第13课时 二次函数的综合与应用（精练本）-【学海风暴·PK中考】2024中考数学备考（安徽专用）

PK中专 数学 第13课时 二次函数的综合与应用 安徽真题 命题点1 二次函数在销售中的应用10年2考) (2)当x为何值时，y有最大值？最大值为 1.(2018安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一 多少？ 期培植盆景与花卉各50盆.经售后统计，盆景 平均每盆的利润是160元，花卉平均每盆的利 润是19元.调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景平均每盆的利润诚少 2元：每减少1盆，盆景平均每盆的利润增加 2元： ②花卉平均每盆的利润始终不变， 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设 培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与 花卉售完后的利润分别是W1,W2(单位：元). (1)用含x的代数式分别表示W1,W2; (2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉 售完后获得的总利润W最大？最大总利润是 多少？ 命题点3抛物线型问顾(10年1考) 3.(2022安徽)如图①，隧道截面由抛物线的一 部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边 BC为12m,另一边AB为2m.以BC所在的 直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系xOy,规定一个单位长 度代表1m.E(0,8)为抛物线的顶点 命题点2二次函数在图形中的应用(10年1考) 2.(2015安徽)为了节省材料，某 D 水产养殖户利用水库的岸堤堂 区城① P o(PC 区 ① 图② (岸堤足够长)为一边，用总长 G 城 YA 为80m的周网在水库中围成了 区城② ③ 如图所示的①②③三块矩形区 城，而且这三块矩形区域的面积相等.设B℃的 B PO P C B PO P (方案一) (方完二】 长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2. 图③ (1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变 (1)求此抛物线对应的函数表达式； 量x的取值范围； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或 34学海风暴丛书 考点过关训练己口已叫安徽 丹垂糯栏，如图②、图③中粗线段所示，点 的横坐标的取值范围（点P:在点P4的右 侧) P,P在x轴上，MN与矩形PP:P:P的一 边平行且相等.栅栏总长1为图中粗线段 PPa,PzP,PP4,MN长度之和.请解决以 下问题： ①修建一个“”型栅栏，如图②，点P2,P3 在抛物线AED上.设点P的横坐标为m(0 <m≤6)，求栅栏总长1与m之间的函数表达 式和的最大值； ②现修建一个总长为18m的栅栏，有如图③ 所示的修建T”型或型橫栏两种设计方 案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 PP:P,P,面积的最大值及取最大值时点P1 全国视野 1.(2023兰州)一名运动员在10m高的跳台进 (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹 OB的长. 是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y (单位：m)与离起跳点A的水平距离x(单位： m)之间的函数关系图象如图所示.运动员离 起跳点A的水平距离为1m时，达到最高点； 当运动员离起跳点A的水平距离为3m时， 离水面的距离为7m. 2.(2023深圳)蔬菜大棚是一种具有出色的保温 (1)求y关于x的函数表 性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以 达式； 吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或 者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑 10m 料膜，这样就形成了一个温室空间 如图①，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m, BC=4m,取BC中点O,过点O作线段BC的 垂直平分线OE交抛物线AED于点E.若以 点O为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴 建立如图所示的平面直角坐标系 请回答下列问题： (1)如图②，抛物线AED的顶点E(0,4),求 抛物线的表达式； 学海风暴丛书 35 PK中吉数学 (2)如图③，为了保证蔬菜大橱的通风性，该3.(2023仙桃)如图①，在平面直角坐标系xOy 大棚要安装两个正方形的排气装置LFGT, 中，已知抛物线y=ax2十bx一6(a≠0)与x轴 SMNR,若FL=NR=0.75m,求两个正方形 交于点A(一2,0)，B(6,0),与y轴交于点C, 装置的间距GM的长： 顶点为D,连接BC (3)如图④，在某一时刻，太阳光线透过点A (1)抛物线的解析式为 恰好照射到点C,此时大棚截面的阴影为 (2)在图①中，连接AC并延长交BD的延长 BK.求BK的长， 线于点E,求∠CEB的度数； (3)如图②，若动直线1与抛物线交于M,N两 点（直线l与BC不重合），连接CN,BM,直线 CN与BM交于点P.当MN∥BC时，点P的 横坐标是否为定值？请说明坦由。 闭① 周② YA 图3 图④ ② 中考热身 1.(2023准北烈山区三模)某公司根据往年市场 元4 300 Q元↑ 行情得知，某种商品从5月1日起的300天 250 200 200 内，市场售价与上市时间的关系用图①的折 150 100 100 线表示；商品的成本与时间的关系用图②@的 50 一部分抛物线表示 0 100200300/天 0501502503007天 周① 周② 36 学海风舞丛书 考点过关训练么己0已叫安微 (1)每件商品在第50天出售时的利润是3.如图①，一块金属板的两边为线段OA,OB, 元； OB⊥OA,另一边曲线ACB为抛物线的一部 (2)直接写出图①表示的商品售价y(单位： 分，在这块金属板中截取四边形OACB,其中 元)与时间t(单位：天)之间的函数关系式： 点C在曲线ACB上，且BC∥OA.以OA边所 (3)若该公司从销售第1天至第200天的某一 在直线为x轴，OB边所在直线为y轴，建立 天内共售出此种商品2000件，请你计算最多 平面直角坐标系xOy,规定一个单位代表 可获利多少元？ 1m.已知OA=8m,OB=6m,BC=2m 图② 图③ (1)求曲线ACB所在抛物线的函数表达式； (2)如图②，P为线段AC上任意一点，设点P 的横坐标为m,△OAP的面积为S,求S随m 2.已知抛物线y一一x2十bx十c交x轴于点 的变化情况： A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C (3)如图③，点D,E,F分别在线段OA,OB, (1)求b,c的值； AC上，求矩形ODFE面积的最大值. (2)已知P为抛物线y=-x2十bx十c上一点 (不与点B重合)，若点P关于x轴对称的点 P'恰好在直线BC上，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，平移抛物线y-一x2十bx 十c,使其顶点始终在直线y=x上，且与PP 相交于点Q,求△QBP面积的最小值 14 学海风暴丛书 37参考答案己口已叫安徽 将B0,6代人y=(红-p2,得=4E,h=-4区， 该二次玉效图象的对称轴为直线=一 “指物线N的函数解新式为y=红一2或y=音红 (2)①把B(3,2)代人y=ax2+bx-1,得9a+3b-1=2. 由(1)知，b=3一a, +42)2 .9a十3(3-a)-1=2,解得a=-1, 中考热身 .b=3-a=3-(-1)=4, 1.D ∴该函数的表达式为y=一x2十4z一1. 2m<一号攻-1<m<2【解析】令x=父-2，解得 y=-x2+4x-1=-(x-2)2十3， ∴.当x=2时，函数有最大值，最大值为3. -1,x1=2, ②证明：”x1一=1，.x=x1一1 “函数y=x2一2的图象上有2个“等值点”，分别是（一1， M(x1,州)，N(1一1，为)是二次函数y=一x2十4x一1图 -1),(2,2) 象上两点， ①当m<一1时，W,,W:两部分组成的图象上必有2个“等 ∴y十次=-zi+41-1-(x1-1)2+4(x1一1)-1 值点"(-1，-1)和(2,2. =-2x+10x1-7 W1:yz2-2(x≥m),W:y=(x-2)2-2(x<m). 令x=(x一2m)2一2， =-2-2+号 整理，得x2一(4m十1)x十4m2一2=0. W2的图象上不存在“等值点”，∴△<0， ”-2(4-8)<0,+为<号 m+1P-44m-2》<0,m<-g 第13课时 二次函数的综合与应用 安微真愿 ②当m=-1时，有3个“等值点”（一2，一2），（一1，一1），2,2)： 1.解，(1)第二期培棺的盆景比第一期增加x盆， ③当一1<m<2时，W,,W2两部分组戒的图象上恰有2个 .第二期培植的盆景有(50十x)丝，花产有(50一x)盆， “等值点”， .W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000, ④当m=2时，W1,W:两部分组成的图象上恰有1个“等值 W=19(50-x)=-19x十950. 点”(2,2)： (2)根据题意，得W=W,十W3=-2x2十60x十8000一19z ⑤当>2时，W1,W2两部分组戒的图象上没有“等值点” 综上所述，当W:,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值 +950=-2x+41x+8950=-2(x-41)）°+7328刚 8 点”时，m<-音或-1<m<2 一2<0，且x是整数， .当x=10时，W取得最大值，最大值是9160， 3.1)直线x=1(2号<m<号 【解析】(1)，抛物线：y 故当x=10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利 润W最大，最大总刑润是9160元 ax-2ax+4(a>0), 一2=1 2.解：(1)，三块矩形区域的面积相等， “该抛物线的对称轴是直线x=一2a ∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍， (2)”抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上，y> ..AE-2BE. 设BE=FC=am,则AE=HG=DF=2am, 士产>1，即”-1生m十2>1，解得m>分 2 2 .DF十PC十HG+AE+BE+EF+BC=&A+2x=80. “>%小m一m1,解得m<号<< a=一 x+10,43a=- 1 3 x+30, 2 4,解：(1)揽物线y=x2十虹十c的对称轴为直线x=2, y=(-x+30)z=- 2+30x 4-名-2，解得多-4 a=- 1 x+10>0,x×40, 抛物线经过点A(一1,0)， .0=1十4十c, 六y与x之间的医数表达式为y=一+0x0<0. .c=-5, ∴.驰物线的解析式为y=x2一4x一5， ②y=-+30=-(-20+000<<40 y=x2-4x-5=(x-2)2-9, ,抛物线的顶点D的坐标为(2，一9). 且二次项系效为一号<0，“当工=20时y有最大值，最大 (2)如图，作点C关于x轴的对称点 值为300. C,连接CD交x拍于点M,此时CD 3.解：(1)由通意可得A(一6,2)，E(0,8)是抛物线的顶点， 最小，即CM十DM的值最小，令x= .可设地物线对应的函数表达式为y=4x十8. 0,则y=-5, 将A(-6,2)代人，得(-62·a+5=2,解得a=一6， 1 .点C的坐标为(0，一5)， 点C的坐标为(0,5). 设直线CD的解析式为y=mx十n, “驰物线对应的函数表达式为y=一 x2+8 68舞得7 (2)①：点P1的横坐标为m(0<m≤6)，且四边形 n=5, PPPP4为矩形，点P2,P,在抛物线AED上， .直线CD的解析式为y=一7x十5. ÷点P的坐标为(m,一子m+8, 令y=0,则一1z十5=0，部得x=号 .P.P,-P,P.-MN+8:P:P,-2m. 即直线CD与z轴的交点坐标为（号，0）…4= 2=3(-名+8）+2m=-2m+2m+24=-号m-2 5.解：(1)把A1,2)代入y=ax2+bx-1,得a+6-1=2, +26. 2a ”一言<0，当m=2时，l有最大值，最大值为26m, 学海风暴丛书 313 PK血香数学 野智栏总长L与m之间的函数表达式为L=一2m+2m十 “直线AC的表达式为y=一x十是 24,的最大值为26m FK∥AC: ②方案一：设P1P,=nm,则P:P,=(18一3n)口 .矩形P1P2PgP,的面积为(18一3n)n=一3m2十18m= “设直线FK的袭达式为y=一3 x十m, -3(n-3)2+27. 3 -3<0,当n=3时，矩形PPP,P,的面积有最大值， 4十， 联立 最大值为27m2,此时P1P=3m,PP=9m 1 x2+4, x十4-m=0, y=一 令-名2+8=3，解得工=士V3,“此时点B的横坐标 4=(名)°-6×(4-m=0,解得m=得 的取值范围为一√30+9≤x,≤√30。 方案二：设PP:=m,则P:P-(9一n)m, 直线K的表达式为y=一十得 73 矩形P1P:PP,的面积为(9一m)n=一n十9n -(。-)+里 令y0,得x-得BK-得+2-m. :-1<0,∴当a=号时，矩形P:P;P,P的面积有最大值。 3.每，1)y=号2-2x-6 (2)由(1)可得C0,一6)，D(2,一8) 最大值为m,此时RB=号m,RB=号口 设直线AC的解析式为y=1x十6， 令-言2+8-号幅得x=士V团， 则6出-0得么二” 1b1=-6, 直线AC的解析式为y=-3x-6. ∴此时点P的横坐标的取值范国为一√厅+号≤ 同理，由点D(2,一8)，B(6,0),可得直线BD的解析式为y =2x-12. 21, (两种方案选择一种作答即可) 令-3x-6=2x一12，解得x=号 全团视野 1.解：(1)根据题意可得抛物线过(0,10)和(3,7)，对称轴为直 “点E的坐标为（号，一铝》 线x=1 由题意可得OA=2,OB=OC=6,AB=8, 设y关于x的函数表达式为y=ax2十x十c, ∴.AC=√OA+OC=√2+6=2√/10. fc=10, 9a十36+c=7:解得b=2: fa=-1 如图，过点E作EF⊥x轴于点F, 2a=1, (c=10, B=a-√2+)'+(-18y, 5 ·y关于x的函数表达式为y=一x+2x十10. (2)在y=-x+2x+10中，令y=0,得0=-x2+2x十10， 提 8 AB 4'AE161@ 4 解得1=√T十1,8=一√T+1(舍去)， 运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（√们+ 淄提 1)m ∠BAC=∠EAB, 2.解：1)AB=3m,BC=4m, ∴.△ABCC∽△AEB, A(-2,3),B(-2,0),C(2,0),D(2,3) ∴.∠ABC=,∠AEB 投抛物线的表达式为y=ax2十x十c, ,OB=O℃，∠C0B=90", f4a-2b+c=3, .∠ABC=45 将A,D,E三点坐标代入表达式，得4e十2b十c=3, ∴，∠AEB=45,即∠CEB=45° c=4, (3)点P的横坐标为定值，理由如下： a=- 1 解得 设点M的坐标为(m,名m2-2m一6），点N的坐标为(m b=0, .抛物线的表达式为y=一 x+4 c=4, 名-2a-6） 2)设G(-,3》,则L(-t-,3+） :直线MN与BC不重合，，m≠0且m≠6，n≠0且m≠6. 由点B(6,0),C(0,一6)可得直线BC的解析式为y=x一6. ,MN∥BC,,投直线MN的解析式为y=x十， GM=2X号-m. z=-2红-， (3)如图，记最右侧光线与 壹-3x-6-t0, 抛物线的切点为F, m十荐=6， 设直线AC的表达式为y kx; ·点N的坐标可以表示为6一m,2m2-4m) 1-2k十b=3, ·2k+b=0, 设直线CN的解析式为y=:x十b, f0+m=-6, 解得 6-m)+6=2 6=-6, b=, “直线CN的解析武为y=(-名m+1一-6 314 学海风暴丛书 参考答案 己024安徽 同莲可得直线BM的解析式为y-(受m十1)x一3m一6 且>0， 令(-多m+1)-6-(3m+1)x-3m-6 ∴当方=-3时，PQ的值最小，最小值为织， 化简，得mx=3m,.x=3, 点P的横坐标为定值3 5a的景小值为号×受-1要 中考热身 3.解，(1)BC-2m,BC∥OA, 1.解：(1)100 ∴曲线ACB所在抛物线的函数表达式可设为y=a(z一1) (2)y与t之间的函数关系式是 十c. +0028 .OA=8 m,OB=6 m; 1 六(8-1》十c二0解得 8, (3)由题图②可设商品的成本Q与时间的关系式是Q= la(0-1)2+c=6, 49 a(2-150)2十100. t= 8 1 把(50,150)代入，得a200Q200t-15092+100. ·曲线ACB所在抛物线的函数表达式为y= 8(x-1)2 1 当1≤200时，利演=-t+300-200t-150)-100= 大积 200g-50)*+100, (2),'0A=8m,OB=6m,BC-2m, .当=50时，利润最大，最大利润=100×2000=200000 A(8,0),C2,6). (元) 设直线AC的表达式为y=x十b(≠0)， 答：从开始销售的第50天出售此种商品20C0件可获得最大 利润20万元. 六得合- 【解析】(1)当0≤≤200时，设y与的函数关系式是y=k ,AC所在直线的函数表达式为y=一x十8， +6.把(0,300)和(200,100)代入，得=300， P(m,一m十8)， 200k+b=100: ∴S=号×8（一十8，即S=-4m+32 解得信0： :一4<0，∴S随m的增大而减小 VA .y=-+300 (3)如图，延长DF,C交于点G 设OD=mm,矩形ODFE的面积为S1m, 当=50时，y=一50十300=250， AD=(8-n)m,CG=(n-2)m. 250-150=100(元). ,BC∥OA,∴.∠G=∠FDA=90 2.解：(1)抛物线y=一x8十bx十c交x轴于点A(一1,0》， 又∠CFG=∠AFD, B60十5得 ∴.△CGF∽△ADF, 1c=3. (2)由(1)，得抛物线解析式为y=一x+2x十3. %膘 令x=0,则y=3,.C(0,3). ∴DF-(8-n)m,.S:=n(8-n)=-(8-4)2+16, 设直线BC的解析式为y=kx十3. ∴.矩形ODFE面积的最大值为16m, 将B(3,0)代入y=kx十3，得0=3k十3，解得克=一1： ·直线BC的解析式为y=一x十3. 微专题二一次函数、反比例函数 :点P关于x轴对称的点P恰好在直线BC上， 与二次函数图象性质的对比练习 .设P(a,一a十3)，则P(a,a一3)，即点P(a,a一3)在抛物 1.C【解析】①当mm>0,若同为正，y=mx十的图象过第 线y=一x”十2x十3上， 二、三象限：同为负，过第二、三，四泉限.y=mx的图象 a一3=一a2十2a十3，整理，得a3一a一6=0，解得a1 过原点和第一，三象限，故B,D选项不符合题意：②当tn -2,a2=3. 0时，y=沁x十的图象过第一，三、四象限或第一、二、四象 点P不与点B重合， 限，y=虹的图象过原点和第二、四象限，故A选项不符合 .P(-2,-5). 题意，C选项符合恶意 （3如医，拾物线y=一2+红十c的顶点坐标为（台，兰+小 2.C【解析】当>0时，一次西数y=kx一3的图象经过第一、 :顶点始终在直线y=x上， 三，四象限，反比例函数y一一之的图象在第二，四象限：当 +6，即=-+ <0时，一次函数y=x一3的图象经过第二、三、四象限。 由(2)知，P'(一2,5)，直线PP的方程为x=一2 反比例函数)一一空的医象在第-、三象展故因个造贤中 地物线y=一x2十bz十c与PP'相 只有C符合题意， 交于点Q, SAr=5,当P'Q取最小值 3.B【解析】当>0时，函数y=皇的图象在第一、三象限，函 2 数y=一x2十的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴上 时，S△ar取最小值. 故选项B符合题意，选项C,D不符合题意：当<0时，函数 PQ=5-(-4-2h+c） =9十26-c y一立的图象在第二四象限，函数y一如十的图象开 =9+6-(+2) 口向上，顶点在y拍的负半轴上，故选项A不符合题意， 4.C【解析】由一次函数y=一x十a(a为常数)的图象可知，a -++ >0,二次函效ya一2x+。的图象开口向上，故A选 项不符合题常：二次函数y=ax2一2x十二的图象与y轴 学海风暴丛书 315