第17课时 等腰三角形与直角三角形（精练本）-【学海风暴·PK中考】2024中考数学备考（安徽专用）

PK中专 数学 第17课时 等腰三角形与直角三角形 安徽真题 命题点1 等边三角形的性质(10年1考) 命题点2 直角三角形的性质(10年6考) 1.(2022安徽)已知点O是边长为6的等边三角 2.(2014安微)如图，在Rt△ABC 形ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC, 中，AB=9,BC=6,∠B=90 △PAB,△PBC,△PCA的面积分别记为Sa, 将△ABC折叠，使点A与BC 第2题周 S,Sa,S3.若S1+S2十S=2So,则线段OP 的中点D重合，折痕为MN 长的最小值是 则线段BN的长为 A.38 C.4 D.5 2 B5③ C.33 D.2 2 2 全国视野 1.(2023株洲)一技术人员用刻度尺（单位：cm) 4.(2023重庆B卷}如图，在△ABC中，AB= 测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知 AC,AD是BC边的中线.若AB=5,BC=6, ∠ACB=90°，D为边AB的中点，点A,B对 则AD的长度为 应的刻度为1,7，则CD= B 中恤可 第4题相 01cm23456789 第1题图 5.(2023荆州)如图，BD是等边三角形ABC的 A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm 中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交 2.(2023贵州)5月26日，“2023中国国际大数 BC的延长线于点E,连接DE.求证：CD 据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体 =CE. 库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角 形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°， 腰长为12m,则底边上的高是 A.4 m B.6m C.10m D.12m 第2题周 第3题图 3.(2023江西)将含30°角的直角三角板和直尺 按如图所示的方式放置，已知∠a一60°，点B, C表示的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB 的长为 50学海风舞丛书 考点过关训练么己口已叫安微 6.(2023聊城)如图，在四边形ABCD中，E是边 (1)如图①，求证：DE=BF: BC上一点，且BE=CD,∠B=∠AED (2)如图②，若AD=2,BF的延长线恰好经过 =∠C. DE的中点G,求BE的长. (1)求证：∠EAD=∠EDA: (2)若∠C=60°，DE=4,求△AED的面积 ② 7.(2023烟台)如图，C为线段AB上一点，分别 以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同 侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE,且 ∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF =AD,连接BF,DE. 中考热身 1.在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是底边 4.(2023池州贵池区二模)如图，在等边三角形 BC上的高.若BC=8,则CD等于 ( ABC中，点A,C分别在x轴、y轴上，AC A.6 B.5 C.4 D.3 6√3.当点A在x轴正半轴上运动时，点C随 2.如图，在△ABC中，∠ACB-90°，CD是斜边 之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点 AB上的高.若∠B=30°，AB=12,则AD= 的最大距离是 () A.6 B.3十3 A.3 B.23 C.4 D.43 c.93+3 2 D.9+33 ·A23 第2题国 第3题图 3.(2023阜阳期末)在平面直角坐标系xOy中， 第4题图 第5题图 O为坐标原点，点A(2,3).在坐标轴上找一点 5.如图，湖边有三条公路，其中公路AC,BC互 P,使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P 相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开， 共有 ) 测得AB的长为1.2km,则M,C两点间的距 A.6个B.7个C.8个D.9个 离为 km. 学海风暴丛书 51 PK中店数学 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，D为BC10.(2023宣城一模)如图，△ABC和△ADE 上一点，CD=AD=4,则BD的长为 中，AB=AC,AD=AE,且AB>AD,∠BAC =∠DAE,BD的延长线交CE于点F 第6题目 第7题图 图① 图② 7.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=4,D 图5 (1)求证：△ABD≌△ACE: 是AB中点，E是BC边上一点，且BE=AC (2)如图①，当△ABC是等边三角形时，求 十CE,则DE的长为 8.如图，△ABC与△CDE都是等腰直角三角 ∠BPFC的度数； 形，∠ACB=∠DCE=90. (3)①如图②，当△ABC是等腰直角三角形 时，∠BFC的度数为 (I)求证：△BCD≌△ACE: (2)若BD-4,AB=7,求DE的长. ②如图③，当△ABC是任意等腰三角形时， 请直接写出∠BFC与△ABC某个内角之间 的数量关系： 9.如图，已知P是等边三角形ABC中BC边上 一点，过点P作PE∥AC. (1)求证：△BPE是等边三角形； (2)连接AP,以P为顶点作∠APQ=60°，PQ 交△ABC的外角平分线于点Q,连接AQ,那 么△APQ是什么特殊三角形？请证明你的 结论。 52 学海风舞丛书参考答案 己024安徽 DE⊥AC,DF⊥AB,∴.AD平分∠BAC ∴.△ABFe2△DAE(AAS), I∠E-∠F ..AE-BF. 4.证明：(1)在△ABE和△ACF中，〈BE=CF, 10.证明：，四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C, ∠EAF=∠DAB=90°， .△ABE2△ACF(ASA), .∠E十∠EF4■90° ·∠BAE=∠CAF,即∠1十∠3=∠2十∠3， .ECI BD,∴.∠DGF=90°， ,∠1=∠2. .∠ADB+∠DFG=90". (2),'△ABE2△ACF,∴.AE=AF,AB=AC 又∠EFA=∠DFG,∴∠E=∠ADB, ∠1=∠2， ∠E=∠ADB 在△AEM和△AFN中，AE=AF, 在△EAF和△DAB中，AE=AD, ∠E=∠F, ∠EAF=∠DAB, ,∴△AEM2△AFN(ASA), △EAF☑△DAB(SAS),AF=AB .AM-AN. ”在矩形ABCD中，AB=DC, .CM-AC-AM,BN-AB-AN...CM=BN. .AF-DC. 5.证明：'AF=CD,,AF十CF=CD十CF 11.解：(1)证明：BC∥AD 即AC=DF .∠ACB=∠DAE AB∥DE,.∠A=∠D :∠CED=∠DAE+∠ADE,∠BAD=∠DAE+∠CAB ∠B=∠E, ∠CED=∠BAD, 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D, ,.∠ADE=∠CAB. LAC=DF. I∠ACB=∠DAE .△ABC2△DEF(AAS), 在△ABC与△DEA中， ∠CAB=∠ADE ∴.BC=EF CB-AE, 6.解：(1)证明：∠ACB=∠DCE=100°， .△ABC2△DEA(AAS). ·∠ACD=∠BCE=100°-∠DCB. (2)'△ABC2△DEA,.AC=DA. AC=BC, 又：∠DAE=∠ACB=30, 在△ACD和△BCE中， ,∠ACD=,∠BCE, CD-CE. ∠ACD=2×180'-30)=75, ∴，△ACD2△BCE(SAS). ∴.∠BCD=∠ACD十∠ACB=75+30°=105" (2),AC=BC,∠ACB=100°， 第17课时等腰三角形与直角三角形 ÷∠A=∠CBA=2×(180-10')=40 安微頁题 1.B【解析】如图，设CP与AB相交于点D,则S=S△a十 ,△ACD2△BCE, .AD=BE,∠A=∠CBE=40° Sac,S,=SAmA十SAADC, AD=BF,∴，BE=BF S1+S:+S:=5十(S△0g十S△即g)十(S么mA+SAc) ∠BFE=∠BEF. =S1十(S△ba+SAPDA)十(S△e+S△Ac） ∠BFE+∠BEF+∠CBE=180', =+Sam+So=25+=2. .2∠BFE+40°=180°， 设△ABC中AB边上的高为h1,△PAB中AB边上的高 .∠BFE=70° 为ha 7,证明：∠BCE是△CDE的外角， ∠BCE=∠D十∠CED, 则S=AB·A=X6h=3,=AB·4=号× 即∠ACB+∠ACE-∠D+∠CED. ∠ACE=∠D,∠ACB=∠CED, 6a-36,3a:-空×3弧1，-7 2 又，'∠B=∠D,AC=CE .△ABC2△CDE(AAS) △AEC是等边三角形，，一 8-(8) =35,2 :.AB=CD,BC=DE, .BD=BC+CD=AB十DE 2 8.证明：，G,E分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点， ∴AG=EC,△BEG为等腰直角三角形， “点P在平行于AB,且到AB的距离等于3的直线上.设 .∠AGE=180°-45=135 点P所在直线为4，则当OP⊥【时，OP取得最小值，点O CF为正方形外角的平分线 是等边三角形ABC的中心，.COLAB,COLl, ,∠ECF=90°+45°=135 '∠AEF=90,∴∠GAE=90-∠AEB=∠CEF C,0,P三点共线，则CP=十：=93 ∠AGE=∠ECF, 2 在△AGE和△ECF中，AG=EC, 过点O作OE⊥BC于点E,如图， ∠GAE=∠CEF 则∠0CE=30°，CE=BC=3, .△AGE2△ECF(ASAD,.EG=CF 9.证明：四边形ABCD是正方形， ..OC=CE c0s30 =23, ,.∠BAD=∠B=90°，AB=AD, ,∠BAF+∠AFB=90 ÷OP=CP-09y-25=5y 2 :∠DGF=90°，∴∠BAF+∠DEA90, ,∴：∠AFB=∠DEA. 故线段OP长的最小值是 2 ∠AFB=∠DEA, 2.C 在△ABF与△DAE中，∠ABF=∠DAE, AB=DA, 全国视野 1.B2.B3.24.4 学海风暴丛书 319 PK血香数学 5.证明：BD是等边三角形ABC的中线 4.D【解析】如图，过点B作BH⊥CA于点H,连接OB,OH .BD是等边三角形的角平分线，，∠DBC=30, :△ABC是等边三角形，∴∠BCH 由题意，得BD=DE,∴.∠E=∠DBC=30 :'∠CDE+∠E=∠ACB=60”, =60',CH=AH=2AC=×63 2 ∠CDE=30°，∴.∠E=∠CDE,.CD=CE. -3/3. 6.解：(1)证明：∠B=∠AED,∠AEC=∠B十∠BAE BH ∠AED+∠CED, :a∠BcH-8器BH=CH ·∠BAE=∠CED tan∠BCH=3w5X5=9. '∠BAE=∠CED 在△ABE和△ECD中， ∠B=∠C, "∠A0C=90,0H=壹AC=85 BE-CD. OB≤BH十OH=9十3，W3(点O,H,B共畿时取等号)， △ABE≌△ECD(AAS),,AE=ED, ,点B到原点的最大距离是9十3w3 ∠EAD=∠EDA 5.0.6 (2)过点A作AF⊥ED于点F 6.8【解析】AB=AC,∴.∠C=∠B=30°， 如图. ,∴.∠BAC-180°-∠B-∠C=120 AE=DE=4,∠AED=∠C CD=AD,∴.∠DAC=∠C=30° =60°， ∴.∠DAB=∠BAC-∠DAC=90 六AF=AE·si∠AED=4X9 在Rt△ABD中，∠B=30°，∴BD=2AD=2X4=8. 2 7.23【解析】如图，延长BC到点F,使F 2w5, FC=AC,连按AF,过点C作CG⊥AF ∴Sam-2DE·AF=是×4X2y5=45. 于点G, ,∠ACB=60°，AC=4, 1.解：(1)证明：：△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的 ∴.∠ACF=180°-∠ACB=120° 等腰三角形， ·∠A-∠DCA,∠ECB=∠CBE,CE=BE. :∠ACG=号∠ACF=60, 2 :∠A=∠CBE,∠A=∠ECB,∠ADC=∠CEB, .AD∥CE,∴∠ADC=∠DCE,∴∠DCE=∠CEB, 5AG=AC·sm60=4X9=25, EF=AD=CD ·△DCE≌△FEB(SAS),∴，DE=BF AF=2AG=43 (2)由(1)可知，∠DCA=∠CEE, :BE=AC十CE=FC+CE=FE, ,.CD∥BE ,E是FB的中点 过点G作GH∥CD,交CE于点日， 又D是AB的中点， 如图 DG=EG,GH∥CD,.CH=EH ∴DE=2AF=25. AD=2,AD=CD,.CD=2, 8.解，(1)证明：∠ACB=∠DCE=90°， GH-CD-1. .∠BCD+∠DCA=∠DCA十∠ACE=90°， .∠BCD=∠ACE 设CE=BE=m,测EH= :△ABC与△CDE都是等腰直角三角形， 2m. ∴，BC=AC,CD=CE. EF-AD-2,:FH-m-2. BC=AC, 在△ECD和△ACE中，∠BCD=∠ACE, ,GH∥CD∥BE,∴.△GHFo△BEF CD-CE, ∴.△BCD2△ACE(SAS). m 2 (2),'△BCD2△ACE, .∠CAE=∠CBD=45°，AE=BD=4, 解得m=2十22（负值已舍去）， ,∠DAE=∠CAB+∠CAE=45'+45"=90 经检验，m一2十22是原分式方程的解，∴.BE的长为2十2反. 又AD=AB-BD=7-4=3, 中考热身 ∴，DE=AE十AD=√/4十3=5. 1.C2.A 9.解：(1)正明：，△ABC是等边三角形， 3.C【解析】连接OA,分别以点A和点O为园心，QA长为半 ∴.∠B=∠BAC=∠BCA=60° 径作圆，连接两园的交点，得到OA的垂直平分线，如园，可 PE∥AC, 年使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个， ∴∠BEP=∠BAC=60',∠BPE=∠BCA=60°， ·△BPE是等边三角形 (2)△APQ是等边三角形，证明如下： ,'△ABC是等边三角形，△BPE是等边三角形， ∴AB=BC,BP=BE,∠BEP=∠BPE=∠ACB=60°， AE=AB-BE.PC=BC-BP. ..AE=PC :∠BEP+∠AEP=180°，CQ平分△ABC的外角， ÷∠AEP=180°-60-120°，∠PCQ=60°+180°60° 2 120,即∠AEP=∠PCQ, ∠EAP+∠APE=∠BEP=60,∠CPQ十∠APE=180 -∠APQ-∠BPE=180°-60°-60°=60°， 320 学海风暴丛书 参考答案 己024安徽 ∠EAP=∠CPQ, 又AD∥EF∥BC,∴.DE=CE. ∴△AEP2△PCQ(ASA), 4.证明：过点E作AC的平行线交AD的延长线于点G,如图 .AP=PQ EG/AC. 又∠APQ=60°， ∴∠DEG=∠C,∠G=∠CAD △APQ是等边三角形 在△DEG和△DCA中 10.解：1)证明：∠BAC=∠DAE, I∠GDE=∠ADC, .∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, ED-CD, 即∠BAD=∠CAE. L∠DEG=∠C AB=AC ∴.△DEG2△DCA(ASA), 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, .EG=AC=EF,'.∠G=∠EFD, AD-AE, ∴.∠EFD=∠CAD. ,△ABD2△ACE(SAS). ,AD平分∠BAC, (2)△ABD2△ACE, ∴.∠BAD=∠CAD,∠EFD=∠BAD, ,',∠ABD=∠ACE ∴，EF∥AB. :△ABC是等边三角形， 5.证明：延长AB,CE交于点F,如图 .∠BAC=60” ∠ABC=90°，CE⊥AD,∠ADE 如图，设AC,BF交于点O, =∠CDE, '∠BOC=∠ACE+∠BFC=∠ABD ∴.∠BAD=∠ECD +∠BAC, 在△ABD和△CBF中. ∴.∠BFC=∠BAC=60 '∠BAD=∠BCF (3)①90° ②∠BFC=,∠BAC AB=CB. 微专题四 角平分线的四大模型 ∠ABD=∠CBF ∴.△ABD2△CBF(ASA), 1.证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF LAC于点F .AD=CF. D是BC的中点， 'AE平分，∠FAC,AE⊥FC. ..BD=CD. :DE⊥AB,DF⊥AC,AD是∠BAC的平 ∴AF=AC,∴.CE=EF, ∴AD=CF=2CE 分线， :.DE=DF. 6.证明：如图，延长BE交AC于点F ,'AE⊥BF,AE平分∠BAF, 在Rt△BDE与Rt△CDF中， .AB=AF, (DE-DF, ∴.∠ABF=∠AFB,BE=EF BD-CD, ∴.Rt△BDE2Rt△CDF(HL), :'∠C十∠CBF=∠AFB=∠ABF ∠B=∠C,.AB=AC ∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C, .∠C+2∠CBF=3∠C, ∴·△ABC是等腰三角形 2.解：过点P作PE⊥OA于点E,如图 ,∠CBF=∠C, OP平分∠AOB,PD⊥OB, BF=CR,BE=BF=号CR PE⊥OA, CF-AC-AF=AC-AB, .PE=PD=3. ∠A0B=150°，OP平 BE=号(AC-AB. 分∠AOB, 7.解：(1)正明：如图①，在AE上裁政AF=AC,连接PF ∴.∠AOP=∠BOP=75 AD平分∠CAE, .PC//OB, ∴.∠CAD=∠FAD ·∠CPO=∠BOP=75°， :∠CAD+∠CAP=180°，∠FAD+ .∠AOP=∠CPO=75 ∠FAP=180°， .CP=CO,∠PCO=30°， .∠CAP=∠FAP ,PC=2PE=6, 在△PAC和△PAF中， .OC=6 PA-PA, 3.证明：(1)AD∥BC, ∠CAP=∠FAP, ,∠ABC+,∠BAD=180° LAC=AF, AE平分∠BAD,BE平分∠ABC, ∴△PAC2△PAF(SAS, ∴∠ABE=∠ABC,∠BAE=是∠BAD, .∠2=∠1，PC-PF :点P在线段BC的垂直平分线上， ·∠AEB=180'-(∠ABE+∠BAE)=180-号（∠ABC+ 2 ∴，PC=PB,PF=PB,∠1=∠3， ∠BAD)=90”, ∠2=∠3 即AE⊥BE ,∠PGB=∠AGC, .∠BPC=∠BAC (2)过点E作EF∥AD,如图所示， (2)QB+QC>AB+AC U∠DAE=∠AEF. 证明：如图②，在AE上截取一点M,使得 :AE平分∠BAD,·∠DAE=∠FAE AM=AC,连接QM, ·∠FAE=∠AEF ..AF=EF. 'AD平分∠CAE,∠CAQ=∠MAQ 又AQ=AQ,AC=AM, ,AD∥BC,,EF∥BC ∴.△CAQ2△AQ(SAS), 同理可得BF=EF, ..AF=BF. ∴.QC=QM. 周② 学海风暴丛书 321