1）． ∵是的中点，∴， ∴． 在和中， ∴，∴． ∵于点，∴（依据2）． ∴．      任务： (1)填空：材料中的依据1是指________________；依据2是指________________． (2)如图3，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；等腰三角形三线合一． (2) 【分析】本题考查圆周角定理的推论和等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质即可得到答案； （2）过点作于点．先求出，再求出，从而得，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：同弧所对的圆周角相等；等腰三角形三线合一． （2）如图，过点作于点， ∵是的直径， ∴∠， ∵，圆的半径为10， ∴， ∴， ∵， ∴是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．有关阿基米德折弦定理的探讨与应用 【问题呈现】 （1）阿基米德折弦定理：如图①，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向作垂线，垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图②，在上截取，连接、、和． ∵M是的中点，． …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【理解运用】 （2）如图③，内接于，过点O作于点D，延长交于点E，过点E作于点F．若，，则的长为______． 【实践应用】 （3）如图④，等边内接于，点D是上一点，且，连接．若，则的周长为______．          【答案】（1）见解析；（2）3；（3） 【分析】（1）先证明，得出，根据三线合一性质得到，进而得到；（2）利用垂径定理得到，根据阿基米德折弦定理求出，利用求出结果；（3）根据等边三角形性质，基米德折弦定理，结合题意得出是等腰直角三角形，求出，进而求出，从而求出结果． 【详解】解：（1）问题呈现：在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）， ， 是的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：3； （3）是等边三角形， ， ， 是的中点， ， 如图：作于点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，理解题中给出的阿基米德折弦定理是解答本题的关键． 3．（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， 是的中点， ∴， ∴①， 又∵②， ， ， 又， ， ，即， 根据证明过程，完成下列步骤： ① ，② ． （2）【理解运用】如图1，是的两条弦，， 点是的中点，于点，则的长为_____． （3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．    【答案】（1）相等的弧所对的弦相等，同弧所对的圆周角相等；（2）2；（3），见解析；（4）或 【分析】（1）根据圆的性质即可求解； （2）由“问题”呈现结论即可求解； （3）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）分两种情况讨论，由（1）结论可求解． 【详解】（1）解：由证明过程可知， （相等的弧所对的弦相等）； （同弧所对的圆周角相等）； 故答案为：相等的弧所对的弦相等，同弧所对的圆周角相等； （2）由题意得：，即， ， ， ， 故答案为：2； （3）， 证明：在上截取，连接、、、，如图3，    是弧的中点， ，， 又， ， ， ， 又， ， ，即； （4）如图4，当点在下方时，过点作于点，    是圆的直径， ， ，圆的半径为10， ， ， ， ， ， ， 当点在上方时，， 同理得， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 【一览众山小】 1．每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：由题意得，轨迹长为：． 故选：A． 2．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，若是这个网格中的格点，连接，则所有满足的中，边的长的最大值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键． 由 为定长，得点在如图以为圆心的圆上运动，即可得的长的最大值为直径的长 【详解】作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，如图， 因为为垂直平分线且， 所以， ∴， ∴， 所以弦所对的圆的圆周角为， 所以点在圆上，为圆O的弦，通过图像可知， 当点M在位置时，恰好过格点且经过圆心， 由 为定长,得点在如图以为圆心的圆上运动，得的长的最大值直径的长 故选:A. 3．如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，即为与直线有一个公共点的情况，点P只有在线段上，即符合题意，根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形，求得，设，则，则的中点M在直线上，得到，解方程得到（不合题意，舍去），于是得到结论． 【详解】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，    根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， ∵的半径为， ∴， ∴， ，则， 则的中点M在直线上， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．如图，小珍同学用半径为， 圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据弧长公式求出扇形弧长，再根据圆的周长公式求出圆锥上粘贴部分的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案，熟记弧长公式、扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵扇形纸片的半径为，圆心角为， ∴扇形弧长为：， ∵底面半径为， ∴圆锥的底面周长为， ∴圆锥上上粘贴部分的弧长， ∴圆锥上粘贴部分的面积为， 故答案为：． 5．如图①，是半圆的直径，是半圆上的一点，连接．点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，若的周长为6，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键. 当点运动到点处时， ， 即根据面积公式求出， 由的周长为， 得出，再根据勾股定理求出即可. 【详解】当点运动到点处时， ， 即 ∵为直径， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， 在中， 即， ， 故答案为：. 6．如图，扇形圆心角为，半径为2．作半径的垂直平分线，分别交，，于点D，F，E，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积计算，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，先根据垂直平分线的性质证得为等边三角形，得到，即可得到，然后根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，   垂直平分， ， 为等边三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 7．如图，是等边的外接圆． 【问题原型】如图①，连结，延长交弦于点M，交于点P，连结、．求证：； 【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下． ∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ∴，， ∴，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ∴． 【方法应用】如图2，若P为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】如图③，若的半径为2，且P为上一点，且，则四边形的面积的是 ． 【答案】方法应用：见解析  拓展提升： 【分析】本题考查了圆的综合应用，三角形全等和勾股定理的应用及准确的计算是本题的解题关键． 方法应用：延长到，使证明得出为等边三角形， 即可解答； 拓展提升：如图③， 连接， 由②得且四边形的面积等于以为边长的等边三角形的面积.作于， 连接， 作的延长线于，求出，利用勾股定理求出和，即可求出再利用等边面积公式求出以为边长的等边三角形的面积，即可解答此题． 【详解】方法应用：结论成立. 延长到， 使， 如图②， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即. 拓展提升：如图③， 连接， 由②得且四边形的面积等于以为边长的等边三角形的面积. 作于， ， 连接， 作的延长线于， ∵为等边三角形的中心点， ，且， ， ， ， ∵四边形为圆内接四边形， ， ，且 ， ， ， ， ， ∴以为边的等边三角形的面积为：， ∴四边形的面积为： ． 8．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2） 【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案： （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解． 【详解】问题解决： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中， ， ∴， ∴； 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用： （1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小， ， 由题意得：，，，， ∴由勾股定理得：， ∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 9．在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． (1)如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； (3)如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)长度的最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意判断角是否为即可； （2）根据直径所对的圆周角为，找出的运动轨迹后求解即可； （3）分类讨论的长度，求出关联弦的取值范围，再根据的取值范围求解即可． 【详解】（1）连接，，，，，，如图所示： 解：∵点，点，，，， ∴，，和是点的关联点； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 综上点的“关联弦”是和； （2）解：∵，， ∴， 设的中点为，则， ∵，的长为定值， ∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上，如图所示： ∴当在轴上时最大，此时，， ∴； （3）解：设是点的关联弦，， 当点在圆心上时，即，如图所示： 此时为等腰直角三角形，， ∴， 当点在圆上时，即时，如图所示： 此时为等腰直角三角形，， ∴当时，设的中点为连接，，如图所示： ∴， ∴当越大，越小时越大，即， ∴此时得到最大值，如图： ∴， ∵当点在圆外且与相切时，如图所示： 此时四边形为正方形，此时， ∴当时，设的中点为连接，，如图所示： ∴， ∴当越大，越小时越大，即， 所以此时得到最大值，如图： ∴， 综上所述； 又∵连接，，当时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵时关联弦的取值为：， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系，几何变换等知识点，根据所给的信息合理分类讨论弦的长度是解题的关键． 10．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形、正方形； (2)①的最小值是4；②；③或． 【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案； （2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形的性质可求解； ②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解； ③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角， ∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”； ∵菱形、正方形的对角线平分一组对角， ∴菱形、正方形一定是“可折四边形”； 故答案为：菱形、正方形． （2）解：①当，时，与最小， ∴此时最小； ∵，对角线平分． ∴ ∴， ∴ 答：的最小值为4； ②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G， ① 又平分，平分 ， ② ①×2－②得 ∵，，， 又平分，平分 ∴， 平分 ∴ ③如图2 过作，， 又∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 则，，，四点共圆 ∴， 当时，如图3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 当时，如图4 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴同理可求得，，， ． 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$