精品解析：河北省唐山市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

唐山市2023—2024学年度高一年级第二学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 某学校高一､高二､高三年级学生人数之比为，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为（ ） A. 7 B. 10 C. 15 D. 20 3. 已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 9，3 B. 9，8 C. 9，7 D. 10，8 5. 已知是两个随机事件且概率均大于，则下列说法正确的为（ ） A. 若与互斥，则与对立 B. 若与相互独立，则与互斥 C. 若与互斥，则与相互独立 D. 若与相互独立，则与相互独立 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角的面积为，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 表示的点在第一象限 10. 已知平行四边形的两条对角线交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 在直三棱柱中，高为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若存在一个球与棱柱的每个面都相切，则 C. 若，则三棱锥外接球的体积为 D. 若，以为球心作半径为2的球，则球面与三棱柱表面的交线长度之和为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角为，且，则___________. 13. 如图，将各面都涂了油漆的正方体分割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后从中随机取一个小正方体，则取到小正方体的油漆面数为0的概率为__________. 14. 如图，从楼顶点测得地面两点的俯角分别为，已知两点的距离为，则楼高约等于__________.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求. 16. 甲､乙两人独立做一道数学题，他们解答正确的概率分别为和. （1）求两人解答都正确的概率； （2）求至多一人解答正确的概率； （3）求至少一人解答正确的概率. 17. 在中，是边上的中线. （1）求的面积； （2）求中线的长. 18. 某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为.“消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； （2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； （3）若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差. 附： 19. 如图，在三棱柱中，，侧面为矩形. （1）记平面与平面交线为，证明：； （2）证明：为等边三角形； （3）若，且为棱的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市2023—2024学年度高一年级第二学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据虚部的概念即可得到答案. 【详解】因为，则其虚部为. 故选：A. 2. 某学校高一､高二､高三年级学生人数之比为，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为（ ） A. 7 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的特点即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的特点知高一年级抽取学生人数为. 故选：C. 3. 已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理得到圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长. 【详解】因为圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，由勾股定理的圆锥的母线长为， 圆锥底面圆的周长为，所以圆锥的侧面积为； 故选：C 4. 若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 9，3 B. 9，8 C. 9，7 D. 10，8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平均数、方差公式计算即得. 【详解】设这组数据为，依题意，， 所得新数据为， 新数据的平均数为， 方差为. 故选：B 5. 已知是两个随机事件且概率均大于，则下列说法正确的为（ ） A. 若与互斥，则与对立 B. 若与相互独立，则与互斥 C. 若与互斥，则与相互独立 D. 若与相互独立，则与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，逐项判断即可. 【详解】由题意， ①互斥事件指的是不能同时发生的两个事件； ②对立事件指的是在试验中必有一个发生的两个互斥事件； ③相互独立事件指的是事件是否发生对事件发生的概率没有影响，满足等式： ； 对于A，互斥事件不一定对立， 例：投掷一枚骰子的试验中，事件“掷出点数为”，事件“掷出点数为”， 事件与事件互斥但不对立，故A错误； 对于B，相互独立事件不一定互斥， 例：抛掷两枚硬币的试验中，事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”， 事件发生与否对事件发生的概率没有影响，即事件与事件相互独立，但事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，互斥事件不一定相互独立， 例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”， 事件与事件互斥，但，， 所以不满足相互独立事件的定义，故C错误； 对于D，因为事件与事件相互独立， 所以， 又， 所以， 所以事件与事件也相互独立，故D正确. 故选：D. 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断选项即可. 【详解】对于A, 若,则，或，或，或与相交，故A错误； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误； 故选：B 7. 在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点为，确定异面直线与所成的角，再求出等腰三角形底角的余弦即可. 【详解】设正四面体的棱长为2，取的中点，连接， 由是棱的中点，得，则为异面直线与所成的角（或其补角）， 在中，，，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 8. 已知锐角的面积为，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为锐角三角形，得到，利用三角形面积公式以及正弦定理化简可得：，由，求出的范围，从而得到结果. 【详解】设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，， 因为在锐角中，，则， ，则， 由正弦定理可得：，则， 所以，即 因为，所以 所以， 因为，则，则，即， 所以，所以，即， 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 表示的点在第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数模计算，共轭复数的定义，以及复数的四则运算依次判断选项即可. 【详解】因为复数，则，故A错误； 由于，则，故B正确；则，故C正确； ，对于点的坐标为在第一象限,故D正确； 故选：BCD 10. 已知平行四边形的两条对角线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量加法、减法的几何意义求解即可. 【详解】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下： 由图可得:，故A正确； ，故D正确； 故选：AD 11. 在直三棱柱中，高为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若存在一个球与棱柱的每个面都相切，则 C. 若，则三棱锥外接球的体积为 D. 若，以为球心作半径为2的球，则球面与三棱柱表面的交线长度之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由柱体、锥体体积公式计算判断A；利用体积法求出内切球半径判断B；求出外接球半径，进而求出球的体积判断C；分析球面在三棱柱各个面上的交线，进而求出交线长判断D 【详解】对于A，直三棱柱的体积，， 则，A正确； 对于B，直三棱柱的表面积，显然此棱柱内切球半径为， 因此，即，解得，B错误； 对于C，三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 球心到平面的距离为，而外接圆半径为， 则三棱锥的外接球半径，此球体积为，C正确； 对于D，以为球心作半径为2的球面，与三棱柱的棱的交点依次为， 可算得，， 因此球面与矩形的交线是为圆心，半径为2，圆心角为，间的圆弧， 球面与的交线是为圆心，半径为1，圆心角为，间的圆弧， 球面与矩形的交线是为圆心，半径为2，圆心角为，间的圆弧， 球面与矩形的交线是为圆心，半径为1，圆心角为，间的圆弧， 球面与的交线是为圆心，半径为2，圆心角为，间的圆弧， 所以球面与三棱柱表面的交线长度之和为，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角为，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义可得，再由，结合平面向量数量积的运算律即可得解. 【详解】因为向量，的夹角为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 如图，将各面都涂了油漆的正方体分割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后从中随机取一个小正方体，则取到小正方体的油漆面数为0的概率为__________. 【答案】##0.216 【解析】 【分析】求出没有油漆面的小正方体的个数，再利用古典概率求解即得. 【详解】依题意，去掉原正方体每个面上涂了油漆的那一层小正方体， 余下是的正方体，分割成的小正方体任何一面都没有油漆，共27个， 所以取到小正方体的油漆面数为0的概率为. 故答案为： 14. 如图，从楼顶点测得地面两点的俯角分别为，已知两点的距离为，则楼高约等于__________.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：） 【答案】77 【解析】 【分析】根据条件可得，，，在中，由正弦定理可求出，从而得到 【详解】因为从楼顶点测得地面两点的俯角分别为， 所以，，， 在中，由正弦定理可得：，即， 所以， 在中，,所以， 故答案为：77 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可； （2）根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 若，则，显然不合题意，则， 因为，所以. 【小问2详解】 若，则，显然不合题意，则， 因为，所以. 16. 甲､乙两人独立做一道数学题，他们解答正确的概率分别为和. （1）求两人解答都正确的概率； （2）求至多一人解答正确的概率； （3）求至少一人解答正确的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件表示“甲解答正确”，事件表示“乙解答正确”，则，，由此利用相互独立事件乘法公式求出两人解答都正确的概率；（2）利用相互独立事件乘法公式求出至多一人解答正确的概率. （3）利用相互独立事件乘法公式求出至少一人解答正确的概率 【小问1详解】 （1）设事件表示“甲解答正确”，事件表示“乙解答正确”，则，，, 因为事件与事件相互独立； 所以两人解答都正确的概率为 【小问2详解】 则至多一人解答正确的概率为 【小问3详解】 因为事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 则至少一人解答正确的概率为 17. 在中，是边上的中线. （1）求的面积； （2）求中线的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，从而得到，最后利用三角形面积公式即可； （2）首先求得，再利用余弦定理即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 所以. 解得. 因为，所以， 所以， 所以. 又， 所以的面积. 【小问2详解】 在中，，因为是中点， 所以，由余弦定理，得 . 所以. 18. 某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为.“消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； （2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； （3）若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差. 附： 【答案】（1）平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45. （2） （3）26.8. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的平均值公式和百分位数的求法即可； （2）利用古典概型公式，列出所有情况和满足题意的情况即可； （3）根据分层方差公式计算即可. 【小问1详解】 这些人的平均年龄为 (岁). 由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 在的频率为， 则第80百分位数为，由，解得. 所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45. 【小问2详解】 第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1. 若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为;第四组抽取2人， 记为;第五组抽取1人，记为; 对应的样本空间， ， 所以; 设事件为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”， 则， ，所以. 所以. 【小问3详解】 设第三组、第四组的年龄的平均数分别为，方差分别为.则. 由第三组有30人，第四组有20人， 设第三组和第四组所有人的年龄平均数为，方差为， 则 所以这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为26.8. 19. 如图，在三棱柱中，，侧面为矩形. （1）记平面与平面交线为，证明：； （2）证明：为等边三角形； （3）若，且为棱的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 因为在三棱柱中，， 由于平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. （2） 取的中点，棱的中点，连接，， 因为，为的中点， 所以， 又因为侧面为矩形.，为的中点，为棱的中点， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为在三棱柱中，， 所以， 又因为为棱的中点， 所以 又因为在三棱柱中，，，， 所以， 又因为， 则，所以为等边三角形. （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，由线面平行的性质即可证明； （2）取的中点，棱的中点，证明平面，得到，从而证明为等边三角形； （3）连接，交于，可得平面与平面所成二面角为或的补角，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，交于，则为的中点， 因为为的中点，为棱的中点， 所以，， 又因为在三棱柱中，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 则平面即平面， 则平面平面， 所以平面与平面所成二面角，即为平面与平面所成二面角， 因为， 所以，，， 则，所以， 因为为的中点，所以， 所以，， 取的中点，连接，， 所以，，且，， 所以平面与平面所成二面角为或的补角， 因为在中，，，， 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $