专题02 圆（期末复习讲义）九年级数学上学期苏科版

该初中数学圆专题复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，构建“考点-目标-考情”三维知识体系。分知识点细化圆心角关系、圆周角定理等内容，结合图形语言与符号语言呈现概念，通过“解题技巧+易错点拨”模块突出垂径定理、切线判定等重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，基础通关练夯实概念（如点与圆位置关系判断），重难突破练强化综合应用（如扇形面积与切线结合题），综合拓展练提升创新意识（如动态几何中的圆与多边形综合题）。题型示例中切线证明强调“连半径，证垂直”等方法，培养推理意识与几何直观，典例与变式适配不同层次学生，助力教师实施精准化复习教学。

专题02 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 弧、弦、圆心角的关系 理解圆、弧、弦、圆心角的概念及其关系； 基础常考点，常出现在选择题或填空题中，一般会以判断命题对错或者求弧的度数或者圆心角的度数形式出现； 点与圆的位置关系 探索并掌握点与圆的位置关系 必考点，一般位于选择题前两三题 垂径定理 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 常考点，通常多为填空题或解答题，作辅助线构造直角三角形计算长度； 确定圆的条件 三角形的内切圆和外接圆 理解确定圆的条件，三角形的内心与外心，三角形的内切圆和外接圆的相关概念和特性； 常考，一般为选择、填空题 圆周角定理 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 必考考点，圆中最重要的一个定理之一，通常会利用该定理计算角的度数或推理证明，选择、填空、解答题都会涉及该考点。 直线与圆的位置关系 切线的性质和判定 理解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念、性质和判定定理，能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线； 必考考点，圆中最重要的一个定理之一，通常会利用该定理计算、推理证明，通常为解答题，难度相对较大。 正多边形与圆的关系 知道正多边形的概念及正多边形与圆的关系，能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 常考考点，通常为选择或填空题，难度一般。 弧长公式与扇形面积 圆锥的侧面积 会计算圆的弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积； 常考题，难度中上，通常为填空题较多，偶尔也会放在解答题中与圆的综合大题放在一起考查。 知识点01 圆心角、弧、弦的关系 1. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 易错提醒：圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立． 知识点02 圆周角定理及其推论 1.文字语言：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等． 图形语言： 符号语言： 简记为： 2．推论： （1）直径所对的圆周角是直角． 图形语言： 符号语言： （2）圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角． 图形语言： 符号语言： 知识点03 垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 方法点拨： 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．垂径定理推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 知识点04 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外． 知识点05 直线和圆的位置关系 1. 直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点； （2）切线到圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径． 方法点拨：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 3．切线的三种判定方法总结： 方法一：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线． 方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． 方法三：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 图形语言： 符号语言： 方法点拨：切线判定常用的证明方法： 1 知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； 2 不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 知识点06 三角形与圆的关系 1．三角形的外接圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 知识点07 正多边形与圆的关系 正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径． 正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角． 正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 方法点拨： 有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。 知识点08 弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式 1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长=；扇形的面积==． 2．圆锥与侧面展开图 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr(l+r)． 方法点拨： 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 题型一 弧、弦、圆心角的关系 解｜题｜技｜巧 弧、弦、圆心角的关系考法一般有两种：一是利用三者的关系求角的度数或弧的度数；二是利用三者关系证明推理一些角或线段或者弧的关系。一般此处还会结合三角形的内角和定理，外角等于不相邻两内角和，等腰三角形的性质，平行线等相关知识。 易｜错｜点｜拨 此考点要注意一个问题：圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立．离开这个条件是不可以的，使用时一定要注意！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 题型二 圆周角定理及其推论 解｜题｜技｜巧 1.圆周角定理是圆中计算或者推理中使用最多的一个知识点，主要作用是计算角的度数或者推导角之间的关系等都会用到该定理，但使用中一定要注意该定理有个前提条件：“同弧或等弧”． 2．圆周角定理的两个推论也是圆中推理或计算用的非常广泛的一个知识点，甚至比圆周角定理本身用的都多，尤其是推论（1），因为此处牵扯到一个特殊的直角三角形。 易｜错｜点｜拨 1.每个定理的使用都是有前提条件的，圆周角定理的使用前提是“同弧或等弧”，这一点尤其在图形较为复杂的图形中，特别容易忽视。 2.圆周角定理的推论2使用要注意：只有圆内接四边形的对角是互补的关系，一般的四边形是没有这个性质的！ 【典例1】（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 【变式1】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏盐城·二模）如图，四边形内接于，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型三 垂径定理及其推论 答｜题｜模｜板 利用垂径定理解决圆的半径或者求线段长问题的方法步骤： （1）添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，如图中红色三角形所示；该三角形比较傲特殊，它的三条边分别为：圆的半径、弦心距、半条弦； （2）设出未知量，利用勾股定理列出一元二次方程； （3）解出方程的根即可； 易｜错｜点｜拨 利用垂径定理解决问题时，不要仅仅列好方程，求出解，还要结合相应的语言叙述辅助线的添加过程 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的弦（非直径），点C是弦上的动点（不与点A，B重合），过点C作垂直于的弦．已知弦的长为9，．则弦的长（   ） A． B．9 C． D．6 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ． 题型四 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 有关点与圆的位置关系问题，通常都会放在选择题前几题，题目相对简单，利用点到圆心的距离为d与圆的半径的大小关系来判断点与圆的位置关系： (1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外． 不过有不少时候出题人会反其道而行之，也就是给出点与圆的位置关系和圆的半径，让我们选择合适的或不合适的点到圆心的距离，或者结合坐标系，将圆放入平面直角坐标系中出题，我们要牢牢把握住本质，以不变应万变， 易｜错｜点｜拨 有关点与圆的位置关系问题，最易出错的就是题目中有时给的条件式半径的长，有时给的是圆的直径，所以，一定要注意审题，看清是“半径”，还是“直径”！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）平面直角坐标系中，点为原点，若的半径为5，则点与的位置关系是(   ) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【典例2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在中，，，是边上一点，，线段的最大值为 ． 【变式2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是 题型五 直线和圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 直线和圆的位置关系是必考考点之一，尤其是切线的性质和判定，非常重要，一般为解答题，难度中等偏上，此考点出题方式一般为第（1）小问利用切线的判定定理证明是切线，第（2）小问再利用切线的性质进行推理和计算。 方法点拨：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题，这是最常用的辅助线之一． 证明圆的切线的常见问题有两种类型： 类型一：有公共点，连半径，证垂直； 类型二：无公共点，作垂直，证半径； 常用的证明垂直的方法有六种： 方法1：利用等角代换法证明垂直；方法2：利用特殊角的计算证明垂直； 方法3：利用平行线性质证明垂直；方法4：利用勾股定理逆定理法证明垂直； 方法5：利用三角形全等证明垂直；方法6：利用相似三角形性质证明垂直。 易｜错｜点｜拨 切线的判定有一个容易忽略的细节“过半径的外端”，这个在证明完垂直后要交代一下这个条件，这个解题时要注意，否则容易丢分。 【典例1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【典例2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，与相切于点A． (1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，的半径为3，求的长． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）（1）如图，在中，，求作，使它经过边的中点，且与边、相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若过点B，且与、两条边所在直线相切，当，时，的半径长为 ． 【变式4】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)若（1）中圆O与相切于E，，，求线段的长． 题型六 三角形与圆的关系 解｜题｜技｜巧 确定圆的条件，主要就是三角形与圆的关系，这里面涉及到两个重要问题和图形，三角形的外接圆和内切圆的概念和性质，通常以选择或填空题形式出现，在考试中难度一般，相对不难。重点在与理解三角形的内心和外心的概念和性质。 易｜错｜点｜拨 三角形的内心和外心的概念是比较容易混淆的，这个要牢记：三角形的内心是三条角平分线的交点，三角形的外心是三边垂直平分线的交点。可以通过画图的方式理解内心和外心是如何来的，这样不易忘记和混淆。 【典例1】已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【变式1】（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，点I是的内心． (1)O是边上一点，以r为半径的恰好经过B、I两点，求r的值； (2)过点I的直线l分别交边、边于点M、N．以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，判断哪个结论正确并求出该定值． 题型七 正多边形与圆的关系 解｜题｜技｜巧 正多边形中涉及到的概念较多，例如正多边形的中心，半径，中心角，边心距等，所以要解决好这部分问题，首先要搞清楚每个晓得概念，可以利用画图的方法，理解概念，而不要死记硬背概念。 正多边形的考试要求相对较低，考试中一般多为选择或填空等小题，难度一般。 不过，在考题中，出题人往往会把正多边形背后的圆隐藏掉，增加其难度，所以在解决正多边形有关问题时， 把背后隐藏的圆画出来，可以有助于解决问题，因为可以很好地利用圆的相关性质，尤其是求角度等。 方法点拨： 有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。 易｜错｜点｜拨 注意区分正多边形的半径是其外接圆的半径，不是其内切圆的半径，这是一个很容易混淆的概念。 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是 ． 【变式4】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是 ． 【变式5】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 题型八 弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式 解｜题｜技｜巧 弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式，这三大公式是期末，中考中必考的考点之一，一般多为填空， 偶尔也会有选择，近几年也有不少地方考试会将这三大公式放在解答题中与切线的性质和判定等综合在一 起考查，利用这三大公式的前提是首先要记住它们，记住公式而且又不容易忘掉的最好办法就是熟练将其 自己独立推导出来。这部分考点最难的可能就是将弧长或扇形面积与三角形或四边形中点的运动形成的轨迹综合起来，这样的问题首先要判断出，画出轨迹是什么图形，最好是能将其轨迹画出来，找出其起点，终点，所在圆的圆心和半径，所对的圆心角，这样才能利用公式求出弧长和扇形面积。 方法点拨： 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 【典例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知扇形的半径为12，圆心角为，则这个扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，为边上一动点，作点关于的对称点，射线，交于点，当点从点运动到点过程中，点运动路径长为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在扇形中，，半径，是弧上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则弧的长为 （结果保留）． 【典例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，点是的中点，分别以为圆心，长为半径作圆弧，分别交于两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【典例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）用半径为6，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知中，，点P在弦上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，点在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）的半径为，同一个平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具--筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，则的半径为 米． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E是的中点，则 ；若是直径，P是直线上任意一点，与相切于点M、N，当最大时，的长为 ． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，作与边相切，若与边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为 ． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，为边上一动点，作点关于的对称点，射线，交于点，当点从点运动到点过程中，点运动路径长为 ． 16．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为 ． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，点O在的边上，以O为圆心，为半径的经过点C，交于点D． (1)求证：与相切； (2)若，求与重叠部分的面积． 18．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，是的直径，C，D在上两点，连接． (1)如图1，点P是延长线上一点，，求证：与相切； (2)如图2，点G在上，于点F，连接并延长交于点H，若为的直径，，， ①求证：； ②求半径的长． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 2．（2025·江苏淮安·二模）如图，是半圆O的直径，点D在上，弦，若的度数为，的度数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． 7．（2025·江苏淮安·一模）如图，一块四边形铁片中，，，在此四边形中裁剪出一个面积最大的圆形铁片，则该圆形铁片的半径为 ． 8．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ． 9．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，是的直径，切⊙于点，点是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求弦及，的长． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，，点是对角线上的一点，与相切于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若菱形的边长为5，点是的中点，求的长． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 弧、弦、圆心角的关系 理解圆、弧、弦、圆心角的概念及其关系； 基础常考点，常出现在选择题或填空题中，一般会以判断命题对错或者求弧的度数或者圆心角的度数形式出现； 点与圆的位置关系 探索并掌握点与圆的位置关系 必考点，一般位于选择题前两三题 垂径定理 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 常考点，通常多为填空题或解答题，作辅助线构造直角三角形计算长度； 确定圆的条件 三角形的内切圆和外接圆 理解确定圆的条件，三角形的内心与外心，三角形的内切圆和外接圆的相关概念和特性； 常考，一般为选择、填空题 圆周角定理 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 必考考点，圆中最重要的一个定理之一，通常会利用该定理计算角的度数或推理证明，选择、填空、解答题都会涉及该考点。 直线与圆的位置关系 切线的性质和判定 理解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念、性质和判定定理，能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线； 必考考点，圆中最重要的一个定理之一，通常会利用该定理计算、推理证明，通常为解答题，难度相对较大。 正多边形与圆的关系 知道正多边形的概念及正多边形与圆的关系，能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 常考考点，通常为选择或填空题，难度一般。 弧长公式与扇形面积 圆锥的侧面积 会计算圆的弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积； 常考题，难度中上，通常为填空题较多，偶尔也会放在解答题中与圆的综合大题放在一起考查。 知识点01 圆心角、弧、弦的关系 1. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 易错提醒：圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立． 知识点02 圆周角定理及其推论 1.文字语言：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等． 图形语言： 符号语言： 简记为： 2．推论： （1）直径所对的圆周角是直角． 图形语言： 符号语言： （2）圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角． 图形语言： 符号语言： 知识点03 垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 方法点拨： 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．垂径定理推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 知识点04 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外． 知识点05 直线和圆的位置关系 1. 直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点； （2）切线到圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径． 方法点拨：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 3．切线的三种判定方法总结： 方法一：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线． 方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． 方法三：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 图形语言： 符号语言： 方法点拨：切线判定常用的证明方法： 1 知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； 2 不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 知识点06 三角形与圆的关系 1．三角形的外接圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 知识点07 正多边形与圆的关系 正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径． 正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角． 正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 方法点拨： 有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。 知识点08 弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式 1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长=；扇形的面积==． 2．圆锥与侧面展开图 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr(l+r)． 方法点拨： 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 题型一 弧、弦、圆心角的关系 解｜题｜技｜巧 弧、弦、圆心角的关系考法一般有两种：一是利用三者的关系求角的度数或弧的度数；二是利用三者关系证明推理一些角或线段或者弧的关系。一般此处还会结合三角形的内角和定理，外角等于不相邻两内角和，等腰三角形的性质，平行线等相关知识。 易｜错｜点｜拨 此考点要注意一个问题：圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立．离开这个条件是不可以的，使用时一定要注意！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先通过得到，再通过为得到，进而再通过三角形的外角性质可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为， ∴， ∵根据三角形的外角性质可知， ∴， 故答案为：100． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行同位角相等、利用弧、弦、圆心角的关系求解、 求圆弧的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【详解】（1）证明：连接， ， ． ， ，． ． ； （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． 题型二 圆周角定理及其推论 解｜题｜技｜巧 1.圆周角定理是圆中计算或者推理中使用最多的一个知识点，主要作用是计算角的度数或者推导角之间的关系等都会用到该定理，但使用中一定要注意该定理有个前提条件：“同弧或等弧”． 2．圆周角定理的两个推论也是圆中推理或计算用的非常广泛的一个知识点，甚至比圆周角定理本身用的都多，尤其是推论（1），因为此处牵扯到一个特殊的直角三角形。 易｜错｜点｜拨 1.每个定理的使用都是有前提条件的，圆周角定理的使用前提是“同弧或等弧”，这一点尤其在图形较为复杂的图形中，特别容易忽视。 2.圆周角定理的推论2使用要注意：只有圆内接四边形的对角是互补的关系，一般的四边形是没有这个性质的！ 【典例1】（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 【答案】D 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．准确地作出辅助线是解题的关键． 首先在优弧上取点E，连接，由圆的内接四边形的性质，可得，由圆周角定理可求得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点E，连接， ∵是的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：由圆周角定理可知：， ， ， 解得， 故选：A． 【变式2】（2025·江苏盐城·二模）如图，四边形内接于，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质，求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ∴． 故选：C． 题型三 垂径定理及其推论 答｜题｜模｜板 利用垂径定理解决圆的半径或者求线段长问题的方法步骤： （1）添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，如图中红色三角形所示；该三角形比较傲特殊，它的三条边分别为：圆的半径、弦心距、半条弦； （2）设出未知量，利用勾股定理列出一元二次方程； （3）解出方程的根即可； 易｜错｜点｜拨 利用垂径定理解决问题时，不要仅仅列好方程，求出解，还要结合相应的语言叙述辅助线的添加过程 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的弦（非直径），点C是弦上的动点（不与点A，B重合），过点C作垂直于的弦．已知弦的长为9，．则弦的长（   ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理和相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用垂径定理和相似三角形的性质和判定定理． 连接，先由垂径定理得，再根据得，根据，求出，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， ∵为的弦，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理和等腰直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 过点作于点，连接，由垂径定理得出，再由得出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵是的直径，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型四 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 有关点与圆的位置关系问题，通常都会放在选择题前几题，题目相对简单，利用点到圆心的距离为d与圆的半径的大小关系来判断点与圆的位置关系： (1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外． 不过有不少时候出题人会反其道而行之，也就是给出点与圆的位置关系和圆的半径，让我们选择合适的或不合适的点到圆心的距离，或者结合坐标系，将圆放入平面直角坐标系中出题，我们要牢牢把握住本质，以不变应万变， 易｜错｜点｜拨 有关点与圆的位置关系问题，最易出错的就是题目中有时给的条件式半径的长，有时给的是圆的直径，所以，一定要注意审题，看清是“半径”，还是“直径”！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系． 本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵点A到圆心O的距离为4， ∴点A在上． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在内，②当时，点P在上，③当时，点P在外，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为3，，且， ∴点P与的位置关系是点P在内， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）平面直角坐标系中，点为原点，若的半径为5，则点与的位置关系是(   ) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、坐标与图形综合 【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形，点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．先计算出的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【详解】解：， ， 而的半径为， 等于圆的半径， 点在上． 故选：B． 【典例2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、利用垂径定理求值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了垂径定理，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理与网格问题；连接，，根据垂径定理得出，得到在以为直径的上运动，连接交于点，当重合时，取得最小值，根据勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示连接，， ∵的的中点 ∴， ∴， ∴在以为直径的上运动， 当重合时，取得最小值， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在中，，，是边上一点，，线段的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理以及垂径定理．作的外接圆，连接，，，，过O作，利用圆周角定理和垂径定理，求出，利用勾股定理求出，根据，得到当A，O，D三点共线时，最大，即可得解． 【详解】解：作的外接圆，连接，，，，过O作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当A，O，D三点共线时，最大， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是 【答案】3 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、利用垂径定理求值、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定 【分析】结合垂径定理以及与坐标轴的交点来判断三角形和三角形都是等腰直角三角形，由等腰三角形的三线合一得，，由三角形三边关系得：，当P、O、Q共线时，最大，求出、，根据面积公式计算即可． 【详解】解：作于Q，连接、、，如图：    ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 由得， 当时，；当时， 即点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是的中线， 则， 由三角形三边关系得：， 由题得，当P、O、Q共线时，此时，最大， ∵P为中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 题型五 直线和圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 直线和圆的位置关系是必考考点之一，尤其是切线的性质和判定，非常重要，一般为解答题，难度中等偏上，此考点出题方式一般为第（1）小问利用切线的判定定理证明是切线，第（2）小问再利用切线的性质进行推理和计算。 方法点拨：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题，这是最常用的辅助线之一． 证明圆的切线的常见问题有两种类型： 类型一：有公共点，连半径，证垂直； 类型二：无公共点，作垂直，证半径； 常用的证明垂直的方法有六种： 方法1：利用等角代换法证明垂直；方法2：利用特殊角的计算证明垂直； 方法3：利用平行线性质证明垂直；方法4：利用勾股定理逆定理法证明垂直； 方法5：利用三角形全等证明垂直；方法6：利用相似三角形性质证明垂直。 易｜错｜点｜拨 切线的判定有一个容易忽略的细节“过半径的外端”，这个在证明完垂直后要交代一下这个条件，这个解题时要注意，否则容易丢分。 【典例1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【知识点】等边对等角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定方法是解题关键． （1）连接，设，则，先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后设的半径为，则，代入计算可得的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)3 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，得到，由，得到，求得，得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：设， 在中，，，， ， 解得（不合题意舍去），， 故的半径为3． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求弧长 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，由为的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）连接，由，，求得，，而，所以，则，即可根据弧长公式求得的长是． 【详解】（1）证明：连接． 是的直径， ．         ， ， ， ， 又， ，即，              为上一点， 是的切线． （2）解：如上图，连接． ， ， ，     ，， ， ， ， ， ， ，         ， 的半径为1，         的长为． 【典例2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，与相切于点A． (1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求弧长、证明某直线是圆的切线、切线的性质定理、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，垂足为I，以I为圆心，以为直径作圆，交于B，过点P、B作直线即可； （2）根据切线的性质得出，，根据四边形的内角和为可求出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作， 理由：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵、是的切线， ∴， 又， ∴， 又的半径为3， ∴的长为． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）（1）如图，在中，，求作，使它经过边的中点，且与边、相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若过点B，且与、两条边所在直线相切，当，时，的半径长为 ． 【答案】（1） 图见详解； （2）5或20 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线 【分析】此题主要考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定和性质是解决问题的关键 (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求； (2)作的平分线，过点点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求，过点M作交的延长线于点E，于点E，设的半径为R，则，先求出，证明和全等得，则，证明四边形是矩形得、．则．然后在中，由勾股定理求出R即可． 【详解】解∶(1)作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求，如图： 理由如下∶过点O作于点K，如图1所示: 是线段的垂直平分线, ，, 是的半径， 是的切线， 点O是的平分线上的点，，， ． 是的半径, 是切线， 经过边的中点，且与边，相切． 故为所求； (2)依题意有以下两种情况∶ ①作的平分线，过点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求; 理由如下：过点M作，交的延长线于点E，于点F， 如图2所示∶ 为的半径，，是的切线， 点M在的平分线上，， , 是的半径, 直线是的切线, 经过点B且与、两条边所在直线相切， 故为所求， 设的半径为R，则． 在中，，． 由勾股定理得∶， 在和中， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得∶， ， 解得∶． 的半径为5； ②延长到T，作的平分线，过点B作，交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求， 理由：过点M作于点K，连接交于点Q，过点M作， 如图3所示∶ 由作图得是的切线， 平分，， ， ， 是的半径， 是的半径， 又， 是的切线， ， 是的垂直平分线 在中，，，由勾股定理得∶， ， ， , 在中，由勾股定理得∶, , 解得∶， 综上所述∶的半径长为5或20, 故答案为∶5或20． 【变式4】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)若（1）中圆O与相切于E，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】切线的性质定理、画圆(尺规作图)、用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）连接，则，根据角平分线性质得到，判定点E在上，是的切线，求出，根据，即可求得． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； ； （2）解：连接，则于点E， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵平分， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型六 三角形与圆的关系 解｜题｜技｜巧 确定圆的条件，主要就是三角形与圆的关系，这里面涉及到两个重要问题和图形，三角形的外接圆和内切圆的概念和性质，通常以选择或填空题形式出现，在考试中难度一般，相对不难。重点在与理解三角形的内心和外心的概念和性质。 易｜错｜点｜拨 三角形的内心和外心的概念是比较容易混淆的，这个要牢记：三角形的内心是三条角平分线的交点，三角形的外心是三边垂直平分线的交点。可以通过画图的方式理解内心和外心是如何来的，这样不易忘记和混淆。 【典例1】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 【变式1】（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2)点是图中的外心，理由见解析 【知识点】圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求： ∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，点I是的内心． (1)O是边上一点，以r为半径的恰好经过B、I两点，求r的值； (2)过点I的直线l分别交边、边于点M、N．以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，判断哪个结论正确并求出该定值． 【答案】(1)r的值为 (2)②正确，定值为 【知识点】三角形内心有关应用、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，等边对等角得到，内心得到是的角平分线，推出，三线合一推出，证明，得到，设，则：，进行求解即可； （2）连接并延长，交于点，作，连接，三线合一结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的值，等积法求出为定值，三角函数求出，进行判断即可． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，连接，则：， ∴， ∵点I是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， 解得：； （2）②正确，理由如下： 连接并延长，交于点，作，连接， ∵点I是的内心， ∴点I是的三条角平分线的交点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在中，， ∴在中，， ∵， ∴， 即：， ∴； 故为定值； 在中，， 在中，， ∴，， ∴， ∵，随着的变化而变化，不是定值， ∴不是定值． 题型七 正多边形与圆的关系 解｜题｜技｜巧 正多边形中涉及到的概念较多，例如正多边形的中心，半径，中心角，边心距等，所以要解决好这部分问题，首先要搞清楚每个晓得概念，可以利用画图的方法，理解概念，而不要死记硬背概念。 正多边形的考试要求相对较低，考试中一般多为选择或填空等小题，难度一般。 不过，在考题中，出题人往往会把正多边形背后的圆隐藏掉，增加其难度，所以在解决正多边形有关问题时， 把背后隐藏的圆画出来，可以有助于解决问题，因为可以很好地利用圆的相关性质，尤其是求角度等。 方法点拨： 有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。 易｜错｜点｜拨 注意区分正多边形的半径是其外接圆的半径，不是其内切圆的半径，这是一个很容易混淆的概念。 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．由圆周角定理可得的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：D 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，画出图形，如图，连接、，作于，利用半径求得即可求得面积．解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 【详解】解：如图： 连接、，作于， 根据题意，， 为等边三角形， ， ， ， 根据勾股定理可得， 等边三角形的面积为， 正六边形由6个等边三角形组成， 正六边形的面积为． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆和正多边形圆心角，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是要画出正多边形的外接圆． 根据正多边的性质画出外接圆，根据圆心角定义求出，根据圆周角定理可以求出答案． 【详解】解：如图，作正边形的外接圆， 根据正多边形的圆心角定义可知， ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键．连接，，过点O作，证明为等边三角形，根据勾股定理得出，根据垂线段最短，正方形的边长不能超过为，从而得出的取值范围是． 【详解】解：连接，，过点O作，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴正方形对角线不能超过， ∴正方形的边长不能超过， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式4】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是 ． 【答案】54 【知识点】正多边形和圆的综合、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，根据正五边形的内角和得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在正五边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：54． 【变式5】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【答案】27 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：27． 题型八 弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式 解｜题｜技｜巧 弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式，这三大公式是期末，中考中必考的考点之一，一般多为填空， 偶尔也会有选择，近几年也有不少地方考试会将这三大公式放在解答题中与切线的性质和判定等综合在一 起考查，利用这三大公式的前提是首先要记住它们，记住公式而且又不容易忘掉的最好办法就是熟练将其 自己独立推导出来。这部分考点最难的可能就是将弧长或扇形面积与三角形或四边形中点的运动形成的轨迹综合起来，这样的问题首先要判断出，画出轨迹是什么图形，最好是能将其轨迹画出来，找出其起点，终点，所在圆的圆心和半径，所对的圆心角，这样才能利用公式求出弧长和扇形面积。 方法点拨： 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 【典例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知扇形的半径为12，圆心角为，则这个扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式．根据直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵扇形的半径为3，圆心角为， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，为边上一动点，作点关于的对称点，射线，交于点，当点从点运动到点过程中，点运动路径长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求某点的弧形运动路径长度、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轨迹，轴对称性质，正方形的性质，弧长公式，解题的关键是证明．如图，连接，交于点，连接，，，．证明，推出，利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，，，． 点，关于对称， ，， 四边形是正方形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是弧， 弧的长 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在扇形中，，半径，是弧上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则弧的长为 （结果保留）． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，结合线段垂直平分线的性质证明为等边三角形，进而求出的度数，最后根据弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ，， 是的垂直平分线， ， 为等边三角形， ， ， ， 半径， 弧的长为； 故答案为：． 【典例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可求解． 【详解】解：，， 山水画所在纸面的面积： ． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，点是的中点，分别以为圆心，长为半径作圆弧，分别交于两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算，三角形内角和定理，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．根据题意得到，根据三角形内角和定理得到，根据扇形面积计算公式计算即可得到答案． 【详解】解：，点是的中点， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【典例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】3 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算．易得圆锥的母线长为6，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：3 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】4 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 故答案为：4． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）用半径为6，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】2 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长 【分析】本题主要考查了圆锥的相关计算，掌握扇形的弧长公式是解题的关键． 先根据弧长公式求出扇形弧长，再根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长， ∴圆锥的底面圆半径． 故答案为：2． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】此题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知中，，点P在弦上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理以及三角形的外角性质是解题的关键． 先利用圆周角定理可得：，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【详解】解： ∵是的一个外角， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，点在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，三角形内角和定理的应用，证明，结合，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵ ∴， ∴； 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）的半径为，同一个平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径即可得到结论． 【详解】解：的半径为， ， 点在圆外． 故选：A． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系：点与圆心的距离d，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，， ∴点P与的位置关系是：点P在外， 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了外接圆的圆心，勾股定理， 先确定圆心的位置，再求出半径，即可判断答案． 【详解】解：如图所示，点O是的外接圆的圆心， 小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， ∴上的是点N． 故选：D． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 【答案】D 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的相关知识点，根据圆的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握圆的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，故原说法错误，不符合题意； C、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、圆中最长的弦是直径，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具--筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，则的半径为 米． 【答案】5 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，连接交于， 则米，米，， ∴米， 设的半径为米，则米， 由勾股定理可得：， ∴， ∴，即的半径为米， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E是的中点，则 ；若是直径，P是直线上任意一点，与相切于点M、N，当最大时，的长为 ． 【答案】 / 【知识点】根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、切线的性质定理 【分析】连接，延长交的延长线于K，过O作于L，由矩形的性质推出，，由勾股定理求出；由切线的性质推出，判定，得到，因此，由，判定当最大时，，得到此时P与L重合，判定，推出，，求出，，由三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：连接，延长交的延长线于K，过O作于L， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴； ∵与相切于点M、N， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大时， ∵， ∴当最小时，最大，最大， ∴当最大时，， ∴此时P与L重合， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵的面积， ∴， ∴， ∴当最大时，的长为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，关键是判定当最大时，，由三角形面积公式得到． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，作与边相切，若与边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】分两种情况讨论，一是与相切于点，此时与边只有一个公共点，由，，，求得，设与相切于点，连接、，可证明，，则，求得，则，求得；二是经过点，设此时与相切于点，连接，则，由，得，则，当时，与边只有一个公共点，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解∶如图，当与相切于点，此时与边只有一个公共点 ∵，，， ∴ 设与相切于点，连接、，则，． ∴ ∴，． ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得； 如图，经过点，设此时与相切于点，连接，则， ∴， 解得 ∴ 当时，与边只有一个公共点， ∴ ∴， 综上所述，的取值范围是或， 故答案为∶或． 【点睛】此题重点考查勾股定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的性质、垂径定理和勾股定理．设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接， 边与相切， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， 在中，，即， 解得：（舍去）， 正方形的边长为 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 【答案】60 【知识点】等边对等角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，最后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：60． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．    【答案】/ 【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算．根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，为边上一动点，作点关于的对称点，射线，交于点，当点从点运动到点过程中，点运动路径长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求某点的弧形运动路径长度、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轨迹，轴对称性质，正方形的性质，弧长公式，解题的关键是证明．如图，连接，交于点，连接，，，．证明，推出，利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，，，． 点，关于对称， ，， 四边形是正方形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是弧， 弧的长 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径、求扇形面积、求圆锥的高、求弧长 【详解】本题考查了扇形的面积和弧长，圆锥的高，先利用扇形的面积求出圆心角度数，再求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面圆半径，最后根据勾股定理即可求出圆锥的高，掌握扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长是解题的关键． 解：设扇形的圆心角度数为，则， ∴， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴此圆锥的高， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，点O在的边上，以O为圆心，为半径的经过点C，交于点D． (1)求证：与相切； (2)若，求与重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆的切线的判定，扇形面积的求解，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握圆切线的判定定理和面积转化思想是解题的关键． （1）连接，根据题意易得到，从而得到，即可得到为的切线； （2）过点作于点，结合（1）可得到，从而得到，根据勾股定理可得，进而得到，利用扇形面积公式得到，即可得到与重叠部分的面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与重叠部分的面积为． 18．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，是的直径，C，D在上两点，连接． (1)如图1，点P是延长线上一点，，求证：与相切； (2)如图2，点G在上，于点F，连接并延长交于点H，若为的直径，，， ①求证：； ②求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②． 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）如图1，连接，根据圆周角定理得到，易得，进而得到即可证明结论； （2）①如图：连接，作于M，于N．证明，，得到，证明，则，进一步证明，即可得到结论；②设，利用勾股定理构建方程求出a即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切． （2）解：①如图：连接，作于M，于N． ∵于点F， ∴ ∵是直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴半径的长为． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 【答案】D 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．准确地作出辅助线是解题的关键． 首先在优弧上取点E，连接，由圆的内接四边形的性质，可得，由圆周角定理可求得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点E，连接， ∵是的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025·江苏淮安·二模）如图，是半圆O的直径，点D在上，弦，若的度数为，的度数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等边对等角 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等边对等角，直径所对的圆周角是直角，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 先等边对等角，得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，然后利用三角形外角的性质得出，适当变形即可求解． 【详解】解：∵弦， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， 又， 的度数为，的度数为， ∴，， ∴， 即， 故选：C． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，解决此题的关键是合理的利用垂径定理；先根据垂径定理得到的长，根据勾股定理和线段的和差得到的长度，进而即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵为的直径， ， ∴， ∵弦于E， ∴， 在中，， ∴ 即 ∴， ∴， ∴的面积为； 故选：D． 4．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、求弓形面积、等边对等角、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形， 设点的对称点为点，连接，进而得到，直径得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的内对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：设点的对称点为点，连接，则：， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴； 故选C． 6．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． 【答案】9 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于点H，则， 分别与扇形相切于点A，E，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得：． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 7．（2025·江苏淮安·一模）如图，一块四边形铁片中，，，在此四边形中裁剪出一个面积最大的圆形铁片，则该圆形铁片的半径为 ． 【答案】 【知识点】切线的应用、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内切圆，掌握相似三角形的性质、切线的性质是解题的关键．延长、交于点E，根据相似三角形的性质求出，进而求出，根据勾股定理求出，再根据切线的性质、三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，延长、交于点E， ， ， ，即， 解得：， ， 由勾股定理得：， 当裁剪的圆为的内切圆时，面积最大，设该圆形铁片的半径为x， 由题意得：， 解得：， ，，， 半径为符合题意， 故答案为： 8．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题主要考查了求三角形外接圆的半径，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，如图所示： ∵的高，相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的外接圆半径为． 故答案为：． 9．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，是的直径，切⊙于点，点是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求弦及，的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、切线的性质和判定的综合应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，证明即可．由三角形的内角和定理可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和为，结合已知条件可得，于是得证； （2）连接，根据切线长定理可得，由全等三角形的判定与性质可得，于是可得，由勾股定理可求得的长，最终利用等边三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， 切于点， ， ， 四边形的内角和为， ， ， 又点是上的一点， 是的切线； （2）解：如图，连接， 、是的切线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，，点是对角线上的一点，与相切于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若菱形的边长为5，点是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、角平分线的性质定理、切线的性质和判定的综合应用、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，角平分线的性质，熟知菱形的性质和切线的性质与判定定理是解题的关键； （1）过点O作于H，连接，由切线的性质得到，由菱形的性质得到平分，则由角平分线的性质得到，据此可证明是的半径，则是的切线； （2）连接，则，点F即为的交点，由切线的性质得到，解得到，，则可得到，解得到，进而得到；则点E为的中点，即可得到 【详解】（1）证明：如图所示，过点O作于H，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴点H在上，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，点F为的中点， ∴，点F为的交点， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴，即点E为的中点， ∴ 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、作垂线(尺规作图)、判断或补全使直线为切线的条件、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求； （2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求； （3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，点Q即为所求； （3）解：如图③，直线即为所求． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $