第05讲 平面直角坐标系-2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第05讲 平面直角坐标系 板块一、学习目标 1. 理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系； 2. 能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标特征； 3. 由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想； 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：有序数对 把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 名师点拨： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同。 知识点2：平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 名师点拨： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 知识点3：点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 名师点拨： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点3：坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 名师点拨： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 3. 点坐标的特征 名师点拨： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 板块四 典型例题 题型1 位置的确定方法 下列叙述中，能够表示一个确定的位置的是（    ） A．甲地在乙地的正东方向上 B．某地位于北纬，东经 C．一只风筝飞到距点20米处 D．影院座位位于一楼二排 题型2 确定点所在的象限 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型3 由点所在象限确定参数的值 点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D． 题型4 对称点的坐标问题 平面直角坐标系中，点关于x轴对称，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型5 由点到坐标轴的距离确定点的坐标 点P的横坐标是5，且点P到x轴的距离为3，则P的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型6 由点的坐标确定平移方式问题 在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移5个单位长度 B．向左平移5个单位长度 C．向下平移5个单位长度 D．向上平移5个单位长度 题型7 求平移后点的坐标问题 已知点，点，点，将三角形沿一特定方向平移，得到三角形，点B的对应点的坐标是，则和的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型8 探索点的坐标规律问题 如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行"爬楼梯"运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A．（1012，1013）B．（1013，1012）C．（1012，1012） D．（1013，1013） 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列数据中不能确定物体位置的是（    ） A．西偏北30° B．花园小区13号楼701号 C．孙武路460号 D．东经120°，北纬60° 2．若点在轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．官渡古镇是云南特色景观旅游景点．古镇周边部分景点分布如下图，若云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为，则金刚塔的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，第一象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（    ） A． B．5 C．2 D．8 5．已知点在x轴上，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．将点向左平移3个单位得到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点，关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．平面上的点通过上下平移，不能与下面的点重合的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题） 9．已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 10．在平面直角坐标系中，如果点在第四象限，则的取值范围是 ． 11．已知点的坐标为，线段，轴，则点的坐标为 ． 12．若点关于x轴的对称点在第三象限，则m的取值范围是 ． 13．点的坐标是，且点关于轴对称的点的坐标是，则 ， ． 14．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点对应点，点对应点），已知点坐标为，则点坐标为 ． 15．已知线段的中点为，若经过平移到达，则点的对应点为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了2024秒时，其所在位置的点的坐标是 ． 三、解答题（本大题共4小题） 17．如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)请作关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)已知点P为y轴上一点，若时，求点P的坐标． 18．在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若M在x轴上，求m的值； (2)若轴，点M在点N的下方且，求出点M的坐标． 19．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． (1)求点的一对“相伴点”的坐标； (2)若点的一对“相伴点”重合，求的值； (3)若点的一对“相伴点”之一为，求点的坐标． 20．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第05讲 平面直角坐标系 板块一、学习目标 1. 理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系； 2. 能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标特征； 3. 由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想； 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：有序数对 把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 名师点拨： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同。 知识点2：平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 名师点拨： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 知识点3：点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 名师点拨： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点3：坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 名师点拨： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 3. 点坐标的特征 名师点拨： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 板块四 典型例题 题型1 位置的确定方法 下列叙述中，能够表示一个确定的位置的是（    ） A．甲地在乙地的正东方向上 B．某地位于北纬，东经 C．一只风筝飞到距点20米处 D．影院座位位于一楼二排 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定位置，熟知确定位置的条件是解题的关键．在一个平面内，要有两个有序数据才能确定位置，由此求解即可 【详解】解：A、甲地在乙地的正东方向上，无法确定位置，不符合题意； B、某地位于北纬，东经，可以确定位置，符合题意； C、一只风筝飞到距点20米处，无法确定位置，不符合题意； D、影院座位位于一楼二排，不能确定位置，不符合题意； 故选B． 题型2 确定点所在的象限 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了象限内的点的符号特点，注意加任意一个正数，结果恒为正数成为解题的关键． 先判断出点P的横坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可． 【详解】解：∵为非负数， ∴为正数， ∴点P的的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点P在第四象限． 故选D． 题型3 由点所在象限确定参数的值 点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确利用坐标性质得出的值是解题关键． 直接利用第二象限点的坐标性质结合轴的距离为5，得出，解题即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 又∵到轴的距离为5， ∴，即， 解得：， 故选C． 题型4 对称点的坐标问题 平面直角坐标系中，点关于x轴对称，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点关于轴对称，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴该对称点的坐标是， 故选：B． 题型5 由点到坐标轴的距离确定点的坐标 点P的横坐标是5，且点P到x轴的距离为3，则P的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中确定点的坐标；由点P到x轴的距离为3，得点P的纵坐标，从而确定点P的坐标． 【详解】解：点P到x轴的距离为3，则点P的纵坐标为3或， 故点P的坐标为或； 故选：C． 题型6 由点的坐标确定平移方式问题 在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移5个单位长度 B．向左平移5个单位长度 C．向下平移5个单位长度 D．向上平移5个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移的规律即可求出平移方法． 【详解】解：∵， ∴平移方法为将点向下平移5个单位长度到点处． 故选：C． 题型7 求平移后点的坐标问题 已知点，点，点，将三角形沿一特定方向平移，得到三角形，点B的对应点的坐标是，则和的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标的平移变化，解题的关键是根据对应点的坐标得出平移的方向和距离及平移的定义和性质． 根据点的对应点的坐标是得到平移分式，据此根据平移的定义和性质解答可得． 【详解】解：∵点的对应点的坐标是， ∴平移方式为向右移5个单位、上移1个单位， ∵点， ∴和的坐标分别是，． 故选：A． 题型8 探索点的坐标规律问题 如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行"爬楼梯"运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A．（1012，1013）B．（1013，1012）C．（1012，1012） D．（1013，1013） 【答案】C 【分析】本题考查了规律型—点的坐标，解决本题的关键是观察点P的运动变化发现规律，总结规律． 分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2024与2的商和余数，继而得解． 【详解】解：第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， …， 则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次， 纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次， 则， ∴第2024次的坐标是：， 故选C． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列数据中不能确定物体位置的是（    ） A．西偏北30° B．花园小区13号楼701号 C．孙武路460号 D．东经120°，北纬60° 【答案】A 【分析】此题考查了平面内确定点的位置的方法．平面内要确定点的位置，必须知道两个数据才可以准确确定该点的位置． 【详解】解：A.只给出了方向为西偏北30°，没有说明距离，因此不能确定物体的位置； B.花园小区13号楼701号，能确定位置； C.孙武路460号，能确定位置； D.东经120°，北纬60°，能确定位置； 故选A． 2．若点在轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了的点的坐标．根据轴上点的纵坐标为0可得：，从而可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标为， 故选：A． 3．官渡古镇是云南特色景观旅游景点．古镇周边部分景点分布如下图，若云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为，则金刚塔的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为可以建立直角坐标系即可求解．本题考查坐标确定位置，能够根据已知的点确定原点的位置，建立正确的直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：根据云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为可以确定直角坐标系中原点， 金刚塔的坐标为， 故选： D． 4．在平面直角坐标系中，第一象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（    ） A． B．5 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握直角坐标系是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：第一象限内的点到y轴的距离是5， ， ， 故选C． 5．已知点在x轴上，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴上点坐标的特征．熟练掌握轴上点坐标纵坐标为0是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得，， 故选：C． 6．将点向左平移3个单位得到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点坐标平移的性质，根据点坐标的平移性质：左减右加，上加下减的规律解决问题即可． 【详解】解：点向左平移3个单位得到点的坐标是， 故选C． 7．在平面直角坐标系中，点，关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标，坐标与图形变化平移，熟练掌握对应点的坐标是求解本题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特点，可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，再根据点的平移规律可得点的坐标． 【详解】解：∵点，关于x轴对称， ∴. ∵将点B向左平移3个单位长度得到点C， ∴. 故选D 8．平面上的点通过上下平移，不能与下面的点重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“点上下平移，横坐标不变”，由此可直接得到答案． 【详解】平面上的点（2，-1）通过上下平移不能与之重合的是（-2，-1）， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题） 9．已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查点的坐标、解一元一次方程，根据题意得，，即或，再分别求解即可． 【详解】解：∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，， 当时，，， ∴或， 故答案为：或． 10．在平面直角坐标系中，如果点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查点所在的象限、解一元一次不等式，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 由①得， 由②得 ， ∴的取值范围是． 故答案为：． 11．已知点的坐标为，线段，轴，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，先确定点N的纵坐标，再根据，分两种情况确定点N的横坐标即可． 【详解】解：轴， ∴点与点的纵坐标相同为． ∵， 当点在点的右边时，点的横坐标为， 当点在点的左边时，点的横坐标为． ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 12．若点关于x轴的对称点在第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的特点和解一元一次不等式组，平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，那么这两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.据此求出点关于x轴的对称点的坐标，再根据点在第三象限列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵第三象限内的点的横坐标，纵坐标，点关于x轴的对称点坐标为， ∴， 解得 故答案为： 13．点的坐标是，且点关于轴对称的点的坐标是，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，掌握关于x轴对称的两个点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数成为解题的关键． 根据关于x轴对称的两个点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数进行解答即可． 【详解】解：∵点P的坐标是，且点P关于x轴对称的点的坐标是， ∴，即． 故答案为：，． 14．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点对应点，点对应点），已知点坐标为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：点的对应点的坐标为， 平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， 的对应点的坐标为． 故答案为：． 15．已知线段的中点为，若经过平移到达，则点的对应点为 ． 【答案】 【分析】由点经过平移到达，可知线段的平移规律，然后确定点坐标即可． 【详解】解：由点经过平移到达， 可知线段向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度得的， 所以，点的对应点坐标为． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了2024秒时，其所在位置的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查动点运动，探索规律，平面内点的坐标特点．能够找到点的运动每秒回到起点的规律是解题的关键．由点可得是长方形，智能机器人从点出发沿着回到点所走路程是，即每过秒点回到点一次，判断的余数就是可知智能机器人的位置． 【详解】解：由点，，，， 可知是长方形， ，， 机器人从点出发沿着回到点所走路程是：， ...， 第秒时机器人在与轴的交点处， 机器人所在点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题） 17．如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)请作关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)已知点P为y轴上一点，若时，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)或 【分析】本题考查轴对称变换作图、写出坐标系中的点的坐标； （1）根据轴对称的性质作图，再确定点的坐标即可； （2）根据，求得，即可求得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或．    18．在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若M在x轴上，求m的值； (2)若轴，点M在点N的下方且，求出点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0即可求解． （2）根据轴可得，根据M在点N的下方且，可得，求出m、n的值即可得M点的坐标． 本题考查了“平面直角坐标系中x轴上的点的纵坐标为0，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同”，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ， 解得； （2）解：∵轴，点M在点N的下方且， ∴， 解得，， ，， ． 19．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． (1)求点的一对“相伴点”的坐标； (2)若点的一对“相伴点”重合，求的值； (3)若点的一对“相伴点”之一为，求点的坐标． 【答案】(1)与 (2) (3)或 【分析】（1）根据新定义求出、，即可得出结论； （2）根据新定义，求出点的一对“相伴点”，进而得出结论； （3）设出点的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴点的一对“相伴点”的坐标是与； （2）∵点， ∴，， ∴点的一对“相伴点”的坐标是和， ∵点的一对“相伴点”重合， ∴， ∴， ∴的值为； （3）设点， ∵点的一个“相伴点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 20．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)(2) 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：4， ∴点的坐标为：． 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4． 故的坐标为：． 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$